Geometrie non euclidee
1. Gli Elementi di Euclide
Negli Elementi di Euclide (III sec. a.C.) è raccolto il sapere geometrico dell'antica Grecia. Quest'opera è il primo trattato, per duemila anni
assunto al ruolo di modello, in cui si svincola la matematica dalla materia e in cui le deduzioni sono organizzate secondo un preciso schema
di ragionamento. Euclide giunge infatti alle conclusioni matematico-geometriche applicando il metodo ipotetico-deduttivo, dopo aver
introdotto:
• i termini primitivi: punto, linea, linea retta, superficie, angolo piano, parallele, ...;
• le nozioni comuni (dette poi assiomi), ossia proposizioni del tipo:
– "cose uguali a una stessa cosa sono uguali";
– "il tutto è maggiore della parte";
– "cose che coincidono sono uguali";
– "…".
• i postulati:
– I: da qualsiasi punto si può condurre una retta a ogni altro punto;
– II: ogni retta si può prolungare per diritto continuamente;
– III: con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio;
– IV: tutti gli angoli retti sono uguali tra loro;
– V: se una retta incontrandone altre due forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due retti, le due rette, prolungate
all'infinito, si incontrano dalla parte in cui ci sono i due angoli minori di due retti.
Gli Elementi sono la prima realizzazione di un sistema assiomatico di tipo aristotelico in cui gli assiomi sono veri di per sé. Essi non
costituiscono semplicemente un punto di partenza per la deduzione formale, ma sono verità assolute il cui contenuto non è discutibile.
Per Euclide una proposizione è vera o perché è dimostrabile mediante ragionamenti che
P
r
Q r
si possono formalizzare attraverso il metodo ipotetico-deduttivo, o perché è evidente,
cioè accettabile in base al principio di evidenza, essendo immediatamente intuibile.
I cinque postulati sono considerati evidenti e pertanto sono accettati come veri. Per i
primi quattro l'evidenza appare indiscutibile. Nelle figure a destra è espresso graficamente
il loro contenuto.
C
r
s
r
P
Meno evidente, ossia meno intuibile, appare invece il
contenuto del quinto postulato, espresso graficamente nella
figura a sinistra.
Esempio:Una differente formulazione del quinto postulato è la seguente: "dati in un piano una retta r e punto P esterno ad essa, esiste nel
piano una sola retta s passante per P e parallela alla retta data r".
P
In questo assioma non si dice nulla sul piano, esso può appartenere a un universo infinito o finito. In un universo finito
come quello rappresentato in figura 6 tutte le rette in colore (più spesse) passanti per il punto P non incontrano la retta r.
Se aumentiamo il raggio della circonferenza che rappresenta il nostro universo avremo ancora infinite rette che passano
r
per P e non incontrano r. Se il piano è illimitato, perché dovrebbe essere evidente che la parallela a r è una sola? Il
principio di evidenza non garantisce la verità del postulato.
Poiché la verità del quinto postulato non è così evidente, come le concezioni dell'assiomatica classica richiedono, la sua assunzione
comporta lo sviluppo di una teoria geometrica nota come geometria euclidea, in cui si stabilisce, tra l'altro, che:
• in ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due angoli retti;
• in ogni triangolo la somma degli angoli interni è pari a due angoli retti;
• due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli corrispondenti congruenti o angoli coniugati interni supplementari o
angoli alterni interni (o esterni) congruenti.
Esempio: Euclide sembrava apparentemente imbarazzato dal suo quinto postulato. Nel primo libro degli Elementi, per le prime 26
proposizioni, non ne fa mai uso; successivamente introduce le proposizioni:
27. se una retta interseca altre due rette in modo: che gli angoli alterni interni sono uguali allora le rette sono parallele;
28. se una retta che interseca due rette forma l'angolo esterno uguale all'angolo interno e opposto che è dalla stessa parte, oppure angoli
interni, dalla stessa parte, la cui somma sia uguale a due angoli retti, le rette sono parallele tra loro.
Le due proposizioni precedenti costituiscono il teorema diretto delle parallele. Tale teorema venne
dimostrato senza ricorrere al quinto postulato. Euclide fece invece uso del quinto postulato nella seguente
E
proposizione:
A
G
B
29. una retta che interseca rette parallele forma gli angoli alterni interni uguali tra loro, l'angolo esterno
C
H
D uguale all'angolo interno e opposto, e angoli interni dalla stessa parte la cui somma è uguale a due angoli
retti.
F
La precedente proposizione (vedi figura) è il teorema inverso delle parallele, che non viene in realtà
dimostrato in quanto si riduce all'introduzione del quinto postulato.
2.
I tentativi di dimostrazione del quinto postulato
L'imbarazzo di Euclide rispetto al quinto postulato venne raccolto anche da altri grandi matematici del passato. Molti di essi tentarono di
dimostrarlo ma, gradualmente, si fece luce l'idea che ogni tentativo di dimostrazione costringeva comunque a sostituire il quinto postulato
con altre proposizioni di partenza che dovevano essere assunte come vere.
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Geometrie non euclidee
I tentativi di dimostrazione del quinto postulato possono riassumersi nelle tre seguenti categorie:
a. dimostrazione diretta del quinto postulato come conseguenza degli altri quattro postulati;
b. sostituzione del quinto postulato con uno più evidente e dimostrazione che il postulato di Euclide discende dal nuovo sistema di
assiomi;
c. dimostrazione indiretta del quinto postulato, secondo la quale il quinto postulato non può che essere considerato necessario e vero.
Tutti questi tentativi ebbero esito negativo, ma consentirono sia uno sviluppo delle riflessioni attorno al metodo di indagine della
matematica sia lo studio di possibili differenti geometrie per il quale si utilizzano metodi sintetici, algebrici o differenziali, relazioni tra
distanze e gruppi di trasformazioni.
B
Il quinto postulato è l'inverso della proposizione 17 degli Elementi, secondo la quale: la somma di ogni coppia di
angoli di un triangolo è minore di due angoli retti.
P1
P
C
K
H
Questo fatto incoraggiò i matematici nella ricerca della dimostrazione del quinto postulato. La proposizione 17 è
basata sull'assunzione che una linea retta a cui appartengono il vertice B e un punto interno P di un triangolo ABC
deve anche incontrare il lato AC nel punto H (figura).
A
Questa assunzione comporta l'accettazione del fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è minore o
uguale a due angoli retti ed esclude che la geometria su una sfera sia una geometria euclidea. Infatti, si consideri il
triangolo sferico ABC disegnato in figura: i due angoli in A e B, per definizione stessa di meridiani e paralleli, sono
retti e il triangolo ha la somma degli angoli interni necessariamente maggiore di due angoli retti.
A
90°
B
90°
C
Esempio: L'assunzione euclidea sopra citata può essere visualizzata in parecchi modi differenti. Per esempio, essa
equivale al fatto che una retta non si chiude su se stessa come una circonferenza: intuitivamente questo significa che
un astronomo non è in grado di vedere la sua nuca guardando attraverso un telescopio, così come un geografo non
può raggiungere un punto a est viaggiando verso ovest. Essa equivale anche ad affermare che un punto separa una retta in due semirette
oppure che, presi tre punti su una retta, uno dei tre giace esattamente tra gli altri due.
I matematici accettarono come vera la proposizione 17 e tentarono di dimostrare il quinto postulato. Tra i molti ricordiamo:
– Poseidonio (circa 100 d.C.), che definì due rette parallele come una coppia di rette complanari equidistanti. Per fare ciò assunse che:
1. il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta e da un piano ì costituisce almeno una retta;
2. due rette complanari che non si incontrano sono parallele.
Così facendo Poseidonio, piuttosto che dimostrare il quinto postulato, introdusse nuovi assiomi.
– Proclo, nel V secolo, riformulò il postulato di Euclide nella forma seguente:
se una retta interseca una retta appartenente a una coppia di rette parallele, allora interseca anche l'altra parallela.
La formulazione precedente è anche conosciuta nella forma dell'assioma di Playfair:
data una retta m e un punto P, esiste una e una sola retta parallela a m e passante per P.
– Nel XVII secolo John Wallis espresse il quinto postulato mediante una formulazione che utilizzava i triangoli:
dato un triangolo, si può costruire un triangolo simile di qualsiasi dimensione.
3. L’opera di Girolamo Saccheri
Nel XVIII secolo l'italiano Girolamo Saccheri impresse una svolta decisiva alle ricerche. Egli tentò una dimostrazione del quinto postulato
utilizzando un ragionamento in base al quale si assume che non sia vero ciò che si vuole "provare", ricavando così la proposizione stessa
che si vuole dimostrare. Essa è dunque una conseguenza della sua propria negazione.
Attenzione. Questo procedimento è differente dalla dimostrazione per assurdo, in base alla quale, assumendo che una proposizione non sia
vera, si giunge alla negazione di una proposizione già dimostrata o assunta vera, e con ciò si dimostra la verità della proposizione iniziale;
Saccheri, negando il postulato delle parallele, arrivò a dedurre di fatto una serie di teoremi di geometria non euclidea. Egli utilizzò un
quadrilatero birettangolo isoscele ottenuto innalzando sopra una base AB due segmenti ad essa perpendicolari e congruenti AC e BD, e
C
D
unendo poi C con D (figura 10).
Per la retta CD si presentano tre possibili casi:
1. gli angoli in C e D sono uguali e retti (ipotesi dell'angolo retto);
2. gli angoli in C e D sono uguali e ottusi (ipotesi dell'angolo ottuso);
A
B
3. gli angoli in C e D sono uguali e acuti (ipotesi dell'angolo acuto).
Saccheri tentò di dimostrare che le ipotesi dell'angolo ottuso e dell'angolo acuto conducono a contraddizione, mentre l'ipotesi dell'angolo
retto è l'unica consistente: infatti, accettando quest'ultima, si giunge ad affermare che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale
a due angoli retti e pertanto il postulato delle parallele rimane dimostrato.
Saccheri afferma dunque che "l'ipotesi dell'angolo ottuso è assolutamente falsa perché distrugge se stessa" mentre "l'ipotesi dell'angolo
acuto è assolutamente falsa perché ripugna alla natura della linea retta". Egli sostiene che sia contrario alla natura di linea retta il fatto che
due rette parallele abbiano "un punto all'infinito", avendo già dimostrato che al finito una retta e la sua parallela non possono avere punti in
comune.
Così facendo, Saccheri aderisce dogmaticamente al postulato delle parallele venendo meno al suo rigore logico e, con lo scopo di
dimostrare l'assoluta verità della geometria euclidea, costruisce in pratica il primo esempio di geometria non euclidea.
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Geometrie non euclidee
4. Le geometrie non euclidee
I lavori discussi nel paragrafo precedente portarono alla conclusione che, seppure nella sua completa non evidenza, il quinto postulato
fosse indispensabile per la fondazione della geometria: le proposizioni geometriche fondamentali che dipendevano da esso erano
innumerevoli, come innumerevoli erano le proposizioni equivalenti. L'idea che il postulato delle parallele fosse veramente indimostrabile a
partire dagli altri iniziò così a farsi strada nella comunità dei matematici.
La non dimostrabilità del postulato, però, non era stata dimostrata: il fatto che vari tentativi di dimostrazione fallissero, infatti, non
costituisce di per sé una prova valida in quanto potrebbero comunque esistere percorsi dimostrativi non ancora individuati.
Ciò indusse alcuni matematici, tra i quali K.G. Gauss (1777-1855), a indagare sulle geometrie non euclidee, ossia quelle geometrie che non
accettano il postulato delle parallele tra i loro assiomi. Tra le lettere di Gauss vi sono scritti nei quali egli sostiene che sia possibile
l'esistenza di una geometria non euclidea priva di contraddizioni interne.
Le prime opere in cui si descrivono le proprietà di una geometria non euclidea sono dovute a N.J. Lobacevskij (1792-1856) e J. Bolyai
(1802-1860), i quali, duemila anni dopo l’opera degli Elementi di Euclide, descrissero sistemi geometrici alternativi che segnarono anche
l'inizio di una rivoluzione culturale e concettuale nell'ambito degli studi matematici.
Oggi disponiamo di teorie complete sulle geometrie non euclidee che presenteremo in forma sintetica. Scopriremo che, lungi dall'essere
solamente uno strumento logico matematico, esse rappresentano anche un modello per la descrizione dello spazio fisico e, in particolare,
astronomico.
5. La geometria iperbolica.
La geometria iperbolica è conseguenza dei lavori di Lobacevskij. Essa si fonda sulla
negazione del quinto postulato di Euclide, ossia sulla negazione dell'unicità della
parallela.
P
α
Si considerino due rette r ed s e il punto P ∈ E s (figura). La retta s interseca r in H
quando l'angolo HPK = α è acuto: all'aumentare del valore di α, il punto di intersezione
α
H si sposta sempre più verso destra. Se α diventa ottuso, la retta s incontrerà r a sinistra
α
del punto K anziché a destra. Vi è però un punto in cui s non incontra r: è possibile cioè
supporre che esistano due situazioni limite, una da destra e una da sinistra, in cui, per un
r
particolare valore dell'angolo α, detto angolo di parallelismo αo, le rette non si
H'
K
H
intersecano. La retta s cesserà di intersecare r nel punto H quando l'angolo α tenderà da
s'
s
destra al valore dell'angolo di parallelismo, ossia per α → α+o, mentre la retta s' cesserà
di intersecare r nel punto H' quando l'angolo α tenderà da sinistra al valore dell'angolo di
parallelismo, ossia per α → α-o.
Le rette del piano passanti per P sono secanti da destra se sono interne
all'angolo MPK, sono non secanti se sono interne all'angolo MPN; da
sinistra sono secanti le rette interne all'angolo M'PK e non secanti quelle
interne all'angolo M'PN'. Esistono almeno due rette non secanti, s ed s',
una da sinistra e una da destra (figura).
N'
N
P
non secanti
s'
non secanti
M'
M
H' H'
secanti
H'
K
H H
s
H
r
La geometria iperbolica si fonda sul seguente assioma:
Assioma di Lobacewskij: Dati in un piano una retta r e un punto P
esterno ad essa, esistono almeno due rette uscenti da P che non
incontrano r.
Il termine iperbolico, che in greco significa "eccesso", sta a ricordare che
vi è un eccesso di parallele rispetto a ciò che era da tutti considerato.
secanti
Un modello di geometria iperbolica fu fornito da Felix Klein (18391925). Secondo tale modello si chiama (figura):
C
– punto di Klein o punto iperbolico un punto P interno alla conica C (si considera, per
comodità, una circonferenza);
P
– retta di Klein o retta iperbolica una qualunque corda AB;
B
– piano di Klein o piano iperbolico un insieme di punti non esterni a C.
C
A
B
C
Nel modello di Klein due rette sono:
B
–
incidenti se hanno in comune un punto di Klein (figura);
–
parallele se hanno in comune un punto di C (esiste pertanto più di una parallela) (figura).
P
A
A
D
D
Un altro di geometria iperbolica è quello di Poincarè (1854-1912). In questo modello
• il piano è la regione delimitata da una circonferenza, con l'esclusione della stessa;
• il punto è ogni punto interno alla circonferenza;
quindi i punti appartenenti al bordo della circonferenza non sono inclusi in questo modello
• la retta è ogni diametro della circonferenza e ogni arco di circonferenza ortonormale e interno a questa
(vedi figura).
αα
αα
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Si può provare che:
– due punti iperbolici distinti determinano un 'unica retta iperbolica;
– due rette iperboliche distinte determinano al massimo un punto iperbolico;
– data una retta iperbolica m e un punto iperbolico P, non appartenente a m, ci sono esattamente due rette iperboliche
distinte passanti per P e parallele a m;
– due rette iperboliche parallele alla stessa retta iperbolica sono parallele tra di loro.
Accanto a queste proprietà di incidenza sono rintracciabili molte altre proprietà relative a distanze, angoli e
congruenza.
Per esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è minore di due angoli retti (figura).
Ciò costituisce Il crollo di una verità (la somma degli angoli interni di un triangolo può non essere 180°). In figura
sono disegnate anche le altezze del triangolo iperbolico, che si incontrano in un solo punto interno.
Modello di Poincarè
Modello di Klein
P
P
P è un punto di Poincarè
P è un punto di Klein
B
B
c
A
AB e c sono rette di Poincarè (A e B non compresi)
B
A
AB è una retta di Klein (A e B non compresi)
C
B
P
C
D
A
Le retti incidenti di Poincarè
B
A
D
Le rette incidenti di Klein
C
B
A
A
C
Le rette parallele di Poincarè
Le rette parallele di Klein
D
B
C
P
P
B
C
D
A
Per P passano due parallele ad AC
A
Per P passano due parallele ad AB
La differenza fondamentale tra geometria iperbolica e geometria euclidea consiste dunque nel fatto
che la prima non accetta il postulato delle parallele all'interno del proprio sistema di assiomi. Ciò
significa che ogni teorema, dimostrato in geometria euclidea facendo ricorso al quinto postulato,
risulta falso in geometria iperbolica, mentre risultano veri tutti quelli che non fanno uso del quinto
postulato.
A
M
N
Esempio: In geometria euclidea, per ogni triangolo ABC (figura) esiste una sola parallela al lato BC
B
C
che passa per il vertice opposto A; questo fatto comporta anche che, per ogni coppia di rette parallele
tagliate da una trasversale, si forma una coppia di angoli alterni interni congruenti. Quindi l'angolo
NAB è congruente all'angolo ABC. In geometria iperbolica ci sono, invece, infinite rette parallele al lato BC che passano per il vertice A e
quindi non esiste un'unica retta tale che l'angolo NAB sia congruente all'angolo ABC e l'angolo MAC congruente all'angolo ACB.
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