R esteso – Aritmetizzazione Parziale del
simbolo di ∞
• Def. R Esteso
R* = R ∪ {+ ∞}∪ {− ∞}
• Aritmezzazione di ∞
− ∞ < x < +∞
+ ∞ + x = +∞
+ ∞ + ∞ = +∞
∀x ∈ R
− ∞ + x = −∞
− ∞ − ∞ = −∞
∀x ∈ R
x ⋅ (± ∞ ) = ±∞
∀x > 0
x ⋅ (± ∞ ) = m ∞
∀x < 0
(± ∞ ) ⋅ (± ∞ ) = +∞
(±
∞ ) ⋅ (m ∞
)=
−∞
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Insiemi Limitati ed Illimitati 1/2
• Def. Insieme Limitato Superiormente
A sottoinsieme di R è limitato superiormente se
∃k : k ≥ x ∀ x ∈ A
k è detto MAGGIORANTE dell’insieme A .
Se k appartiene all’insieme A esso è detto MASSIMO di A.
• Def. Insieme Limitato Inferiormente
A sottoinsieme di R è limitato inferiormente se
∃k : k ≤ x ∀ x ∈ A
k è detto MINORANTE dell’insieme A .
Se k appartiene all’insieme A esso è detto MINIMO di A.
• Def. Insieme Limitato
A sottoinsieme di R è limitato se è sia superiormente che inferiormente limitato.
• Def. Funzione Limitata
Una funzione f:R→ R è limitata se è limitato l’insieme delle immagini.
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Insiemi Limitati ed Illimitati 2/2
• Def. Insieme Illimitato Superiormente
A sottoinsieme di R è illimitato superiormente se NON è limitato superiormente
non ∃ k : k ≥ x ∀ x ∈ A
• Def. Insieme Illimitato Inferiormente
A sottoinsieme di R è limitato inferiormente se NON è limitato inferiormente
non ∃ k : k ≤ x ∀ x ∈ A
• Def. Insieme Illimitato
A sottoinsieme di R è illimitato se non è limitato.
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Estremo Superiore / Inferiore 1/2
• Def. Estremo Superiore di A sottoinsieme R ( Sup(A) )
Sia A sottoinsieme di R limitato superiormente, S=Sup(A) se:
1) S ≥ x , ∀ x ∈ A
2 ) ∀ ε > 0 ∃ x1 ∈ A : S − ε < x1 ≤ S
1)S è un maggiorante
2)S è il minimo dei maggioranti
• Def. Estremo Inferiore di A sottoinsieme R ( Inf(A) )
Sia A sottoinsieme di R limitato inferiormente, s=Inf(A) se:
1) s ≤ x , ∀ x ∈ A
2 ) ∀ ε > 0 ∃ x1 ∈ A : s ≤ x1 < s + ε
1)S è un minorante
2)S è il massimo dei minoranti
• Def. Massimo di A sottoinsieme R
1) M ∈ A
2) M ≥ x, ∀ x ∈ A
• Def. Minimo di A sottoinsieme R
1) m ∈ A
2) m ≤ x, ∀ x ∈ A
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Estremo Superiore / Inferiore 2/2
• Def. Se un insieme A è illimitato superiormente porremo Sup(A)=+∞
• Def. Se un insieme A è illimitato inferiormente porremo Inf(A)=-∞
• Es. Determinare Sup ed Inf dei seguenti Insiemi
1)A={1, ½, 1/3 ,1/4,.., 1/n,..}
[Sup(A)=Max(A)=1
Inf(A)=0]
2)I=[0,1)
[Sup(I)=1
Inf(I)=Min(I)=0]
3)C= {x=n-(1/n) , n=1,2,3…}
[Sup(C)=+ ∞
Inf(C)=Min(C)=0]
4)D= {x di R:x2<2 }
[Sup(D)=+√2
Inf(D)=-√2 ]
5)E = {y di R:y=ln(x) con x >1}
[Sup(E)=+ ∞
Inf(E)=0 ]
6)F = {y di R:y=x2+5x+6 con -1≤x ≤ 3}
parabola convessa con intersezioni in (-3,0) (- 2,0) con
asse_x, crescente per -1≤x ≤ 3
[Sup(F)=Max(F)=30
Inf(F)=Min(F)=2 ]
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Cardinalità di un insieme
• La cardinalità di un insieme traduce, in senso generalizzato, l’operazione del
“contare”
• Due Insiemi A e B sono equipotenti se esiste una funzione che li mette in
corrispondenza biunivoca
• L’equipotenza è una relazione i) simmetrica ii) riflessiva iii) transitiva [ma non
è una relazione di equivalenza perché ….. non è definita su un insieme!!!!]
• La “classe di equivalenza” che riunisce insieme equipotenti è detta Cardinalità
•Gli insiemi equipotenti a sottoinsiemi limitati di N del tipo {1,2,.., n} si dice che
hanno Cardinalità n. tali insiemi sono, per definizione, finiti.
•Es. A={a,b,c,d} ne segue che Card(A)=4
•Gli insiemi in corrispondenza biunivoca con N sono detti Numerabili o con
“potenza del numerabile”. La loro cardinalità è indicata con simbolo (aleph)0 ℵ0
•Si dimostra che Z e Q hanno la stessa cardinalità di N
•Si dimostra che R non è numerabile
•Gli insiemi in corrispondenza biunivoca con R sono detti con “potenza del
continuo”. La loro cardinalità è indicata con simbolo (aleph)1
ℵ1
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Topologia Elementare di R 1/5
Def. La distanza
Dato un insieme generico X, la distanza su X è una funzione
Tale che:
d ( x1 , x2 ) = 0 ⇔ x1 ≡ x2
1.Non Degenere
d : XxX → R0+
d ( x1 , x2 ) = d ( x2 , x1 ), ∀x1 , x2 ∈ X
2.Simmetrica
3.Disuguaglianza Triangolare
d ( x1 , x3 ) ≤ d ( x1 , x2 ) + d ( x2 , x3 ), ∀x1 , x2 , x3 ∈ X
d ( x1 , x2 ) = x1 − x2
Def. Distanza in R
Soddisfa alle proprietà 1. 2. Per 3. si consideri:
x1 − x3 = x1 − x2 + x2 − x3 ≤ x1 − x2 + x2 − x3
Def. Distanza in R2
d ( P1 , P2 ) = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2
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Topologia Elementare di R 2/5
Def. Intorno Sferico (Completo)di x0
Ur ( x0 ) = {x ∈ R : d ( x, x0 ) < r}
Ur ( x0 ) = {x ∈ R : x − x0 < r}
Def. Intorno Destro e Sinistro
Ur ( x0 ) = {x ∈ R : x0 − r < x < x0 + r}
Ur+ ( x0 ) = {x ∈ R : x0 < x < x0 + r}
Ur− ( x0 ) = {x ∈ R : x0 − r < x < x0 }
Def. Intorno di x0
Una qualsiasi unione di intorni sferici di contenenti x0
Def. Intorno in R* di +∞
Def. Intorno in R* di -∞
U (+∞) = {x ∈ R : x > k con k ∈ R}
U (−∞) = {x ∈ R : x < k con k ∈ R}
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Topologia Elementare di R 3/5
Def. Punto Interno
Un punto a si dice interno per l’insieme A se esiste un intorno sferico di a tutto
contenuto in A
Def. Insieme Aperto
Un insieme si dice aperto se tutti i suoi punti sono punti interni
Es. In R: (a,b) è aperto
Def. Insieme Chiuso
Un insieme si dice chiuso se il suo complementare è un insieme aperto
Es. In R: [a,b] è chiuso
Note:
• L’unione qualsiasi di insiemi aperti è un insieme aperto
• L’intersezione qualsiasi di insiemi chiusi è un insieme chiuso
• L’ intersezione finita di insiemi aperti è un insieme aperto
• L’ unione finita di insiemi chiusi è un insieme chiuso
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Topologia Elementare di R 4/3
Def. Punto Esterno
Un punto a si dice esterno per l’insieme A se esiste un intorno sferico di a tutto
contenuto nel complementare di A ( a è un punto interno del complementare di A)
Def. Punto di Frontiera
Un punto a si dice di frontiera per l’insieme A se ogni intorno sferico di a ha
intersezione non nulla sia con A che con il complementare di A
Nota: è un punto che non è né esterno né interno
Def. Frontiera
La frontiera di un insieme A è l’insieme costituito da tutti i punti di frontiera di A. Si
indica con ∂A.
Nota. ∂A unita con A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A e prende il
nome di chiusura di A.
Topologia Elementare di R 5/5
Def. Punto di Accumulazione
p è detto punto di accumulazione per l’insieme A se ogni intorno di p contiene almeno
un punto di A diverso da p
Nota: Può appartenere o non appartenere all’insieme A
Def. Insieme Derivato
l’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A è detto insieme derivato di A e
viene indicato con A’
Def. Punto Isolato
p è detto punto isolato di A se esiste un intorno di p la cui intersezione con A si riduce
al punto p stesso
Es. Determinare le Caratteristiche Topologiche di
• A={x: 0<x≤2}.
• Sup e Inf
• Aperto o chiuso
• Punti interni e di frontiera
• Punti esterni
• Insieme derivato
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