1. Quante sono le coppie ordinate (x, y) di interi positivi x e y che

1. Quante sono le coppie ordinate (x, y) di interi positivi x e y che soddisfano la
relazione xy + 5(x + y) = 2005?
Febbraio 2005, 15
2. Si determinino tutte le coppie (x, y) di numeri reali che verificano l’equazione
4
1 1
= + .
x+y
x y
Febbraio 2008, 15
3. Data una griglia m×n (con m, n ≥ 1) si dispone una pedina al centro di ogni casella
e una in ogni vertice della griglia (ad esempio se n = 4 e m = 3 si dispongono 32
pedine).
(a) Trovare tutte le tabelle che hanno esattamente 500 pedine.
(b) Dimostrare che esistono infiniti interi positivi k tali che non esistono griglie
con esattamente k pedine.
Cesenatico 2003, 5
4. Sia x la più piccola delle due soluzioni dell’equazione x2 − 4x + 2 = 0. Quali sono
le prime tre cifre dopo la virgola della scrittura (in base 10) del numero
x + x2 + x3 + · · · + x2009 ?
Febbraio 2009, 14
5. Francesco vuole scrivere il polinomio x16 + x come prodotto di più polinomi a
coefficienti interi, ognuno di grado almeno 1. Quanti fattori potrà ottenere al
massimo?
Febbraio 2009, 12
6. Fattorizzare x7 − 2x4 + 4x3 − 8 sugli interi, sui razionali, sui reali e sui complessi.
folklore
7. Considerati i numeri interi 2007, 2 · 2007, 3 · 2007, . . . , 20072 , bisogna calcolare
il prodotto di ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri assegnati e sommare tutti
questi prodotti. È richiesto di fornire le ultime 4 cifre del risultato.
Gara a squadre nazionale 2007, semifinale A, 15
√
√
8. Siano a, b numeri interi. Si dimostri che, se 3 a + 3 b è un numero razionale non
nullo, allora a e b sono entrambi cubi perfetti.
Cesenatico 1992, 6
9. Quanti interi n sono tali che
√
n differisce da
√
101 per meno di 1?
Febbraio 2009, 1
1
10. Qual è la seconda cifra (partendo da sinistra) del numero (1016 + 1)(108 + 1)(104 +
1)(102 + 1)(10 + 1)?
Febbraio 2010, 7
11. Sapendo che x2008 − x − 2008 = 0 e che x ≥ 0, determinare le ultime quattro cifre
prima della virgola di x4016 − 4016x.
Gara a squadre nazionale 2008, finale, 14
12. Siano a1 , a2 , a3 , a4 , quattro numeri interi distinti e sia P (x) un polinomio a coefficienti interi tale che
P (a1 ) = P (a2 ) = P (a3 ) = P (a4 ) = 1
(∗)
(a) Dimostrare che non esiste nessun numero intero n tale che P (n) = 12.
(b) Esistono un polinomio P (x) che soddisfa la condizione (∗) ed un intero n tale
che P (n) = 1998?
Cesenatico 1998, 5
13. Deteminare per quali valori di n tutte le soluzioni dell’equazione X 3 − 3X + n = 0
sono numeri interi.
Cesenatico 2002, 4
14. Indicando con x1 , x2 , x3 e x4 le soluzioni dell’equazione x4 −2x3 −7x2 −2x+1 = 0,
1
1
1
1
quanto vale
+
+
+ ?
x1 x2 x3 x4
Febbraio 2008, 10
15. Determinare quanto vale la somma dei quadrati delle radici del polinomio x3 −
46x2 + 55x − 7.
Gara a squadre nazionale 2006, semifinale A, 15
16. Sia P (x) = x3 +ax2 +bx+c. Sapendo che la somma di due delle radici del polinomio
vale zero, quale fra le seguenti relazioni tra i coefficienti di P (x) è sempre vera?
abc = 0
c = ab
c=a+b
b2 = ac
Febbraio 2007, 5
17. Quanti sono i polinomi di p(x) di secondo grado, a coefficienti interi e con 3 radici
intere, tali che p(8) = 1?
Febbraio 2005, 4
2
18. Si consideri il piano tassellato con triangoli equilateri, e sia F0 uno qualsiasi di
essi. Si costruisce una sequenza di figure sempre più grandi in questo modo: F1 è
il poligono che si ottiene aggiungendo ad F0 la cornice formata da tutti i triangoli
della tassellazione che toccano F0 (per un lato o per un vertice), F2 è il poligono
che si ottiene aggiungendo ad F1 la cornice formata dai triangoli che toccano F1 ,
e analogamente si costruiscono i successivi sino ad F10 . Da quanti triangoli della
tassellazione è composto quest’ultimo poligono?
Febbraio 2006, 6
19. Determinare quanto vale la radice 99-esima del prodotto dei divisori positivi del
numero 210 38 .
Gara a squadre nazionale 2007, semifinale A, 11
20. Sia d(n) il numero di divisori positivi di n. Calcolare la somma dei divisori primi
(ognuno preso una volta sola) di
X
[d(k)]3 .
k|20152015
Gara a squadre Incontri Olimpici 2015, 7
21. Siano a0 , a1 , a2 , . . . numeri interi tali che a0 = 19, a1 = 25, e per ogni n ≥ 0 valga
an+2 = 2an+1 − an . Qual è il più piccolo i > 0 per cui ai è multiplo di 19?
Febbraio 2008, 5
22. Una sequenza a1 , a2 , . . . di numeri interi è fissata come segue, a1 = 2008 e poi
ogni nuovo numero è la somma di tutti i precedenti più il numero di numeri precedenti. Determinare la somma di tutti i numeri primi distinti che compaiono nella
fattorizzazione di a2008 + 1.
Gara a squadre nazionale 2008, semifinale A, 5
23. Si consideri la successione di naturali a1 = 1000, a2 = x, a3 = a1 − a2 , . . . ,
an = an−2 − an−1 . La successione termina al primo ai negativo. Per quale valore
di x si ottiene la sequenza più lunga?
Gara a squadre nazionale 2007, finale, 13
√
24. Determinare le prime 4 cifre dopo la virgola di (7 + 5 2)5 .
folklore
25. Consideriamo la successione di numeri interi a1 , a2 , . . . definita nel modo seguente:
a1 = 1, a2 = 2, an+2 = 2an+1 − an + 2. Determinare il numero di naturali m
compresi tra 1 e 2008 inclusi per cui il prodotto am am+1 è a sua volta un termine
di questa successione.
Gara a squadre nazionale 2008, finale, 16
3
26. Sia p(x) = x20 + a19 x19 + a18 x18 + · · · + a1 x + a0 un polinomio, con gli ai interi.
Sappiamo che, per tutti gli interi k compresi tra 1 e 20, p(k) = 2k. Quali sono le
ultime 3 cifre del valore assoluto di p(21) − 50?
Febbraio 2007, 13
27. Sia p(x) un polinomio di grado 2010. Qual è il massimo grado che può avere il
polinomio p(x − 1) − 3p(x) + 3p(x + 1) − p(x + 2)?
Febbraio 2010, 12
28. Un polinomio f (x) di grado 9 è tale che
f (11) = 1
f (12) = 2
f (13) = 4
f (14) = 8
f (15) = 16
f (16) = 32
f (17) = 64
f (18) = 128
f (19) = 256
f (20) = 512.
Quanto vale f (24)?
Gara a squadre Incontri Olimpici 2015, 15
29. In un torneo di pallacanestro ogni squadra affronta esattamente due volte tutte
le altre squadre partecipanti. Il torneo viene vinto da una squadra sola in testa
alla classifica con 26 punti, mentre esattamente due squadre arrivano ultime con
20 punti. Quante squadre hanno partecipato al torneo?
(Ricordiamo che nella pallacanestro si assegnano 2 punti alla squadra vincente e 0
a quella sconfitta, mentre non è possibile che una partita finisca in parità.)
Cesenatico 2001, 2
30. Diciamo che un numero naturale è equilibrato se si scrive con tante cifre quanti
sono i suoi divisori primi distinti (per esempio, 15 è equilibrato, mentre 49 non lo
è). Dimostrare che c’è solo un numero finito di numeri equilibrati.
Cesenatico 1999, 2
31. Siano a, b e c tre numeri reali, positivi e inferiori a 1. Si dimostri che vale la
seguente diseguaglianza:
a2 + b2 + c2 ≤ a2 b + b2 c + c2 a + 1.
Cesenatico 1993, 5
32. Siano a, b, c numeri reali. Si dimostri che il minimo fra i numeri (a − b)2 , (b − c)2 ,
(c − a)2 è minore o uguale a
a2 + b2 + c2
.
2
Cesenatico 1992, 5
x
33. Ogni numero positivo x ha due “figli”: i numeri x + 1 e
. Quali sono i
x+1
discendenti del numero 1?
Cesenatico 1991, 6
4