In varie applicazioni fisiche compaiono delle quantità, come temperatura e tempo,
che possiedono soltanto “grandezza”. Esse si possono rappresentare con numeri reali,
e si chiamano scalari. D’altra parte esistono anche delle quantità, come forza e
velocità, che possiedono sia “grandezza” che “direzione”. Esse si possono
rappresentare con frecce (di opportuna lunghezza o direzione, con origine in un dato
punto di riferimento O ) e si chiamano vettori. Cominciamo prendendo in esame le
seguenti operazioni su vettori.
(i)
Addizione : La risultante u + v
di due vettori u e v si ottiene con la
cosidetta legge del parallelogramma,
cioè u + v è la diagonale del
parallelogramma formato da u e v,
come si vede a destra.
(ii) Moltiplicazione per uno scalare : Il prodotto
ku di un numero reale k per un vettore u si ottiene
moltiplicando per k la grandezza di u e conservando
la stessa direzione se k ≥ 0, o la direzione opposta,
se k < 0.
Se rappresentiamo i punti del piano tramite coppie ordinate di numeri reali e l’origine
degli assi si prende in coincidenza con il già punto O di riferimento, ogni vettore sarà
unicamente determinato dalle coordinate del suo punto terminale. Vediamo ora la
relazione fra detto punto e le precedenti relazioni.
(i)
Addizione : Se (a,b) e (c,d) sono i punti terminali dei vettori u e v, allora
(a + c , b + d ) sarà il punto terminale di u + v , come si vede nella fig. (a) qui sotto.
Fig. (a)
Fig. (b)
(ii)
Moltiplicazione per uno scalare : se (a,b) è il punto terminale del vettore u
(ka, kb) sarà punto terminale del vettore ku, come risulta nella fig. (b) sopra.
In matematica, noi identifichiamo un vettore con il suo punto terminale; quindi
chiameremo vettore la coppia ordinata (a,b) di numeri reali. In realtà possiamo
generalizzare questa nozione e chiamare vettore una n – pla (a1, a2,…, an) di numeri
reali. Potremo inoltre generalizzare e permettere che le coordinate della n – pla siano
numeri complessi e non solo numeri reali.
VETTORI IN Rn
L’insieme di tutte le n – ple di numeri reali, indicato con Rn , si chiama spazio ad n
dimensioni (n-spazio). Una particolare n – pla in Rn , diciamo :
u = (u1, u2,… un)
si chiama punto, o vettore; i numeri reali ui sono le componenti (o coordinate) del
vettore u. Inoltre, parlando dello spazio Rn usiamo il termine scalare per gli elementi
di R, cioè per i numeri reali.
Esempio 1.1: Consideriamo i seguenti vettori:
(0,1), (1, -3), (1,2,√3,4),
(-5, ½, 0, )
I primi due vettori hanno due componenti, e sono così punti di R2; gli ultimi
due ne hanno quattro, e sono quindi punti di R4 .
Due vettori u e v sono uguali, e si scrive u = v, se hanno lo stesso numero di
componenti, cioè appartengono allo stesso spazio, e se componenti corrispondenti
sono uguali. I vettori (1,2,3) e (2,3,1) non sono uguali, dato che elementi
corrispondenti non sono uguali.
Esempio 1.2: Poniamo (x - y, x + y, z - 1) = (4,2,3). Allora, per la definizione di
uguaglianza di vettori:
x - y=
x + y=
z - 1 =
4
2
3
La soluzione del precedente sistema di equazioni è: x = 3, y = -1, e z = 4
ADDIZIONE DI VETTORI E MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE
Siano u e v dei vettori in Rn:
u = (u1, u2,… un)
v = (v1, v2,… vn)
e
la somma di u e v, scritta u + v, è il vettore che si ottiene sommando le componenti
corrispondenti:
u + v = (u1+ v1, u2+ v2,…, un + vn)
Il prodotto di un numero reale k per il vettore u si scrive ku; ed è il vettore che si
ottiene moltiplicando ogni componente di u per k :
ku = (ku1, ku2,… kun)
Si osservi che u + v e ku sono anch’essi vettori in Rn. Definiamo ancora
-u = -1 u
e
u - v = u + ( -v )
La somma di vettori con diverso numero di componenti non è definita.
Esempio 1.3: Siano u =
u +v =
5u =
2u - 3 v =
(1, -3, 2, 4))
e
v = (3,5, -1, -2). Allora
(1+3. –3+5, 2-1, 4-2)
= (4,2,1,2)
(5 · 1, 5 · (-3), 5 · 2, 5 · 4 ) = (5, -15, 10, 20)
(2, -6, 4, 8) + (-9, -15, 3, 6) = (-7, -21, 7, 14)
Esempio 1.4: Il vettore (0,0,…,0) in Rn, che è indicato con 0, si chiama vettore zero.
Esso è simile allo scalare zero perché, per ogni vettore u = (u1, u2,… un),
u + 0 = (u1+ 0, u2+ 0,…, un + 0) = (u1, u2,… un) = u
Alcune proprietà fondamentali dei vettori di Rn per le operazioni di addizione di
vettori e moltiplicazione per uno scalare, sono enunciate nel seguente teorema.
Teorema 1.1: Per ogni vettore u, v, w є Rn ed ogni scalare k, k’ є R:
(i)
(u + v) + w = u + (v + w)
(v)
k (u + v) = ku + kv
(ii)
u + 0 = u
(vi)
(k + k’)u = ku + k’u
(iii)
u + (- u) = 0
(vii)
(kk’)u = k( k’u)
(iv)
u + v = v + u
(viii) 1u = u
Osservazione: Poniamo che u e v siano i vettori di Rn tali che u = kv per uno scalare non nullo
k є R. Allora si dice che u è nella stessa direzione di v se k > 0, in direzione opposta se
k < 0.
PRODOTTO SCALARE
Siano u e v dei vettori in Rn :
u = (u1, u2,… un)
v = (v1, v2,… vn)
e
Il prodotto scalare, o interno, di u e v si indica con u · v ed è lo scalare ottenuto
moltiplicando le corrispondenti componenti e sommando i prodotti che risultano:
u · v = u1v1+ u2 v2+…+ un vn
I vettori u e v si dicono ortogonali (o perpendicolari) se il loro prodotto scalare è
zero: u · v = 0
Esempio 1.5: Siano u = (1, -2, 3, 4), v = (6,7, 1, -2) e
w
= (5,-4, 5, 7). Allora
u · v = 1· 6 + (-2) · 7 + 3 · 1 +4 · (-2) = 6 -14 + 3 - 8 = -13
u · w = 1 · 5 + (-2) · (-4) + 3 · 5 + (-4) · 7 = 5 + 8 + 15 - 28 = 0
Perciò u e w sono ortogonali.
Seguono alcune proprietà fondamentali del prodotto scalare in Rn .
Teorema 1.2 : Per ogni vettore u, v, w є Rn ed ogni scalare k є R:
(i)
(u + v) · w = u · w + v · w
(iii)
u · v = v·u
(ii)
0
(k u) · v = k (u · v)
(iv)
u · u ≥ 0, e u · u = 0 se e solo se u =
Osservazione: Lo spazio Rn, con le suddette operazioni di addizione di vettori, moltiplicazione
per uno scalare e prodotto scalare, si chiama abitualmente spazio euclideo ad n dimensioni.
NORMA E DISTANZA IN Rn
Siano u e v dei vettori in : u = ( u1, u2, …, un)
tra i punti u e v, scritta d(u,v), si definisce così:
d(u,v) = (u1v1 )2 (u2 v2 )2 (un vn )2
e v = (v1, v2, …, vn ). La distanza
La norma (o lunghezza) del vettore u, scritta u , si definisce come radice quadrata
non negativa di u u:
u = u u = u12 u2 2 un 2
Per il teorema 1.2 è u u 0, quindi la radice quadrata esiste. Si osservi che
d(u,v) = u - v
Esempio 1.6: Siano u = (1,-2,4,1) e v = (3,1,-5,0). Allora
d(u,v) =
v =
(1 3) 2
(2 1) 2 (4 5) 2 (1 0) 2 95
32 12 (5) 2 0 2 35
Ora se consideriamo due punti – diciamo p = (a,b) e q = (c,d) – nel piano R2, avremo
p =
a 2 b2
e
d(p,q) =
(a c) 2 (b d ) 2
Ovvero p corrisponde alla lunghezza usuale della freccia sul piano euclideo, dall’origine al
punto p; d(p,q) corrisponde alla distanza, usuale sul piano euclideo, tra i punti p e q, come si
vede sotto:
Simile risultato sussiste per i punti sulla retta R o nello spazio R3.
Osservazione: Un vettore e si chiama vettore unità se ha norma 1: e = 1. Notare
che per ogni vettore u Rn, non nullo, il vettore eu = u / u è un vettore unità
nella stessa direzione di u.
Stabiliamo ora una relazione fondamentale nota come disuguaglianza di Cauchy –
Schwarz.
Teorema 1.3 (Cauchy – Schwarz) : Per qualsiasi u, v Rn ,
u v u v .
Con l’aiuto della suddetta disuguaglianza possiamo ora definire l’angolo θ tra i due
vettori qualsiasi non nulli u, v Rn
cos θ =
u v
u v
Notare che se u v = 0, è allora θ = 90° (oppure θ = 2 ).
Prodotto vettoriale
