Gravitazione 1

GRAVITAZIONE
CENNI STORICI
Ipotesi principali alla base del sistema geocentrico di
Tolomeo:
1) la Terra è immobile al centro dell’Universo;
2) tutti gli astri (pianeti e stelle) ruotano intorno alla Terra;
3) i pianeti si spostano con velocità uniforme su traiettorie
circolari (epicicli) i cui centri descrivono, a loro volta,
orbite circolari (deferenti) a velocità costante;
4) Sole e Luna descrivono deferenti (senza epicicli) intorno
alla Terra.
Ipotesi principali alla base del sistema eliocentrico di
Copernico (1543):
1) il Sole, e non la Terra, è immobile al centro dell’Universo;
2) tutti gli astri (Terra compresa) ruotano intorno al Sole su
traiettorie circolari percorse nello stesso verso e giacenti
nello stesso piano;
3) tutti i pianeti (Terra compresa) sono sferici e ruotano
intorno ad uno dei loro diametri;
4) la velocità con cui i pianeti si spostano sulle loro orbite è
uniforme, ma i pianeti più vicini al Sole si spostano più
velocemente di quelli più lontani.
Moto diretto e retrogrado del pianeta Marte
Spiegazione del moto planetario nel sistema tolemaico
Spiegazione del moto planetario nel sistema copernicano
nel caso di un pianeta esterno (a) e interno (b)
(a)
(b)
Inizialmente scarso consenso per Copernico: a quel tempo i
fenomeni celesti potevano inquadrarsi altrettanto bene nello
schema geocentrico tolemaico.
Dalla fine del XVI secolo la teoria eliocentrica è stata fatta
oggetto di uno spietato ostracismo: Giordano Bruno, il primo
seguace e fervente fautore della nuova teoria, viene bruciato
vivo a Roma nel 1600.
Con l’introduzione del cannocchiale in astronomia si fecero
delle osservazioni (in particolare quelle che mostravano il
susseguirsi delle fasi del pianeta Venere) che potevano essere
spiegate solo adottando lo schema copernicano.
Ciò alla fine ha portato all’accettazione della proposta
copernicana, vincendo la lunga e ostinata opposizione di
pensatori vincolati alle concezioni filosofico-religiose del
tempo.
LE LEGGI DI KEPLERO
Forniscono una descrizione cinematica del moto planetario,
derivata dall’analisi delle osservazioni dello astronomo danese
Tycho Brahe.
I legge: i pianeti descrivono orbite ellittiche di cui il Sole
occupa uno dei fuochi.
II legge: il vettore posizione di ciascun pianeta rispetto al Sole
descrive aree uguali in tempi uguali.
III legge: i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono
proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
NATURA CENTRALE DELLA FORZA GRAVITAZIONALE
Area spazzata dal vettore posizione del pianeta nel
tempo dt:
dA =
1
1
(r + dr ) (r dθ ) = r 2 dθ
2
2
Si definisce velocità areolare:
S =
1 dθ
dA
= r2
2
dt
dt
Il momento angolare del pianeta è:
L = m r2
dθ
= 2mS
dt
Conclusione preliminare: la legge delle aree di Keplero (S =
costante) equivale alla costanza del modulo del momento
angolare del pianeta.
Siccome l’osservazione mostra che il piano dell’orbita dei
pianeti rimane costante nel tempo, anche la direzione del
vettore momento angolare rimane costante.
In definitiva: la legge delle aree di Keplero unita
all’osservazione della costanza del piano orbitale implica che
il vettore momento angolare del pianeta è costante nel tempo
e quindi la forza applicata al pianeta è centrale.
DERIVAZIONE DELLA LEGGE DI GRAVITAZIONE
UNIVERSALE
II legge di Keplero (legge delle aree) + dato osservativo che i
piani orbitali sono fissi nel tempo ⇒ la forza agente sul
pianeta è centrale.
I legge di Keplero ⇒ l’orbita di un pianeta è chiusa ⇒ la forza
è diretta verso il Sole.
I legge di Keplero ⇔ l’orbita di un pianeta è ellittica (caso
particolare circonferenza: i due fuochi coincidono col centro).
r
r
v2
FG = m a = − m rˆ
r
v = 2π r/P
r
4π 2 r
FG = − m 2 rˆ .
P
Per la III legge di Keplero (nel caso particolare di un’orbita
circolare):
P2 = k r3
r
4π 2 m
FG = −
rˆ
k r2
Conclusione preliminare: per soddisfare le leggi di Keplero, la
forza gravitazionale deve essere centrale e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza dal Sole.
r
FG ∝ m
⇓
La forza gravitazionale che il Sole esercita su ogni pianeta è
proporzionale alla massa m del pianeta (infatti la forza
gravitazionale che la Terra esercita su un corpo è
proporzionale alla massa del corpo stesso).
Analogamente:
r
FG′ ∝ M
⇓
La forza che il pianeta esercita sul Sole deve essere
proporzionale alla massa M del Sole.
Per la III legge della dinamica:
r
r
FG = − FG′
Ossia:
FG ∝ m M ⇔ k =
B
,
M
r
4π 2 m M
rˆ .
FG = −
2
B r
r
mM
FG = − G 2 rˆ .
r
Conclusione definitiva: per soddisfare le leggi di Keplero, la
forza gravitazionale deve essere centrale, direttamente
proporzionale al prodotto delle masse in gioco e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza dal Sole.
La costante di proporzionalità vale:
G = 6.67 × 10-11 m3 kg-1s-2
Non è detto a priori che la forza gravitazionale che si esercita
tra Sole e pianeti sia la stessa che si esercita tra la Terra ed un
grave o tra due masse in laboratorio. Newton, però, fece
proprio questa ipotesi (legge di gravitazione universale).
Forza gravitazionale in prossimità della superficie terrestre:
r
mM
FG = − G 2 rˆ
R
(in questo caso m massa del corpo ed M massa della Terra).
Forza peso:
r
r
P = mg
r
r
r
GM
FG = P ⇔ g = − 2 rˆ
R
r
con g accelerazione di gravità.
L’ipotesi che G sia una costante universale ha portato a
risultati coerenti in molti campi dell’astronomia e
dell’astronautica, per cui, fino a prova contraria, può essere
ragionevolmente accettata.
La costante G non dipende dal materiale di cui le masse
interagenti sono costituite né dall’eventuale mezzo (fluido) in
cui esse sono immerse.
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
Poiché la forza gravitazionale è centrale e dipende solo
dalla distanza, essa è conservativa.
Esiste una funzione energia potenziale gravitazionale
tale che:
r
dE
FG = − grad E p = − p rˆ
dr
dE p
dr
= G
mM
r2
Si integra la precedente attribuendo all’energia
potenziale valore zero per r → ∞.
∫
Ep
0
dE p = G m M
Ep = − G
mM
r
∫
r
∞
dr
r2
ENERGIA MECCANICA TOTALE
Energia totale di un sistema di due particelle di massa
M ed m soggette alla mutua interazione gravitazionale:
E =
1
1
GmM
M V 2 + m v2 −
2
2
r
Se M >> m:
E =
1
GmM
m v2 −
2
r
Nel caso di orbita circolare della massa m intorno alla
massa M si ha:
mM
v2
FG = G 2 = m a = m
r
r
m v2 = G
mM
r
E = −G
mM
2r
Osservazione importante
Questo risultato vale non solo per le orbite circolari ma
anche per quelle ellittiche.
Orbite caratterizzate dallo stesso semiasse maggiore e quindi dalla
stessa energia totale, ma con valori di eccentricità (indicati per
ciascuna orbita) e momento angolare diversi.
Manovra di “sorpasso” eseguita dal veicolo spaziale B, inizialmente
sulla stessa orbita di un altro satellite A, identico al primo, che lo
precede. Le dimensioni non sono in scala.