Variabili aleatorie

Variabili aleatorie – Parte II
• Funzioni di una Variabile Aleatoria
– Introduzione
– Determinazione media e varianza
– Trasformazioni lineari
– Trasformazioni non lineari
Funzioni di una variabile aleatoria.
Esempio con VA discreta
– Il seguente gioco assegna le seguenti vincite per un lancio di
dadi:
– 0.10 euro se esce un numero dispari
– 0.20 euro se esce il 2
– 0.30 euro se esce il 4
– 0.40 euro se esce il 6
• Quale è la probabilità che il giocatore vinca 0.2 euro nella singola
giocata?
• La possibilità che si vinca una certa cifra con questo gioco è una
variabile aleatoria?
Statistica - M. Grosso
Variabili Aleatorie - Parte II
Funzioni di una variabile aleatoria.
Caso discreto
• I possibili eventi elementari per la nuova VA vincita al gioco
possono essere :
Ω1 = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4}
• Se il dado è regolare, è possibile ricavare quale è la
probabilità che si verifichi il singolo evento.
• È possibile quindi definire una funzione di una variabile
aleatoria. In questo caso associo ad ogni evento dello spazio
campione Ω un altro elemento di uno spazio Ω1
⎧0.1
⎪0.2
⎪⎪
g ( y ) = ⎨0.3
⎪0.4
⎪
0
⎪⎩
euro
euro
euro
y = 1,3,5
y=2
y=4
euro
y=6
altrove
fY(y)
fZ(z)
Funzioni di una variabile aleatoria.
Esempio caso discreto
1/6
½
1/6
1
2
3
4
5
6
y
Funzione densità di probabilità
del lancio di dadi
0.1
0.3
0.4
Funzione densità probabilità
vincita di euro
Z = g(Y)
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Variabili Aleatorie - Parte II
0.2
z
Funzioni di una variabile aleatoria
Y(ω)
g(Y)
Ψ1 ∈ \
Ψ∈\
Spazio
campione
Ψ
Ω
Insieme dei
risultati possibili
Ψ1
Codominio della VA Y
=
Spazio campione della
VA
Y
Codominio della funzione
della VA
=
Spazio campione della VA
Z=g(Y)
Insieme dei valori che
può assumere la Y
Insieme dei valori che
può assumere la Z = g(Y)
Funzioni di una variabile aleatoria.
Valore atteso
• Funzione vincita al gioco dei dadi
• Quanto si deve pagare per il singolo lancio affinché il gioco sia
equo?
• Dovrei pagare per il singolo lancio una quota che sia la media
delle possibili vittorie (ovvero l’esito della nuova variabile
aleatoria) per la singola esperienza.
• Nel caso in esame:
1
1
1
1 1
0.10 + 0.20 + 0.30 + 0.40 =
2
6
6
6 5
• Il valore ottenuto si definisce il valore atteso della funzione g(y)
e si indica con il simbolo E(g(y))
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Funzioni di una variabile aleatoria.
Valore atteso
• Definizione:
• Sia Y una variabile aleatoria e g( · ) una funzione misurabile, si
definisce quindi media (o valore atteso) di g(Y) lo scalare:
E ( g (Y )) = ∑ g ( y j ) f ( y j )
Caso discreto
j
∞
E ( g (Y )) = ∫ g ( y ) f ( y ) dy
Caso continuo
−∞
• La g(y) deve essere definita per ogni Y per cui f(y) non è nulla.
Funzioni di una variabile aleatoria.
Determinazione della media
• Data una variabile aleatoria Y ed una trasformazione g(y)
formiamo Z=g(Y).
• La media di Z è
µZ = E ( Z ) =
+∞
∫ z f ( z ) dz
Z
−∞
• Se è nota la distribuzione di Y non è necessario conoscere la
fZ per determinare la media di Z.
• Teorema della media:
• Siano Y e Z due variabili aleatorie tali che Y = g(X), allora se
esiste
µ Z = EZ [ Z ] =
+∞
∫ z f ( z ) dz = E
Z
−∞
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Y
⎡⎣ g (Y ) ⎤⎦ =
+∞
∫ g ( y) f ( y ) dy
Y
−∞
Funzioni di una variabile aleatoria.
Determinazione della media
• Problema: Non si conosce di che tipo di variabile aleatoria sia Y
ma ne conosciamo media e varianza, è possibile determinare la
media e la varianza di Z?
• Se g(Y) è lineare ovvero Z = g(Y)=aY+b
µ Z = E [Z ] = E [aY + b] = a E [Y ] + b = aµ Y + b
Funzioni di una variabile aleatoria
Altre proprietà per il valore atteso
E [c] = c
E ⎡⎣c g (Y ) ⎤⎦ = c E ⎡⎣ g (Y ) ⎤⎦
E ⎡⎣c1 g1 (Y ) + c2 g 2 (Y ) ⎤⎦ = c1 E ⎡⎣ g1 (Y ) ⎤⎦ + c2 E ⎡⎣ g 2 (Y ) ⎤⎦
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Funzioni di una variabile aleatoria
Calcolo della varianza
• Anche detta legge di propagazione degli errori.
• Sia data una legge Z = g(Y), si intende calcolare la varianza della
nuova VA
2
σ 2 ( Z ) = E ⎡( Z − µ Z ) ⎤
⎣
⎦
2
2
= E ⎢⎡( g (Y ) − µ Z ) ⎥⎤ = E ⎡ g (Y ) ⎤ − µ Z2
⎣
⎦
⎣
⎦
2
= E ⎡ g (Y ) ⎤ − E 2 ⎡⎣ g (Y ) ⎤⎦
⎣
⎦
Funzioni di una variabile aleatoria.
Determinazione di media e varianza
• Nel caso in cui la dipendenza sia lineare è possibile ottenere
un’espressione analitica:
[ ]
E [Y ]− a
[
]
σ Z2 = E Z 2 − µ Z2 = E (a Y + b )2 − (a µ Y + b )2 =
=a
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2
2
2
µ + E [2 a b Y ] − 2 abµ Y = a 2 σ Y2
2
Y
Funzioni di una variabile aleatoria.
Determinazione di media e varianza
• Invece se la trasformazione è non lineare si possono solo
stimare in modo approssimato la media e la varianza di Z
• Si linearizza g intorno a µY:
g ( y ) ≈ g ( µY ) +
dg
dy
( y − µY ) +
µY
1 d 2g
2 dy 2
( y − µY )
2
µY
• Troncando al primo ordine:
µZ = E ( Z ) =
∞
∞
⎡
⎤
dg
∫ g ( y ) f ( y ) dy ≅ ∫ ⎢⎢ g ( µ ) + dy ( y − µ ) ⎥⎥ f ( y ) dy = g ( µ )
Y
−∞
−∞
⎣
Y
Y
µY
⎦
Y
Funzioni di una variabile aleatoria.
Determinazione di media e varianza
• Troncando al secondo ordine:
µ Z ≅ g ( µY ) +
1 d 2g
2 dy 2
σ Y2
µY
• Per la varianza
⎛ dg
σ ≅⎜
⎜ dy
⎝
2
2
Z
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µY
⎞ 2
⎟ σY
⎟
⎠
Y