Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui

Serie trigonometriche e di Fourier
Ci occuperemo di serie le cui ridotte N -esime sono polinomi
trigonometrici di grado (o ordine) N :
S N ( x) =
N
X
an, bn ∈ R
(an cos (nx) + bn sin (nx)) ,
n=0
(periodiche di periodo 2π, con termini di periodo 2π/n) oppure
N X
2π
2π
S N (x) =
an cos n x + bn sin n x
T
T
n=0
,
an, bn ∈ R, T > 0
2π
(periodo T , con termini di periodo T /n). Porremo ω :=
.
T
Il nome è dovuto al fatto che, per identità trigonometriche,
se P (X, Y ) è un polinomio algebrico di grado N allora
P (cos (ωx) , sin (ωx)) è un polinomio trigonometrico di grado N .
Non saremo interessati a studiare il carattere delle serie trigonometriche
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=0
= a0 +
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=1
per an, bn generici.
Ad esempio è immediato osservare che c’è convergenza totale
(quindi assoluta ed uniforme) su R se le serie
convergono assolutamente: ∀x ∈ R
∞
P
n=0
an e
∞
P
n=0
|an cos (nωx) + bn sin (nωx)| ≤ |an cos (nωx)| + |bn sin (nωx)|
≤ |an| + |bn|
e si applica il criterio di Weierstrass.
bn
Discuteremo piuttosto condizioni sotto le quali una funzione f
sia sviluppabile in serie trigonometrica.
Quali funzioni considerare?
Poiché le ridotte SN : R → R sono periodiche di periodo T ,
considereremo (almeno inizialmente) funzioni
f periodiche di periodo T > 0
(vedremo che ciò non è restrittivo quanto potrebbe sembrare).
Si noti che tali funzioni sono individuate dalla loro restrizione ad
un qualsiasi intervallo di ampiezza T , ad esempio [0, T ].
Quanto alla regolarità, chiederemo
f continua a tratti su [0, T ]
(ossia su un qualsiasi periodo)
cioè continua in tutti i punti di [0, T ] tranne al più un numero
finito (dove può anche non essere definita), in cui abbia solo
discontinuità eliminabili o di salto.
Lo spazio (vettoriale) delle funzioni periodiche di periodo T > 0
e continue a tratti su [0, T ] sarà indicato con CT .
Proprietà. Se f ∈ CT allora ∀a ∈ R
Z T
0
f (x) dx =
Z T /2
−T /2
f (x) dx =
Z a+T
a
f (x) dx .
Ad ogni f ∈ CT associamo una particolare serie trigonometrica,
detta serie di Fourier di f .
Definizione. Se f ∈ CT allora i numeri reali
1 T
a0 = a0 (f ) :=
f (x) dx,
T 0
Z
2 T
an = an (f ) :=
f (x) cos (nωx) dx
T 0
Z
2 T
bn = bn (f ) :=
f (x) sin (nωx) dx
T 0
sono detti coefficienti di Fourier di f . Con tale scelta di coefficienti (che motiveremo più avanti), scriviamo
Z
f ≈ a0 +
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=1
dove la serie trigonometrica è detta serie di Fourier di f .
Finora non abbiamo concluso niente: abbiamo solo costruito una
serie a partire da f .
Proprietà (dei coefficienti di Fourier).
Se f ∈ CT è dispari, allora a0 (f ) = an (f ) = 0 e
4 T /2
f (x) sin (nωx) dx.
bn (f ) =
T 0
Z
Se f ∈ CT è pari, allora bn (f ) = 0 e
2 T /2
a 0 (f ) =
f (x) dx,
T 0
Z
4 T /2
a n (f ) =
f (x) cos (nωx) dx.
T 0
Z
Convergenza quadratica e identità di Parseval
Teorema. Sia f ∈ CT e sia SN,f la ridotta N -esima della serie di
Fourier di f . Allora
Z T
2
lim
f (x) − SN,f (x) dx = 0
N →∞ 0
e vale l’identità di Parseval
∞ 1 T
1 X
2
2
2
2
|f (x)| dx = a0 +
an + bn
T 0
2 n=1
Z
dove a0, an, bn sono i coefficienti di Fourier di f .
Dunque, senza ulteriori ipotesi, la serie di Fourier di una qualsiasi f ∈ CT converge ad f in media
quadratica su un qualsiasi
intervallo limitato: lim f − SN,f = 0, ∀ [α, β ] ⊂ R.
N →∞
2,[α,β]
L’identità di Parseval
∞ X
1
1 T
2
2
2
2
a + bn
|f (x)| dx = a0 +
T 0
2 n=1 n
Z
è utile per calcolare somme di serie numeriche.
Inoltre implica il seguente
Corollario (Lemma di Riemann-Lebesgue).
lim a = lim bn = 0
n→∞ n
n→∞
dove an, bn sono i coefficienti di Fourier di f .
Se f ∈ CT allora
Convergenza puntuale
Per garantire convergenza puntuale serve regolarità maggiore
(“di un ordine”).
Definizione. Una funzione continua a tratti su [a, b] è regolare
a tratti su [a, b] se
• è derivabile in [a, b] tranne al più in un numero finito di punti
• la sua funzione derivata è continua a tratti su [a, b].
Definizione. Una funzione è monotona a tratti su [a, b] se
esiste una suddivisione finita di [a, b] in sottointervalli su cui essa
è monotona.
Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti su [0, T ] oppure monotona
a tratti su [0, T ]. Allora
a0 +
−
+
f x +f x
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx)) =
n=1
2
,
∀x ∈ R
dove a0, an, bn sono i coefficienti di Fourier di f e
f x±
:= lim f (x + h)
h→0±
(limiti destro e sinistro di f in x).
In altri termini, la serie di Fourier di una f ∈ CT regolare o monotona a tratti su [0, T ] converge puntualmente su R (e quindi
su ogni suo sottoinsieme) alla funzione regolarizzata fe di f ,
definita da
−
+
f x +f x
fe (x) :=
2
,
∀x ∈ R.
Si noti che fe (x) = f (x) se f è continua in x, da cui segue
f (x) = a 0 +
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=1
in ogni x in cui f è continua (più in generale, in cui fe (x) = f (x)).
Convergenza uniforme
Data la continuità dei termini della serie, condizione necessaria
per avere convergenza uniforme è la continuità della somma.
Nell’ipotesi di regolarità a tratti del teorema precedente, la continuità della somma è anche sufficiente.
Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti su [0, T ] e continua su
[a, b]. Allora la serie di Fourier di f converge ad f uniformemente
su [a, b].
Se in particolare [a, b] = [0, T ] (ossia f è continua su R), si ha
convergenza uniforme su R.
Teorema. Sia f ∈ CT regolare a tratti e continua su [0, T ] (si
dice anche che f è di classe C 1 a tratti su [0, T ]). Allora la
serie di Fourier di f converge ad f uniformemente su R.
Riepilogo della discussione sulla convergenza
• Se f ∈ CT , allora la sua serie di Fourier converge ad f in media
quadratica su un qualsiasi intervallo limitato [α, β ] ⊂ R.
• Se f ∈ CT è regolare o monotona a tratti su [0, T ], allora la sua
serie di Fourier converge puntualmente su R alla regolarizzata fe
(e quindi ad f in ogni x in cui fe(x) = f (x), in particolare in ogni
punto di continuità di f ).
• Se f ∈ CT è regolare a tratti su [0, T ] e continua su [α, β ], allora
la sua serie di Fourier converge ad f uniformemente su [α, β ]
(su tutto R se f è continua su R).
Esempio (gradino unitario periodico)
Consideriamo la funzione (o segnale) definita da
(
f (x) :=
0 se − (2k + 1) π < x < 2kπ
1 se 2kπ < x < (2k + 1) π
cioè la funzione 2π-periodica
non definita in x = kπ, k ∈ Z,
e tale che
(
f (x) =
1.0
0.8
0.6
0 se − π < x < 0
1 se
k ∈ Z,
0.4
0.2
0<x<π
-5
5
f è continua a tratti su [0, 2π ], perché esistono finiti i limiti
lim f (x) = 1
x→0+
x→π −
e
lim
x→π +
x→(2π)−
f (x) = 0.
10
15
Dunque f ∈ CT con T = 2π.
Calcoliamo i coefficienti di Fourier di f (T = 2π, ω = 2π/T = 1):
1 2π
1 π
1 T
1
f (x) dx =
f (x) dx =
dx =
a0 =
T 0
2π 0
2π 0
2
Z
Z
Z
2 T
1 2π
an =
f (x) cos (nωx) dx =
f (x) cos (nx) dx
T 0
π 0
Z π
Z π
1
1
[sin (nx)]π
0 = 0
cos (nx) dx =
cos (nx) ndx =
=
π 0
πn 0
πn
Z
Z
2 T
1 2π
bn =
f (x) sin (nωx) dx =
f (x) sin (nωx) dx
T 0
π 0
Z
n
1 π
1
−
cos
nπ
1
−
−1
(
)
[− cos (nx)]π
(
)
0 =
sin (nωx) dx =
=
=
.
π 0
πn
πn
πn
Z
Z
Dunque
1
a0 = ,
2
(
1 − (−1)n =
an = 0,
1 − (−1)n
bn =
πn
con
0 se n = 2, 4, ...
2 se n = 1, 3, ... (cioè n = 2k + 1 con k ≥ 0)
e quindi risulta
∞
∞
X
1
1 − (−1)n
1
sin ((2k + 1) x)
2 X
f ≈ +
sin (nx) = +
.
2
πn
2
π k=0
2k + 1
n=1
La convergenza è quadratica su ogni intervallo limitato di R,
puntuale su R alla funzione regolarizzata di f , cioè
(
fe (x) :=
f (x) se x 6= 0, ±π, ±2π, ...
1/2
se x = 0, ±π, ±2π, ...,
uniforme ad f su ogni [α, β ] non contenente alcuna discontinuitá.
S1 = 1/2 + (2/π) sin x = S2
S3 = S1 + (2/π) sin(3x)/3
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
2
4
6
8
-2
2
S11 = 1/2 + ... + (2/π) sin(11x)/11
6
8
S1, S3, S7, S11
1.0
-2
4
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
2
4
6
8
-2
2
4
6
8
Scriviamo l’identità
∞ 1 T
1 X
2
2
2
2
an + bn
|f (x)| dx = a0 +
T 0
2 n=1
Z
di Parseval :
Z
1 2π
2π 0
|f (x)|2 dx =
2
1
2
+
!2
n
1 − (−1)
∞
1 X
2 n=1
πn
cioè
∞
1 X
1
2
1
= +
2
4
2 k=0 π (2k + 1)
!2
∞
1
1 4 X
1
= +
4
2 π 2 n=0 (2n + 1)2
da cui si ottiene
∞
X
π2 1 1
π2
=
−
=
.
2
2 2 4
8
n=0 (2n + 1)
1
Scriviamo la convergenza puntuale
∞
2 X
1
sin ((2n + 1) x)
f (x) = +
2
π n=0
2n + 1
in x =
π
:
2
π
2
f
=
∞ sin (2n + 1) π
2 X
2
1
+
2
π n=0
2n + 1
cioè
∞
1
2 X
(−1)n
1= +
2
π n=0 2n + 1
da cui si ottiene
∞
X
(−1)n
π
1
π
=
1−
= .
2
2
4
n=0 2n + 1
Funzioni definite su intervalli limitati
I risultati visti consentono di trattare anche funzioni f continue
a tratti su un intervallo limitato qualsiasi [a, b] ∗, ottenendo uno
sviluppo in serie di Fourier su tale intervallo.
Infatti, considerato il prolungamento periodico fp di f
fp(x) := f (x − kT )
se x ∈ [a + kT, b + kT ) , k ∈ Z
di periodo T := b − a , risulta fp ∈ CT
e fp = f su [a, b) .
N.B. La scelta di riprodurre f|[a,b) invece di f|(a,b] è arbitraria:
in generale si effettua la scelta più comoda (se c’è) e la questione
non si pone se f (a) = f (b), o se nessuno dei due esiste.
∗ Si
osservi ad esempio che una funzione f definita e continua su [a, b) tranne al
più in un numero finito di punti in cui abbia limiti unilaterali
finiti è continua
−
a tratti su [a, b] se e solo se esiste finito anche f b
Quindi
fp ≈ a0 +
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=1
dove tutti i parametri possono essere calcolati in termini di f, a, b:
ω =
a0 =
an =
bn =
2π
2π
=
T
b−a
Z T
Z
Z b
1 a+T
1
1
fp (x) dx =
fp (x) dx =
f (x) dx
T 0
T a
b−a a
Z b
2
a n (f p ) =
f (x) cos (nωx) dx
b−a a
Z b
2
bn (fp) =
f (x) sin (nωx) dx.
b−a a
Inoltre
=0
= lim fp − SN,fp • lim f − SN,fp 2,[a,b]
2,[a,b]
N →∞
N →∞
• fp è regolare o monotona a tratti su [0, T ] se e solo se f è,
rispettivamente, regolare o monotona a tratti su [a, b], quindi

− ) + f (x+ )

f
(x


se x ∈ (a, b)


fp(x−) + fp(x+)
2
lim SN,fp (x) =
=

− ) + f (a+ )
N →∞
2

f
(b



2
se x = a, b.
Per la convergenza uniforme conviene ragionare caso per caso,
applicando ad fp i risultati visti per funzioni periodiche
e particolarizzando poi all’intervallo [a, b] di partenza.
Serie di soli seni o coseni
Una funzione f continua a tratti su un intervallo del tipo [0, T /2]
ammette sviluppi in serie di Fourier di soli seni e soli coseni,
su tale intervallo.
Infatti, estendendo f a tutto [−T /2, T /2] tramite disparificazione


 f ( x)
h
i
T
se x ∈ 0, 2
d
h
i
f (x) :=
T

 −f (−x) se x ∈ − , 0
2
ovvero parificazione


 f (x )
i
T
se x ∈ 0, 2
p
h
i
f (x) :=
T

 f (−x) se x ∈ − , 0
2
h
ci si ritrova nella situazione già considerata (di funzioni continue
a tratti su un intervallo limitato qualsiasi).
p
I prolungamenti periodici fpd di f d ed fp di f p soddisfano però
fpd ∈ CT dispari
e
p
fp ∈ CT pari
e quindi risulta
fpd ≈
∞
X
n=1
bn sin (nωx)
e
∞
X
p
an cos (nωx)
fp ≈ a0 +
n=1
(con coefficienti calcolabili tramite integrali su [0, T /2]).
La discussione sulla convergenza procede come prima.
Derivabilità termine a termine
Data una f sviluppabile Fourier (almeno quadraticamente) che
abbia derivata f 0 sviluppabile Fourier (almeno quadraticamente),
ci chiediamo: quando lo sviluppo di f 0 è la serie derivata dello
sviluppo di f ?
Se f ∈ CT è regolare a tratti su [0, T ], allora f, f 0 ∈ CT e quindi
f ≈ a0 +
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=1
e
f 0 ≈ a00 +
∞ X
0
0
an cos (nωx) + bn sin (nωx) ;
n=1
sotto che condizioni risulta
a00 = 0 ,
a0n = nω bn ,
b0n = −nω an ?
Una condizione sufficiente è senz’altro f ∈ C 1(R)∩CT , che implica
(per il teorema fondamentale ed integrando per parti)
1 T 0
0
a0 =
f (x) dx = f (T ) − f (0) = 0
T 0
Z
2 T 0
0
f (x) cos (nωx) dx
an =
T 0
Z T
2
= [f (x) cos (nωx)]T
f (x) sin (nωx) dx = nω bn
0 + nω
T 0
Z
2 T 0
0
f (x) sin (nωx) dx
bn =
T 0
Z T
2
= [f (x) sin (nωx)]T
f (x) cos (nωx) dx = −nω an.
0 − nω
T 0
Z
Più in generale, è sufficiente anche l’ipotesi del teorema di convergenza uniforme su R, come espresso dal seguente
Teorema (di derivabilità termine a termine). Se f ∈ CT è
regolare a tratti e continua su [0, T ], allora
f ≈ a0 +
∞
X
(an cos (nωx) + bn sin (nωx))
n=1
e
f0 ≈
∞
X
n=1
nω (bn cos (nωx) − an sin (nωx)) .
Deduzione dei coefficienti di Fourier
Ricordiamo che se V è uno spazio vettoriale euclideo e W è un
suo sottospazio di dimensione finita dim W = k, allora
∀x ∈ V, ∃! xW ∈ W, x − xW ⊥ W
cioè (x − xW , y) = 0, ∀y ∈ W.
Il vettore xW è detto proiezione ortogonale di x su W ed è
anche l’unico elemento di W tale che
kx − xW k = min kx − yk .
y∈W
Se {e1, ..., ek } è una base ortonormale di W , allora
xW =
k
X
i=1
(x, ei) ei
e
2
2
kx − xW k = kxk −
k
X
i=1
(x, ei)2 . (1)
Consideriamo l’insieme CeT delle funzioni f : R → R periodiche
di periodo T > 0, continue a tratti su [0, T ] e regolarizzate, che
forma spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni funzionali:
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
e
(λf )(x) := λf (x).
La forma bilineare
(f, g) :=
Z T
0
f (x) g (x) dx
è un prodotto scalare su CeT (la regolarizzazione serve per avere
l’implicazione (f, f ) = 0 ⇒ f = 0), la cui norma è
kf k2 :=
q
(f, f ) =
cioè la norma quadratica.
Z T
0
!1/2
|f (x)|2 dx
Consideriamo ora in CeT il sistema di vettori (funzioni) dato da
u0(x) := 1 , un(x) := cos (nωx) , vn(x) := sin (nωx) , n = 1, 2, ... .
Poiché si verifica (tramite formule di Werner) che
Z T
0
uh(x)uk (x)dx =
Z T
0
vh(x)vk (x)dx =
Z T
0
uh(x)vk (x)dx = 0
(con h 6= k nei primi due integrali), il sistema {u0, un, vn}n∈N è
ortogonale rispetto al prodotto scalare (f, g).
Un sistema ortonormale si ottiene allora normalizzando:
u0
un
vn
, ûn :=
, v̂n :=
,
û0 :=
ku0k2
kunk2
kvnk2
dove ku0k2 =
R
q
√
T |u x |2 dx 1/2 = T e ku k = kv k = T /2 .
n 2
n 2
0( )
0
Dunque, nello spazio CeT , il sistema infinito {û0, ûn, v̂n}n∈N, cioè








 1 cos (nωx) sin (nωx) 

u
v
u
n
n
0
√ ,q
,q
= √ , q
, q
,







 T
T
T /2 T /2
T /2
T /2
n∈N
n∈N
è ortonormale rispetto al prodotto scalare (f, g)
(quindi è linearmente indipendente e dim CeT = ∞).
L’insieme PN dei polinomi trigonometrici P di grado N ≥ 1 (e
periodo T ) è il sottospazio di CeT generato da {û0, ûn, v̂n}n=1,...,N :


N
X
βn
α0
 αn

P (x ) = √ +
cos (nωx) + q
sin (nωx) , α0, αn, βn ∈ R.
q
T n=1
T /2
T /2
{û0, ûn, v̂n}n=1,...,N è base ortonormale di PN e dim PN = 2N + 1
(quindi ha senso proiettare ortogonalmente ogni f ∈ CeT su PN ).
La proiezione ortogonale fPN di una qualsiasi f ∈ CeT su PN è il
polinomio di Fourier di ordine N di f (ossia la ridotta N -esima
Sf,N della sua serie di Fourier): infatti per la (1) si ha
N
X
fPN = (f, û0) û0 +
((f, ûn) ûn + (f, v̂n) v̂n)
con
n=1
√
1
1
f (x) √ dx = √ T a0 = T a0
(f, û0) =
0
T
T
Z T
q
cos (nω x)
1 T
f (x) q
dx = q
an = T /2 an
(f, ûn) =
0
T /2
T /2 2
Z T
(f, v̂n) =
Z T
0
f (x)
e quindi fPN = a0 +
sin (nω x)
N
X
n=1
q
T /2
dx =
q
T /2 bn
(an cos (nωx) + bn sin (nωx)) = Sf,N .
Di conseguenza vale la seguente
Proposizione. ∀f ∈ CeT , il polinomio di Fourier Sf,N di f è
l’unico polinomio trigonometrico di grado N ≥ 1 (e periodo T )
che minimizza lo scarto quadratico da f , cioè
f − Sf,N = min kf − P k2 .
2
P ∈PN
Inoltre risulta (per la (1))
N 2
X
2
2
2
2
bn)
b 0) −
b n) + (f, v
= kf k2 − (f, u
f − Sf,N (f, u
2
i=1
Z T
N X
T
2
2
2
2
=
|f (x)| dx − T a0 −
an + bn
2
0
i=1
(che conduce all’identità di Parseval).
N.B. Il risultato vale anche per f ∈ CT , in quanto gli oggetti non
cambiano passando alla regolarizzata f˜ ∈ C˜T .