Trigonometria e geometria analitica con vettori
Marco Villa
La notazione vettoriale consente di collegare algebra, geometria e trigonometria utilizzando per ogni caso la tecnica più efficiente. Un vettore si rappresenta in modo sintetico come una freccia nello
spazio, caratterizzata da “modulo”, “orientazione” e “verso” (ovvero da modulo, angolo zenitale e
azimutale, ovvero da modulo, angoli di Eulero, ecc). In modo analitico un vettore a è la somma delle sue componenti cartesiane. a = a x i + a y j + a z k (vedi libro di testo).
Per i vettori sono definite le operazioni di
• somma/sottrazione e scomposizione (inverso della somma):
• prodotto per costante (commutativo e distributivo rispetto alla somma di vettori)
• prodotto scalare di due vettori (commutativo e distributivo rispetto alla somma di vettori)
• prodotto vettoriale (ANTI-commutativo e distributivo rispetto alla somma di vettori)
Le formule analitiche si possono ricavare trattando le espressioni cartesiane come polinomi algebrici e utilizzando le regole per i prodotti tra versori cartesiani (metrica cartesiana).
Prodotto scalare: i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1
;i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0
Prodotto vettoriale: i × i = j × j = k × k = 0 ;i × j = k j × k = i k × i = j
Teorema di Pitagora
Il quadrato del modulo di un vettore è la somma dei quadrati delle componenti cartesiane ottenuto
come prodotto scalare del vettore per se stesso [attenti alla notazione!: a (vettore) ≠ a (modulo)]
2
a ≡ a 2 ≡ a ⋅ a = (a x i + a y j + a z k ) ⋅ (a x i + a y j + a z k ) = a x2 + a y2 + a z2
L’ultima uguaglianza è ottenuta svolgendo il prodotto scalare e tenendo conto che il prodotto scalare di due versori cartesiani è 1 se questi sono identici, 0 se diversi
Coseno dell’angolo tra due vettori
Si confronta l’espressione “polare” del prodotto scalare
a ⋅ b = ab cos ϕ = a ⋅ b cos ϕ
prodotto scalare = modulo di un vettore per la proiezione dell’altro sul
primo
con l’espressione algebrica
a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ = (a x i + a y j + a z k ) ⋅ (bx i + b y j + bz k ) = a x bx + a y b y + a z bz
ricavando
a x b x + a y b y + a z bz
cos ϕ =
=
a ⋅b
(a
a x bx + a y b y + a z bz
2
x
) (b
+ a 2y + a z2 ⋅
2
x
+ b y2 + bz2
ϕ
a
)
Teorema di Carnot
per il lato(c) opposto all’angolo (γ) tra gli altri due lati (a,b) di un triangolo.
c =a+b
c 2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a 2 + b 2 + 2a ⋅ b = a 2 + b 2 + 2ab cos ϑ
poiché ϑ (= angolo tra vettori) è supplementare di γ (angolo opposto a c)
c = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
b
c
b
ϑ
γ
a aa
Vettori nel piano
Le operazioni di prodotto scalare e vettoriale si rappresentano graficamente mediante frecce che
hanno un estremo in comune e appartengono allo stesso piano. Scegliamo tale piano come piano x,y
dove gli angoli vengono letti in senso antiorario (positivo).
Consideriamo i due vettori planari a, b della figura.
a = a x i + a y j b = bx i + b y j
y
cos α = a x / a, sin α = a y / a, cos β = bx / b, sin β = b y / b,
b
Usando l’espressione del coseno dell’angolo ϕ = β−α tra a e b
a
β−α
si ottiene algebricamente la formula di addizione del coseno
a x bx + a y b y
cos(β − α ) =
= cos α cos β + sin α sin β
β
a ⋅b
α
Per ricavare la formula di addizione del seno eseguiamo il prox
dotto vettoriale
a × b = ab sin (β − α )k = (a x b y − a y bx )k
sin (β − α ) =
a x b y − a y bx
= sin β cos α − cos β sin α
ab
Le formule ottenute valgono in tutti i quadranti. Alternativamente, si potrebbe calcolare α,β da
a
b
± α = cos −1 x , ± β = cos −1 x
a
b
notando che il coseno non dice se l’angolo è antiorario (positivo) od orario. Per ottenere numericamente β−α, occorre mettere a posto i segni osservando su uno schizzo in che quadranti stiano i vettori. Perciò: o utilizziamo formule generali (solitamente complicate, adatte per programmi di calcolo), o trattiamo il problema in modo misto: sistemiamo i segni in modo sintetico (grafico) e poi scriviamo equazioni tra quantità sempre positive. Nel nostro caso (vettori nel primo quadrante) occorre
sottrarre α da β: se α fosse stato nel quarto quadrante bisognava aggiungerne il valore assoluto a β.
Esempi di formule di geometria analitica elementare
Dati due punti P1(x1,y1) e P2(x2,y2) e indicata con O il punto origine O(0,0), possiamo rappresentare
il vettore P1P2 nei seguenti modi
P1P2= P1O+OP2=OP2−OP1 (regola di catena)
(x 2 − x1 )i + ( y 2 − y1 )j = (x2 i + y 2 j) − (x1i + y1 j)
Area del triangolo per i punti P0(x0,y0), P1(x1,y1) e P2(x2,y2).
1
1 x1 − x 0 y1 − y 0
area( P0 P1 P2 ) = P0 P1 × P1 P2 =
2
2 x 2 − x1 y 2 − y1
Distanza di P0(x0,y0) dalla retta per P1(x1,y1) e P2(x2,y2)
distanza =
2 ⋅ area( P0 P1 P2 ) ( x1 − x 0 )( y 2 − y1 ) − ( x 2 − x1 )( y1 − y 0 )
=
P1 P2
(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2
