La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani

Lageometriaanaliticanellospazio:punti,vettori,retteepiani
sintesieintegrazione–parteI
prof.D.Benetti
§1.Ilpuntoin R3 .
Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali
( x ;"y ;"z ) ; il primo
P
P
P
numeroèchiamatoascissadelpuntoP,ilsecondoordinataeilterzoquota.
Relazionidaricordaresuipunti:
i.
Distanzatraduepunti A x1 ;#y1 ;#z1 e B x2 ;#y2 ;#z2 :
(
AB =
)
(
)
( x − x ) + (y − y ) + (z − z )
2
2
2
1
2
1
2
1
2
.
Larelazionesidimostrafacilmente,ricordandochelalunghezzadelladiagonalediun
parallelepipedorettangolodilatia,becvale a2 + b2 + c 2 (TeoremadiPitagora).
ii.
PuntomediodelsegmentoAB:
!x +x y +y z +z $
M ## 1 2 ;$ 1 2 ;$ 1 2 && .
2
2 %
" 2
Anchequestarelazionesidimostrafacilmente,applicandoilpiccoloTeoremadiTalete.
Relazioniinteressanti:
i. Ilbaricentrodiuntriangolodivertici A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 e C x3 ;#y3 ;#z3 :
(
) (
)
(
)
!x +x +x y +y +y z +z +z $
G ## 1 2 3 ;% 1 2 3 ;% 1 2 3 && .
3
3
3
"
%
ii.
(
) (
) (
(
)
D x 4 ;#y4 ;#z4 :
!x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z $
G ## 1 2 3 4 ;& 1 2 3 4 ;& 1 2 3 4 && .
4
4
4
"
%
)
Il baricentro di un tetraedro di vertici A x1 ;#y1 ;#z1 , B x2 ;#y2 ;#z2 , C x3 ;#y3 ;#z3 e
1di13
§2.Ivettoriin R3 .
Comenelcasoin R2 ,unvettoreèdeterminatodallecoordinatedelpuntodiapplicazionevistoche
!
qualsiasivettorepuòavereoriginein O 0;#0;#0 .Quindi v = v x ;"v y ;"v z .Lecoordinatedelpunto
(
)
(
)
diapplicazionesonodettecomponentidelvettore.
Èpossibilescrivereunvettoreinfunzionedellepropriecomponentimediantel’introduzionedei
!
versori (vettori di modulo unitario) iˆ = 1;$0;$0 , ĵ = 0;$1;$0 e k̂ = 0;$0;$1 : v = v x iˆ +v y ĵ +v z k̂ (
1
)
(
)
(
)
(coordinatecartesiane) .
Èpossibilescrivereivettoriin R2 infunzionedelloromoduloedellalorodirezione(ofase).Vale
anche per i vettori in R3 , solamente che la direzione è determinata dal valore di due angoli:
v
v
!
modulo: v = v = v x2 +v y2 +v z2 ;direzione: cosθ = z ∧tanϕ = y .
v
vx
!
Quindi: v = v;"θ ,"ϕ (coordinatepolari).
(
)
!
!
Osservazione: Due vettori v1 = x1 ;#y1 ;#x1 e v2 = x2 ;#y 2 ;#z2 sono paralleli tra loro quando hanno
!
z1 z2 y1 y2
x1 y1 z1 v1
lastessadirezione,ovveroquando ! = ! ∧ = ⇒ = ∧ = ! .
x2 y2 z2 v2
v1 v2 x1 x2
(
)
(
)
§2.1.Ilprodottoscalaretravettoriin R3 .
! !
!
!
Datiduevettori v1 = x1 ;#y1 ;#x1 e v2 = x2 ;#y 2 ;#z2 ,ilprodottoscalareèdatoda v1 • v2 = v1 #v2 cosϑ ,
(
)
(
)
dove ϑ èl’angolotraiduevettori.
Questotipodiprodottodàcomerisultatounoscalare.
Ilprodottoscalaregodedelleseguentiproprietà:
! ! ! !
i.
Proprietàcommutativa: v1 • v2 = v2 • v1 .
iii.
! !
! ! !
Proprietàassociativa:lascrittura v1 • v2 • v3 nonhasensoinquanto v2 • v3 èunoscalare.
! ! !
! ! ! !
Proprietàdistributiva2: v1 • v2 + v3 = v1 • v2 + v1 • v3 .
iv.
! !
v1 • v2 = 0 ⇔ v1 = 0∨v2 = 0∨ϑ = π 2+ π k,%k ∈ Z .
ii.
(
(
)
)
1
Sistafacendoimplicitamenteusodelprodottodiunoscalareperunovettore.
2Lasommatravettorinellospazioèanalogaalcasodelpiano.
2di13
Se
consideriamo
le
componenti,
si
ottiene
! !
v1 • v2 = x1iˆ + y1 ĵ + z1k̂ • x2iˆ + y2 ĵ + z2k̂ = )(
(
)
= x1 x2iˆ • iˆ + x1 y2 + x2 y1 iˆ • ĵ + y1 y2 ĵ • ĵ + x1 z2 + x2 z1 iˆ • k̂ + z1 z2k̂ • k̂ + y1 z2 + y2 z1 ĵ • k̂ .
(
)
(
)
(
)
Ora,poichéiversorisonotraloroperpendicolari,perlaproprietàiiisihache iˆ • ĵ = iˆ • k̂ = ĵ • k̂ = 0 .
! !
Osservatoche iˆ • iˆ = ĵ • ĵ = k̂ • k̂ = 1 ,siottiene v • v = x x + y y + z z .
1
2
1 2
1 2
1 2
!
!
! !
Osservazione: due vettori v1 e v2 sono perpendicolari tra loro quando v1 • v2 = 0 , ovvero quando
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
Osservazione:apartiredalladefinizioneèsemprepossibiledeterminarel’angolotraduevettori:
! !
v1 • v2
cosϑ = ! ! .
v1 & v2
3di13