Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N -esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N : S N ( x) = N X an, bn ∈ R (an cos (nx) + bn sin (nx)) , n=0 (periodiche di periodo 2π, con termini di periodo 2π/n) oppure N X 2π 2π S N (x) = an cos n x + bn sin n x T T n=0 , an, bn ∈ R, T > 0 2π (periodo T , con termini di periodo T /n). Porremo ω := . T Il nome è dovuto al fatto che, per identità trigonometriche, se P (X, Y ) è un polinomio algebrico di grado N allora P (cos (ωx) , sin (ωx)) è un polinomio trigonometrico di grado N . Non saremo interessati a studiare il carattere delle serie trigonometriche ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=0 = a0 + ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 per an, bn generici. Ad esempio è immediato osservare che c’è convergenza totale (quindi assoluta ed uniforme) su R se le serie convergono assolutamente: ∀x ∈ R ∞ P n=0 an e ∞ P n=0 |an cos (nωx) + bn sin (nωx)| ≤ |an cos (nωx)| + |bn sin (nωx)| ≤ |an| + |bn| e si applica il criterio di Weierstrass. bn Discuteremo piuttosto condizioni sotto le quali una funzione f sia sviluppabile in serie trigonometrica. Quali funzioni considerare? Poiché le ridotte SN : R → R sono periodiche di periodo T , considereremo (almeno inizialmente) funzioni f periodiche di periodo T > 0 (vedremo che ciò non è restrittivo quanto potrebbe sembrare). Si noti che tali funzioni sono individuate dalla loro restrizione ad un qualsiasi intervallo di ampiezza T , ad esempio [0, T ]. Quanto alla regolarità, chiederemo f continua a tratti su [0, T ] (ossia su un qualsiasi periodo) cioè continua in tutti i punti di [0, T ] tranne al più un numero finito (dove può anche non essere definita), in cui abbia solo discontinuità eliminabili o di salto. Lo spazio (vettoriale) delle funzioni periodiche di periodo T > 0 e continue a tratti su [0, T ] sarà indicato con CT . Proprietà. Se f ∈ CT allora ∀a ∈ R Z T 0 f (x) dx = Z T /2 −T /2 f (x) dx = Z a+T a f (x) dx . Ad ogni f ∈ CT associamo una particolare serie trigonometrica, detta serie di Fourier di f . Definizione. Se f ∈ CT allora i numeri reali 1 T a0 = a0 (f ) := f (x) dx, T 0 Z 2 T an = an (f ) := f (x) cos (nωx) dx T 0 Z 2 T bn = bn (f ) := f (x) sin (nωx) dx T 0 sono detti coefficienti di Fourier di f . Con tale scelta di coefficienti (che motiveremo più avanti), scriviamo Z f ≈ a0 + ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 dove la serie trigonometrica è detta serie di Fourier di f . Finora non abbiamo concluso niente: abbiamo solo costruito una serie a partire da f . Proprietà (dei coefficienti di Fourier). Se f ∈ CT è dispari, allora a0 (f ) = an (f ) = 0 e 4 T /2 f (x) sin (nωx) dx. bn (f ) = T 0 Z Se f ∈ CT è pari, allora bn (f ) = 0 e 2 T /2 a 0 (f ) = f (x) dx, T 0 Z 4 T /2 a n (f ) = f (x) cos (nωx) dx. T 0 Z Convergenza quadratica e identità di Parseval Teorema. Sia f ∈ CT e sia SN,f la ridotta N -esima della serie di Fourier di f . Allora Z T 2 lim f (x) − SN,f (x) dx = 0 N →∞ 0 e vale l’identità di Parseval ∞ 1 T 1 X 2 2 2 2 |f (x)| dx = a0 + an + bn T 0 2 n=1 Z dove a0, an, bn sono i coefficienti di Fourier di f . Dunque, senza ulteriori ipotesi, la serie di Fourier di una qualsiasi f ∈ CT converge ad f in media quadratica su un qualsiasi intervallo limitato: lim f − SN,f = 0, ∀ [α, β ] ⊂ R. N →∞ 2,[α,β] L’identità di Parseval ∞ X 1 1 T 2 2 2 2 a + bn |f (x)| dx = a0 + T 0 2 n=1 n Z è utile per calcolare somme di serie numeriche. Inoltre implica il seguente Corollario (Lemma di Riemann-Lebesgue). lim a = lim bn = 0 n→∞ n n→∞ dove an, bn sono i coefficienti di Fourier di f . Se f ∈ CT allora Convergenza puntuale Per garantire convergenza puntuale serve regolarità maggiore (“di un ordine”). Definizione. Una funzione continua a tratti su [a, b] è regolare a tratti su [a, b] se • è derivabile in [a, b] tranne al più in un numero finito di punti • la sua funzione derivata è continua a tratti su [a, b]. Definizione. Una funzione è monotona a tratti su [a, b] se esiste una suddivisione finita di [a, b] in sottointervalli su cui essa è monotona. Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti su [0, T ] oppure monotona a tratti su [0, T ]. Allora a0 + − + f x +f x ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) = n=1 2 , ∀x ∈ R dove a0, an, bn sono i coefficienti di Fourier di f e f x± := lim f (x + h) h→0± (limiti destro e sinistro di f in x). In altri termini, la serie di Fourier di una f ∈ CT regolare o monotona a tratti su [0, T ] converge puntualmente su R (e quindi su ogni suo sottoinsieme) alla funzione regolarizzata fe di f , definita da − + f x +f x fe (x) := 2 , ∀x ∈ R. Si noti che fe (x) = f (x) se f è continua in x, da cui segue f (x) = a 0 + ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 in ogni x in cui f è continua (più in generale, in cui fe (x) = f (x)). Convergenza uniforme Data la continuità dei termini della serie, condizione necessaria per avere convergenza uniforme è la continuità della somma. Nell’ipotesi di regolarità a tratti del teorema precedente, la continuità della somma è anche sufficiente. Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti su [0, T ] e continua su [a, b]. Allora la serie di Fourier di f converge ad f uniformemente su [a, b]. Se in particolare [a, b] = [0, T ] (ossia f è continua su R), si ha convergenza uniforme su R. Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti e continua su [0, T ] (si dice anche che f è di classe C 1 a tratti su [0, T ]). Allora la serie di Fourier di f converge ad f uniformemente su R. Riepilogo della discussione sulla convergenza • Se f ∈ CT , allora la sua serie di Fourier converge ad f in media quadratica su un qualsiasi intervallo limitato [α, β ] ⊂ R. • Se f ∈ CT è regolare o monotona a tratti su [0, T ], allora la sua serie di Fourier converge puntualmente su R alla regolarizzata fe (e quindi ad f in ogni x in cui fe(x) = f (x), in particolare in ogni punto di continuità di f ). • Se f ∈ CT è regolare a tratti su [0, T ] e continua su [α, β ], allora la sua serie di Fourier converge ad f uniformemente su [α, β ] (su tutto R se f è continua su R). Esempio (gradino unitario periodico) Consideriamo la funzione (o segnale) definita da ( f (x) := 0 se − (2k + 1) π < x < 2kπ 1 se 2kπ < x < (2k + 1) π cioè la funzione 2π-periodica non definita in x = kπ, k ∈ Z, e tale che ( f (x) = 1.0 0.8 0.6 0 se − π < x < 0 1 se k ∈ Z, 0.4 0.2 0<x<π -5 5 f è continua a tratti su [0, 2π ], perché esistono finiti i limiti lim f (x) = 1 x→0+ x→π − e lim x→π + x→(2π)− f (x) = 0. 10 15 Dunque f ∈ CT con T = 2π. Calcoliamo i coefficienti di Fourier di f (T = 2π, ω = 2π/T = 1): 1 2π 1 π 1 T 1 f (x) dx = f (x) dx = dx = a0 = T 0 2π 0 2π 0 2 Z Z Z 2 T 1 2π an = f (x) cos (nωx) dx = f (x) cos (nx) dx T 0 π 0 Z π Z π 1 1 [sin (nx)]π 0 = 0 cos (nx) dx = cos (nx) ndx = = π 0 πn 0 πn Z Z 2 T 1 2π bn = f (x) sin (nωx) dx = f (x) sin (nωx) dx T 0 π 0 Z n 1 π 1 − cos nπ 1 − −1 ( ) [− cos (nx)]π ( ) 0 = sin (nωx) dx = = = . π 0 πn πn πn Z Z Dunque 1 a0 = , 2 ( 1 − (−1)n = an = 0, 1 − (−1)n bn = πn con 0 se n = 2, 4, ... 2 se n = 1, 3, ... (cioè n = 2k + 1 con k ≥ 0) e quindi risulta ∞ ∞ X 1 1 − (−1)n 1 sin ((2k + 1) x) 2 X f ≈ + sin (nx) = + . 2 πn 2 π k=0 2k + 1 n=1 La convergenza è quadratica su ogni intervallo limitato di R, puntuale su R alla funzione regolarizzata di f , cioè ( fe (x) := f (x) se x 6= 0, ±π, ±2π, ... 1/2 se x = 0, ±π, ±2π, ..., uniforme ad f su ogni [α, β ] non contenente alcuna discontinuitá. S1 = 1/2 + (2/π) sin x = S2 S3 = S1 + (2/π) sin(3x)/3 1.0 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 -2 2 4 6 8 -2 2 S11 = 1/2 + ... + (2/π) sin(11x)/11 6 8 S1, S3, S7, S11 1.0 -2 4 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 2 4 6 8 -2 2 4 6 8 Scriviamo l’identità ∞ 1 T 1 X 2 2 2 2 an + bn |f (x)| dx = a0 + T 0 2 n=1 Z di Parseval : Z 1 2π 2π 0 |f (x)|2 dx = 2 1 2 + !2 n 1 − (−1) ∞ 1 X 2 n=1 πn cioè ∞ 1 X 1 2 1 = + 2 4 2 k=0 π (2k + 1) !2 ∞ 1 1 4 X 1 = + 4 2 π 2 n=0 (2n + 1)2 da cui si ottiene ∞ X π2 1 1 π2 = − = . 2 2 2 4 8 n=0 (2n + 1) 1 Scriviamo la convergenza puntuale ∞ 2 X 1 sin ((2n + 1) x) f (x) = + 2 π n=0 2n + 1 in x = π : 2 π 2 f = ∞ sin (2n + 1) π 2 X 2 1 + 2 π n=0 2n + 1 cioè ∞ 1 2 X (−1)n 1= + 2 π n=0 2n + 1 da cui si ottiene ∞ X (−1)n π 1 π = 1− = . 2 2 4 n=0 2n + 1 Funzioni definite su intervalli limitati I risultati visti consentono di trattare anche funzioni f continue a tratti su un intervallo limitato qualsiasi [a, b] ∗, ottenendo uno sviluppo in serie di Fourier su tale intervallo. Infatti, considerato il prolungamento periodico fp di f fp(x) := f (x − kT ) se x ∈ [a + kT, b + kT ) , k ∈ Z di periodo T := b − a , risulta fp ∈ CT e fp = f su [a, b) . N.B. La scelta di riprodurre f|[a,b) invece di f|(a,b] è arbitraria: in generale si effettua la scelta più comoda (se c’è) e la questione non si pone se f (a) = f (b), o se nessuno dei due esiste. ∗ Si osservi ad esempio che una funzione f definita e continua su [a, b) tranne al più in un numero finito di punti in cui abbia limiti unilaterali finiti è continua − a tratti su [a, b] se e solo se esiste finito anche f b Quindi fp ≈ a0 + ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 dove tutti i parametri possono essere calcolati in termini di f, a, b: ω = a0 = an = bn = 2π 2π = T b−a Z T Z Z b 1 a+T 1 1 fp (x) dx = fp (x) dx = f (x) dx T 0 T a b−a a Z b 2 a n (f p ) = f (x) cos (nωx) dx b−a a Z b 2 bn (fp) = f (x) sin (nωx) dx. b−a a Inoltre =0 = lim fp − SN,fp • lim f − SN,fp 2,[a,b] 2,[a,b] N →∞ N →∞ • fp è regolare o monotona a tratti su [0, T ] se e solo se f è, rispettivamente, regolare o monotona a tratti su [a, b], quindi − ) + f (x+ ) f (x se x ∈ (a, b) fp(x−) + fp(x+) 2 lim SN,fp (x) = = − ) + f (a+ ) N →∞ 2 f (b 2 se x = a, b. Per la convergenza uniforme conviene ragionare caso per caso, applicando ad fp i risultati visti per funzioni periodiche e particolarizzando poi all’intervallo [a, b] di partenza. Serie di soli seni o coseni Una funzione f continua a tratti su un intervallo del tipo [0, T /2] ammette sviluppi in serie di Fourier di soli seni e soli coseni, su tale intervallo. Infatti, estendendo f a tutto [−T /2, T /2] tramite disparificazione f ( x) h i T se x ∈ 0, 2 d h i f (x) := T −f (−x) se x ∈ − , 0 2 ovvero parificazione f (x ) i T se x ∈ 0, 2 p h i f (x) := T f (−x) se x ∈ − , 0 2 h ci si ritrova nella situazione già considerata (di funzioni continue a tratti su un intervallo limitato qualsiasi). p I prolungamenti periodici fpd di f d ed fp di f p soddisfano però fpd ∈ CT dispari e p fp ∈ CT pari e quindi risulta fpd ≈ ∞ X n=1 bn sin (nωx) e ∞ X p an cos (nωx) fp ≈ a0 + n=1 (con coefficienti calcolabili tramite integrali su [0, T /2]). La discussione sulla convergenza procede come prima. Derivabilità termine a termine Data una f sviluppabile Fourier (almeno quadraticamente) che abbia derivata f 0 sviluppabile Fourier (almeno quadraticamente), ci chiediamo: quando lo sviluppo di f 0 è la serie derivata dello sviluppo di f ? Se f ∈ CT è regolare a tratti su [0, T ], allora f, f 0 ∈ CT e quindi f ≈ a0 + ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 e f 0 ≈ a00 + ∞ X 0 0 an cos (nωx) + bn sin (nωx) ; n=1 sotto che condizioni risulta a00 = 0 , a0n = nω bn , b0n = −nω an ? Una condizione sufficiente è senz’altro f ∈ C 1(R)∩CT , che implica (per il teorema fondamentale ed integrando per parti) 1 T 0 0 a0 = f (x) dx = f (T ) − f (0) = 0 T 0 Z 2 T 0 0 f (x) cos (nωx) dx an = T 0 Z T 2 = [f (x) cos (nωx)]T f (x) sin (nωx) dx = nω bn 0 + nω T 0 Z 2 T 0 0 f (x) sin (nωx) dx bn = T 0 Z T 2 = [f (x) sin (nωx)]T f (x) cos (nωx) dx = −nω an. 0 − nω T 0 Z Più in generale, è sufficiente anche l’ipotesi del teorema di convergenza uniforme su R, come espresso dal seguente Teorema (di derivabilità termine a termine). Se f ∈ CT è regolare a tratti e continua su [0, T ], allora f ≈ a0 + ∞ X (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) n=1 e f0 ≈ ∞ X n=1 nω (bn cos (nωx) − an sin (nωx)) . Deduzione dei coefficienti di Fourier Ricordiamo che se V è uno spazio vettoriale euclideo e W è un suo sottospazio di dimensione finita dim W = k, allora ∀x ∈ V, ∃! xW ∈ W, x − xW ⊥ W cioè (x − xW , y) = 0, ∀y ∈ W. Il vettore xW è detto proiezione ortogonale di x su W ed è anche l’unico elemento di W tale che kx − xW k = min kx − yk . y∈W Se {e1, ..., ek } è una base ortonormale di W , allora xW = k X i=1 (x, ei) ei e 2 2 kx − xW k = kxk − k X i=1 (x, ei)2 . (1) Consideriamo l’insieme CeT delle funzioni f : R → R periodiche di periodo T > 0, continue a tratti su [0, T ] e regolarizzate, che forma spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni funzionali: (f + g)(x) := f (x) + g(x) e (λf )(x) := λf (x). La forma bilineare (f, g) := Z T 0 f (x) g (x) dx è un prodotto scalare su CeT (la regolarizzazione serve per avere l’implicazione (f, f ) = 0 ⇒ f = 0), la cui norma è kf k2 := q (f, f ) = cioè la norma quadratica. Z T 0 !1/2 |f (x)|2 dx Consideriamo ora in CeT il sistema di vettori (funzioni) dato da u0(x) := 1 , un(x) := cos (nωx) , vn(x) := sin (nωx) , n = 1, 2, ... . Poiché si verifica (tramite formule di Werner) che Z T 0 uh(x)uk (x)dx = Z T 0 vh(x)vk (x)dx = Z T 0 uh(x)vk (x)dx = 0 (con h 6= k nei primi due integrali), il sistema {u0, un, vn}n∈N è ortogonale rispetto al prodotto scalare (f, g). Un sistema ortonormale si ottiene allora normalizzando: u0 un vn , ûn := , v̂n := , û0 := ku0k2 kunk2 kvnk2 dove ku0k2 = R q √ T |u x |2 dx 1/2 = T e ku k = kv k = T /2 . n 2 n 2 0( ) 0 Dunque, nello spazio CeT , il sistema infinito {û0, ûn, v̂n}n∈N, cioè 1 cos (nωx) sin (nωx) u v u n n 0 √ ,q ,q = √ , q , q , T T T /2 T /2 T /2 T /2 n∈N n∈N è ortonormale rispetto al prodotto scalare (f, g) (quindi è linearmente indipendente e dim CeT = ∞). L’insieme PN dei polinomi trigonometrici P di grado N ≥ 1 (e periodo T ) è il sottospazio di CeT generato da {û0, ûn, v̂n}n=1,...,N : N X βn α0 αn P (x ) = √ + cos (nωx) + q sin (nωx) , α0, αn, βn ∈ R. q T n=1 T /2 T /2 {û0, ûn, v̂n}n=1,...,N è base ortonormale di PN e dim PN = 2N + 1 (quindi ha senso proiettare ortogonalmente ogni f ∈ CeT su PN ). La proiezione ortogonale fPN di una qualsiasi f ∈ CeT su PN è il polinomio di Fourier di ordine N di f (ossia la ridotta N -esima Sf,N della sua serie di Fourier): infatti per la (1) si ha N X fPN = (f, û0) û0 + ((f, ûn) ûn + (f, v̂n) v̂n) con n=1 √ 1 1 f (x) √ dx = √ T a0 = T a0 (f, û0) = 0 T T Z T q cos (nω x) 1 T f (x) q dx = q an = T /2 an (f, ûn) = 0 T /2 T /2 2 Z T (f, v̂n) = Z T 0 f (x) e quindi fPN = a0 + sin (nω x) N X n=1 q T /2 dx = q T /2 bn (an cos (nωx) + bn sin (nωx)) = Sf,N . Di conseguenza vale la seguente Proposizione. ∀f ∈ CeT , il polinomio di Fourier Sf,N di f è l’unico polinomio trigonometrico di grado N ≥ 1 (e periodo T ) che minimizza lo scarto quadratico da f , cioè f − Sf,N = min kf − P k2 . 2 P ∈PN Inoltre risulta (per la (1)) N 2 X 2 2 2 2 bn) b 0) − b n) + (f, v = kf k2 − (f, u f − Sf,N (f, u 2 i=1 Z T N X T 2 2 2 2 = |f (x)| dx − T a0 − an + bn 2 0 i=1 (che conduce all’identità di Parseval). N.B. Il risultato vale anche per f ∈ CT , in quanto gli oggetti non cambiano passando alla regolarizzata f˜ ∈ C˜T .