Studio di insiemi classici in uno spazio semilineare

Studio di insiemi classici in uno spazio
semilineare
Maria Scafati Tallini,
Dipartimento di Matematica,
Universitá di Roma “La Sapienza”,
Piazzale Aldo Moro 2,
00185 ROMA,
Italy.
Summary
In a semilinear space, classical subsets like cliques, anticliques, blocking sets and
ovoids are defined and studied.
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Introduzione
Si definisce spazio semilineare una coppia (S, L), ove S è un insieme non vuoto
i cui elementi chiameremo punti ed L è una famiglia di parti di S i cui elementi
chiameremo rette, tali che:
L è un ricoprimento di S.
Ogni retta ha almeno due punti.
Per due punti distinti passa al piú una retta.
La classe degli spazi semilineari è molto vasta. Per esempio i grafi sono spazi
semilineari con rette di cardinalità due. Ogni varietà algebrica rigata è uno spazio
semilineare rispetto alle sue rette.
Due punti x, y ∈ (S, L) si dicono congiungibili e si scrive x ∼ y, se esiste la retta
per essi, incongiungibili in caso contrario e scriveremo x 6∼ y. Se i punti di (S, L)
sono due a due congiungibili,(S, L) è uno spazio lineare. In caso contrario, si tratta
di uno spazio semilineare proprio.
Un sottoinsieme T di S dicesi sottospazio, se
∀x, y ∈ T, x 6= y =⇒ esiste la retta per essi ed appartiene a T .
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Denotato con LT l’insieme delle rette appartenenti al sottospazio T , la coppia
(T, LT ) è uno spazio lineare. Evidentemente il vuoto, i singoli punti, le rette di (S, L)
sono sottospazi. Un sottospazio T dicesi massimale, se non è contenuto propriamente
in un altro sottospazio. Per il lemma di Zorn, ogni sottospazio è contenuto in un
sottospazio massimale e quindi i sottospazi massimali costituiscono un ricoprimento
di S.
Uno spazio semilineare dicesi proiettivo, se ogni sottospazio massimale è proiettivo, affine, se ogni sottospazio massimale è affine.
Dicesi poligonale una n-pla di rette (l1 , l2 , ..., ln ) tali che li ∩ li+1 6= ∅, i =
1, 2, ..., n − 1.In S si può allora definire la seguente relazione k:
xky ⇐⇒ esiste una poligonale per x ed y.
Tale relazione k è di equivalenza. Se denotiamo con Sx la classe di equivalenza
individuata da x, si ha che ogni retta di (S, L) che ha intersezione non vuota con
Sx appartiene ad Sx . Denotato con Lx l’insieme delle rette di (S, L) contenute
in Sx , si ha che (Sx , Lx ) è uno spazio semilineare. Se Sx = S, allora si dirà che
(S, L) è connesso. In caso contrario, (S, L) si compone di una famiglia di spazi
semilineari connessi due a due, tali che ogni punto dell’uno è incongiungibile con ogni
punto dell’altro. Tali spazi semilineari prendono il nome di componenti connesse di
(S, L). In seguito supporremo sempre che (S, L) sia connesso. In questo lavoro ci
proponiamo di studiare dei sottoinsiemi particolari di uno spazio semilineare, cioè
cliques, anticliques, blocking sets, ovoidi.
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Cliques, anticliques e vertici di uno spazio semilineare
Sia (S, L) uno spazio semilineare. Una clique è un sottoinsieme K di S costituito
da punti a due a due congiungibii. Per esempio, ogni sottoinsieme di un sottospazio
di (S, L) è una clique, ma in generale non é vero il viceversa. Per esempio, se si
considera una quadrica rigata di P3,k e si aggrega ad essa una retta secante, si ottiene
uno spazio semilineare che contiene cliques che non appartengono ad un sottospazio.
Una tale clique è data dai punti di incontro x, y della secante con la quadrica e da
uno dei punti di incontro delle generatrici r ed s della quadrica per x ed y. Infatti,
sia z uno dei punti di incontro delle generatrici della quadrica per x ed y. I tre
punti x, y, z costituiscono una clique, in quanto è x ∼ y, x ∼ z, y ∼ z. Ma l’insieme
{x, y, z} non è un sottoinsieme di un sottospazio T di (S, L), in quanto T conterrebbe
le rette r ed s e dunque anche i punti x0 ∈ s − {y, z} ed y 0 ∈ r − {x, z}. Ma è x0 6∼ y 0 ,
perché la retta x0 y 0 di P3,k non è una generatrice della quadrica ed è distinta dalla
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retta xy di P3,k . Pertanto l’insieme {x, y, z} non è sottoinsieme di alcun sottospazio
di (S, L).
Chiameremo anticlique un insieme A costituito da punti a due a due incongiungibili di (S, L).
Un vertice di (S, L) è un punto v congiungibile con ogni punto di S, cioè tale che
S si compone di rette per v. L’insieme dei vertici è una clique.
Diremo che (S, L) soddisfa la proprietà del triangolo, se
∀x, y, z a due a due congiungibili =⇒ esiste un sottospazio contenente x, y, z.
La proprietà del triangolo è indipendente dagli assiomi dello spazio semilineare,
come mostra il seguente esempio.
Sia (S, L) una quadrica iperbolica (I) di P3,k , qualora S coincida con i punti di
(I) ed (L) consti delle generatrici di (I), con l’aggiunta della retta data dalla coppia
di punti {x, y}. Sia z il punto di incontro di due generatrici (di sistemi diversi), una
per x ed una per y. La terna {x, y, z} è una clique, ma non soddisfa la proprietà
del triangolo, in quanto non esiste un sottospazio contenente x, y, z. Infatti, se tale
spazio esistesse, esso dovrebbe contenere le generatrici r = zx ed s = zy e dunque
anche i punti x0 ∈ s − {z, y} ed y 0 = r − {z, x}, ma x0 ed y 0 non sono congiungibili.
Si prova che:
Teorema 1 Se (S, L) soddisfa la proprietà del triangolo, l’insieme dei vertici costituisce un sottospazio.
Dimostrazione: sia U l’insieme dei vertici. Per ogni x, y ∈ U , con x 6= y, sia s la
retta xy. Per ogni punto z ∈ S, si consideri il triangolo x, y, z. Per la proprietà
del triangolo, esiste un sottospazio che contiene x, y, z. Per ogni punto u ∈ s, si ha
u ∼ z, in quanto u e z sono punti di uno stesso sottospazio. Dall’arbitrarietà di z
segue che u è congiungibile con ogni punto di S, onde u ∈ U . Dunque la retta s = xy
appartiene ad U . Ne segue l’asserto.
Teorema 2 Se (S, L) soddisfa la proprietà del triangolo, detto U l’insieme dei vertici di (S, L), per ogni x ∈ S − U , denotata con Px la proiezione di U da x, si ha che
Px è una clique.
Dimostrazione: siano y 0 e z 0 due punti distinti di U . Per il Teorema precedente,
U è un sottospazio e dunque la retta y 0 z 0 è contenuta in U e quindi in Px . Ne
segue che le rette xy 0 , xz 0 e y 0 z 0 sono rette di Px . Per la proprietà del triangolo,
esiste un sottospazio contenente x, y 0 e z 0 e dunque anche i punti y ∈ xy 0 − {x, y 0 } e
z ∈ xz 0 − {x, z 0 }. Ne segue y ∼ z e quindi che Px è una clique, cioè l’asserto.
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In generale Px non é un sottospazio, come mostra il seguente esempio. Siano α e
β due piani di uno spazio affine intersecantesi in una retta r. Lo spazio semilineare
α ∪ β ammette r come insieme dei vertici. Sia x ∈ α − r. Sia r0 la parallela per
x ad r. Si ha Px = (α − r0 ) ∪ {x}. L’insieme Px non è un sottospazio di S, in
quanto, scelti due punti distinti di Px e non appartenenti ad una stessa parallela ad
r0 , né allineati con x, la loro congiungente non è tutta contenuta in Px (in quanto
manca il punto di intersezione di essa con r0 ). Osserviamo che, se (S, L) ammette
un vertice v, allora (S, L) è connesso. Infatti, per ogni x, y ∈ S − {v}, le rette xv ed
yv costituiscono una poligonale per x ed y, onde l’asserto.
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Blocking sets ed ovoidi negli spazi semilineari
Sia (S, L) uno spazio semilineare e sia R una famiglia di parti di S. Chiameremo
blocking set rispetto ad R un sottoinsieme B di S tale che ogni elemento di R
incontra B ed il complementare di B. Ovviamente S − B è anch’esso un blocking
set.
Sia R la famiglia delle anticliques di (S, L) e B un blocking set rispetto alle
anticliques di (S, L), ossia rispetto ad R. Allora B è una clique, perché altrimenti
conterrebbe due punti non congiungibili ed ossia una anticlique (e quindi non sarebbe
un blocking set rispetto ad R). Parimenti S −B è una clique. Inoltre ogni anticlique
è costituita da una coppia di punti, uno in B ed uno in S − B. Infatti una anticlique
A non può contenere due punti distinti di B, perché B non può contenere anticliques
(anche quelle costituite da due soli punti incongiungibili). Altrettanto vale per S−B.
Teorema 3 Sia (S, L) uno spazio semilineare soddisfacente la proprietà del triangolo,in cui ogni retta contenga almeno tre punti distinti ed in cui le anticliques siano
un ricoprimento di S. Allora, se esso contiene un blocking set B rispetto alle anticliques, esso ammette esattamente due blocking sets, dati da B ed S − B. Essi sono
anche gli unici sottospazi massimali di (S, L).
Dimostrazione: proviamo dapprima che, se B è un blocking set di (S, L), nelle
ipotesi del presente Teorema, B non si riduce ad un sol punto.
Supponiamo che B consti di un solo punto. Sia x ∈ S − B. Sia A una qualunque
anticlique passante per x. In quanto B è un blocking set rispetto alle anticliques,
deve essere B ∈ A. Dunque A = {x, B} Ne segue che ogni punto di (S, L) distinto
da B è incongiungibile con B, ma ciò è assurdo, in quanto L è un ricoprimento di
S. L’assurdo prova l’asserto.
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Proviamo ora che B è un sottospazio di (S, L). Supponiamo che B non sia un
tale sottospazio. Allora esistono x ∈ B, y ∈ B, x 6= y,tali che la retta r congiungente
x con y non è contenuta in B. Dunque esiste z ∈ r, z 6∈ B. In quanto le anticliques
ricoprono S, esiste una anticlique A passante per z.Il rimanente punto t di A deve
appartenere a B. Per la proprietà del triangolo,esiste un sottospazio T che contiene
x, y, t. In particolare T contiene t e z (essendo r ⊂ T ). Ne segue l’assurdo che t ∈ T ,
z ∈ T , con t 6∼ z. L’assurdo prova l’asserto
Proviamo ora che B è un sottospazio massimale di (S, L).
Supponiamo che B non sia massimale. Allora esiste un sottospazio B 0 ⊃ B,
B 0 6= B. Sia z ∈ B 0 − B. Per z passa una anticlique A0 = {z, z 0 }, con z 0 ∈ B. Allora
il sottospazio B 0 contiene i due punti incongiungibili z e z 0 e questo è assurdo.
L’assurdo prova l’asserto.
Dimostriamo che gli unici sottospazi massimali di (S, L) sono B ed S − B.
Sia T un qualsiasi sottospazio massimale di (S, L). Si ha: T ⊂ B, oppure
T ⊂S−B
Supponiamo per assurdo che sia T 6⊂ B, T 6⊂ S − B. Allora esiste x ∈ T , x ∈ B
ed esiste y ∈ T , y ∈ S − B. Poiché T è un sottospazio, sarà x ∼ y. La retta xy deve
contenere almeno un altro punto z 6= x, z 6= y. Non può essere z ∈ B, in quanto B è
un sottospazio e la retta xz contiene il punto y che non sta in B. In modo analogo si
prova che non può essere z ∈ S − B. Si ha un assurdo da cui segue l’asserto. Essendo
T massimale e B ed S − B sottospazi, ne segue che T = B, oppure T = S − B.
Proviamo che, se x ∈ B ed y ∈ S − B, si ha x 6∼ y. Se è x ∼ y, la retta
r = xy contiene un punto z, con z 6= x, z 6= y. Ciò non può accadere,in quanto
z non può appartenere al sottospazio B, altrimenti la retta xz conterrebbe y 6∈ B.
Analogamente z 6∈ S − B. Ne segue l’assurdo e quindi l’asserto.
Proviamo infine che gli unici blocking sets rispetto alle anticliques sono B ed
S − B.
Sia B 0 un blocking set rispetto alle anticliques. Esso é un sottospazio massimale
di (S, L). Ma abbiamo già provato che si ha B 0 = B, ovvero B 0 = S − B, onde
l’asserto che prova completamente il Teorema.
Dal Teorema ora dimostrato segue che uno spazio semilineare (S, L) soddisfacente
le ipotesi del Teorema stesso, risulta l’unione disgiunta di due sottospazi B ed S −B,
tali che, se x ∈ B, y ∈ S − B, si ha x 6∼ y. Viceversa, fissati due spazi lineari in cui
ogni retta ha almeno tre punti e tali che in ciascuno di essi valga la proprietà del
triangolo, lo spazio semilineare i cui punti sono i punti dei due spazi e le rette sono
le rette dei due spazi, soddisfa le ipotesi del Teorema ora dimostrato.
Un blocking set rispetto alle rette è anche un blocking set rispetto ai sottospazi
massimali di (S, L), ma non è vero il viceversa, come mostreremo con il seguente
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esempio.
Sia
S = {A, B, C, D},
L = {{A, C}, {C, B}, {B, D}, {A, D}, {C, D}}.
L’insieme B = {A, C} è un blocking set rispetto ai sottospazi massimali che sono
{C, B, D} e {C, A, D}, ma non lo è rispetto alle rette, contenendo la retta AC ed
ammettendo la retta DB come esterna.
Osserviamo che una anticlique A è massimale, se e soltanto se, per ogni x ∈ S − A
esiste una retta per x intersecante A, in quanto x è aggregabile ad A, se e soltanto
se, esso è incongiungibile con ogni punto di A.
Un ovoide di (S, L) è un insieme Ω, intersecato da ogni sottospazio massimale in
uno ed un sol punto.
Teorema 4 Ogni ovoide Ω di (S, L) è una anticlique massimale. Inoltre è un blocking set rispetto ai sottospazi massimali, ma non in generale rispetto alle rette.
Dimostrazione: due punti a, a0 di Ω sono incongiungibili, altrimenti esisterebbe
un sottospazio massimale per essi e questo rimane escluso, onde Ω è una anticlique.
Per ogni z ∈ S − Ω passa un sottospazio massimale che incontra Ω in un punto t.
I punti z e t sono congiungibili, onde Ω è una anticlique massimale. Se esiste un
sottospazio massimale che non è una retta, allora Ω non è un blocking set rispetto
alle rette. Infatti, sia T un sottospazio massimale che non è una retta. Allora T
incontra Ω in un unico punto t. Sia r ⊂ T e t ∈ r. Sia t0 ∈ r − {t}. Poiché T non
consiste della sola retta r, esiste un punto u ∈ T − r. La retta t0 u non contiene t,
in quanto ut0 6= r e dunque è esterna ad Ω che allora non è un blocking set rispetto
alle rette.
Poiché il piano di Fano non ammette blocking sets rispetto alle rette, si ha:
Teorema 5 In ogni spazio semilineare proiettivo (S, L) tale che ogni retta abbia
esattamente tre punti, se esiste un blocking set rispetto alle rette, i sottospazi massimali sono rette.
Dimostrazione: se (S, L) contenesse un sottospazio massimale T di dimensione
maggiore od uguale a due, conterrebbe un piano di Fano, in cui vi sarebbe un
blocking set, il che è assurdo.
Teorema 6 Ogni spazio semilineare proiettivo (S, L) con le rette di cardinalità quattro che possiede qualche blocking set rispetto alle rette, ha i sottospazi massimali di
dimensione d ≤ 2.
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Dimostrazione: se (S, L) avesse un sottospazio T di dimensione ≥ 3, in esso vi
sarebbe un blocking set rispetto alle rette e questo è assurdo, in quanto in P G(3, 3)
non esistono blocking sets, per il Teorema di Mazzocca - Tallini [1].
Teorema 7 Sia (S, L) uno spazio semilineare proiettivo qualsiasi,con le rette di
cardinalità q + 1, q = ph , p primo e che contenga un blocking set rispetto alle rette.
Allora esiste un intero d0 , che dipende soltanto da q,tale che ogni sottospazio di
(S, L) abbia dimensione ≤ d0 .
Dimostrazione: in forza del Teorema di Mazzocca -Tallini [1], per ogni intero
q = ph , p primo,esiste un intero d0 , tale che in P G(d0 , q) esistono blocking sets ed
in P G(d, q), ove d > d0 non ne esistono. Ne segue che ogni sottospazio di (S, L) che
ha dimensione > d0 non può contenere blocking sets.
Teorema 8 Se (S, L) contiene una anticlique A che sia un blocking set rispetto alle
rette, allora gli spazi massimali di (S, L) sono le rette ed A è un ovoide.
Dimostrazione: sia T uno spazio massimale di (S, L) tale che non sia una retta.
Allora esistono tre punti non allineati in T , siano essi x, y, z. La retta x, y incontra A
in un punto y 0 e la retta xz in un punto z 0 . I punti y 0 e z 0 sono distinti e appartengono
a T . Dunque sono congiungibili e questo è assurdo, in quanto appartengono ad A
che è una anticlique, onde l’asserto. Inoltre A è un ovoide, perché ogni sottospazio
massimale incontra A in un solo punto, essendo A un blocking set ed una anticlique.
Teorema 9 Se un grafo G = (V, E) ammette un blocking set B, allora G è bipartito
ed è V = B ∪ A, dove A = V − B ed E è contenuto nel prodotto cartesiano di A per
B.
Dimostrazione: essendo B un blocking set, esso è una anticlique. Dal Teorema
precedente segue allora l’asserto.
Sia B una famiglia di sottospazi di (S, L), tale che ogni retta sia contenuta in
un sottospazio di B. Un sottoinsieme Ω di S si dice un ovoide rispetto a B, se ogni
B ∈ B incontra Ω in un sol punto. In particolare, se B è la famiglia dei sottospazi
massimali di (S, L), Ω è un ovoide in senso proprio.
Teorema 10 Un ovoide Ω rispetto a B è una anticlique massimale.
Dimostrazione: se a e b sono punti di Ω, essi sono incongiungibili, altrimenti la
retta ab apparterrebbe ad un sottospazio di B che ha due punti in comune con Ω e
questo è assurdo. Sia x un punto non su Ω, per x passa un sottospazio di B il quale
incontra Ω in un sol punto y che è congiungibile con x, quindi Ω è una anticlique
massimale. Si ha in tal modo l’asserto, appunto perché x è congiungibile con y.
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Sistemi parziali di Steiner
Sia (S, L) uno spazio semilineare finito, ove ogni retta abbia cardinalità k e sia
v = |S|. Esso si chiama sistema parziale di Steiner e si denota con P S(2, k, v).
Un P S(2, k, v) dicesi omogeneo, se per ogni punto passa un numero costante r
di rette. Si ha:
vr = |L|k.
Infatti, sia N il numero delle coppie costituite da un punto e da una retta per esso.
Si ha: N = vr ed anche N = |L|k.
Nel seguito supporremo sempre (S, L) omogeneo.
Sia x un punto di S e C l’insieme dei punti incongiungibili con x. Poiché i punti
congiungibili con x sono tutti e soli quelli appartenenti alle rette per x, si ha:
|C| = v − r(k − 1) − 1.
Ne segue che:
r ≤ (v − 1)/(k − 1),
r = (v − 1)/(k − 1) ⇐⇒ |C| = 0 ⇐⇒
⇐⇒ (S, L) è uno spazio lineare, ossia un sistema di Steiner.
Sia A una anticlique di (S, L). Per ogni punto di A passano r rette che incontrano
A soltanto in quel punto. Ne segue che:
|A| ≤ |L|/r.
(1)
Infatti, detta L0 la famiglia delle rette uscenti dai punti di A, si ha: |A| = |L0 |/r.
Ma è |L0 | ≤ |L|, onde segue la (1). Essendo vr = |L|k, segue allora:
|A| ≤ v/k, |A| = v/k ⇐⇒
⇐⇒ A è un ovoide ed i sottospazi massimali di (S, L) sono rette.
Infatti, se vale il segno di uguaglianza, ogni retta di (S, L) incontra A in un sol punto
e quindi, per il Teorema 8, A è un ovoide. Viceversa, se A è un ovoide e i sottospazi
massimali di (S, L) sono rette, si ha
|A| = |L|/r = v/k.
Sia B una famiglia di sottospazi di (S, L) tale che ogni suo elemento abbia cardinalità σ e tale che per ogni punto di (S, L) passano ρ elementi di B. Tale famiglia
si denota con (B, σ, ρ)
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Sia N il numero delle coppie date da un punto di S e da un sottospazio di B. Si
ha N = vρ ed anche N = |B|σ e quindi
|B| = vρ/σ.
Sia A una anticlique. Poiché per ogni punto a di A passano ρ sottospazi di B che
incontrano A soltanto in a, si ha:
|A|ρ ≤ |B| = vρ/σ,
|A|ρ = |B| ⇐⇒ A è un ovoide rispetto a B.
Infatti un ovoide è intersecato da ogni elemento di B. Ne segue che:
|A| ≤ v/σ,
(2)
il segno di uguaglianza avendosi se,e soltanto se, A è un ovoide rispetto a B.
Sia (B 0 , σ 0 , ρ0 ) un’altra famiglia di sottospazi analoga alla precedente.
Teorema 11 Se σ 0 è minore di σ, allora in (S, L) non esiste nessuna anticlique che
sia un ovoide rispetto a B 0 .
Dimostrazione: se esistesse una tale anticlique Ω0 , per la (2), si avrebbe:
|Ω0 | ≤ v/σ,
mentre |Ω0 | = v/σ,in quanto Ω0 è un ovoide rispetto a B 0 , onde l’assurdo che prova
l’asserto.
References
[1] F. Mazzocca e G. Tallini, On the non-existence of blocking sets in P G(n, q)
for all large enough n, Simon Stevin, C3, (1985), 43–50.
[2] G. Tallini, Partial line spaces and algebraic varieties, Atti Conv. Comb.,
Roma, maggio 1983, Symposia Mathematica, vol XXVIII,203–217.
[3] G. Tallini, On blocking sets in finite projective and affine spaces, Ann. discrete
Math., North Holland Publ. Co., 37 (1988),433–450.
[4] G. Tallini, Varietà di sistemi di Steiner, Rend. Mat. Roma (VII) 9 (1989),
545–588.
[5] G. Tallini, Blocking sets with respect to planes in P G(3, q) and maximal
spreads of a non-singular quadric in P G(4, q), Mitt. Math. Sem. Giessen,
201 (1991), 141–147.
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