Prodotti di vettori 21/10
Riassunto
Scelto un sistema cartesiano Oxyz , l’elemento
v = (v1, v2, v3) = (v1, 0, 0) + (0, v2, 0) + (0, 0, v3) ∈ R3
corrisponde alla somma di tre vettori paralleli agli assi. Geometricamente, un vettore è determinato dalla sua direzione e
della sua norma, non dal punto di applicazione. La somma e
la differenza di due vettori sono poi rappresentate medianti i
diagonali di un parallelogramma oppure i lati di un triangolo.
~ − AC
~ = CB
~ .
In particolare, AB
~ = (x, y, z) è la lunghezza
La norma di un vettore u = AB
q
kuk = |AB| = x 2 + y 2 + z2.
Il prodotto scalare di v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) è il
numero v·w = v1 w1 +v2w2 +v3w3. In particolare, v·v = kvk2.
Se θ è l’angolo tra v 6= 0 e w 6= 0, allora
v · w = kvk kwk cos θ
e il prodotto è zero solo se v, w sono ortogonali (cioè, a 90o ).
Il prodotto vettoriale di v e w è il vettore
v × w = (v2w3 −v3w2, v3w1 −v1w3, v1w2 −v2 w1)
ortogonale ad entrambi v, w. La sua norma soddisfa
kv × wk = kvk kwk | sin θ|
mentre il verso è determinato dalla regola della mano destra.
