Programma del corso di Equazioni alle derivate parziali

Programma del corso di
Equazioni alle derivate parziali lineari
Corso di Laurea in Matematica
Anno Accademico 2013-14
Docente: Andrea Corli
Introduzione. Generalità sulle equazioni a derivate parziali. Alcuni risultati analitici: la funzione
Gamma, misura di palle e sfere
n-dimensionali,
vari risultati sull'integrazione.
L'equazione del trasporto. Il problema ai valori iniziali. Il problema non omogeneo. Interpre-
tazione della soluzione.
L'equazione di Laplace. Deduzione sica dell'equazione. La soluzione fondamentale. L'equazione
di Poisson.
Formule di media.
Il principio del massimo; unicità delle soluzioni.
Regolarità
C∞
delle so-
luzioni dell'equazione di Laplace. Stime sulle derivate delle soluzioni (P). Il teorema di Liouville.
Rappresentazione delle soluzioni dell'equazione di Poisson. Analiticità delle soluzioni dell'equazione
di Laplace. La disuguaglianza di Harnack.
La funzione di Green: deduzione generale e proprietà. La funzione di Green per un semispazio;
formula di Poisson. La funzione di Green per una palla (*); formula di Poisson.
Metodi dell'energia.
Unicità delle soluzioni per l'equazione di Poisson con dato al bordo.
Il
principio di Dirichlet.
L'equazione del calore. Deduzione sica dell'equazione. La soluzione fondamentale. Il problema
ai valori iniziali. Il problema non omogeneo: il principio di Duhamel.
Formula di media (*). Il principio del massimo; unicità delle soluzioni. Il principio del massimo
per il problema ai valori iniziali in
Rn ;
unicità delle soluzioni. Soluzioni non siche (*). Regolarità
delle soluzioni dell'equazione del calore.
Stime locali per le soluzioni (*); regolarità analitica e
Gevrey (*).
Metodi dell'energia: unicità delle soluzioni.
L'equazione delle onde. Deduzione sica dell'equazione. Il caso
n = 1:
formula di d'Alembert.
La formula di d'Alembert in un quadrante.
n ≥ 2: il metodo di discesa. Le medie sferiche e l'equazione di Eulero-Poisson-Darboux. Il
n = 3: riduzione dell'equazione di Eulero-Poisson-Darboux all'equazione delle onde e soluzione.
Il caso n = 2 dedotto dal caso n = 3. Il caso n dispari, n ≥ 3: formula di rappresentazione della
soluzione del problema ai valori iniziali (*); il teorema di esistenza e unicità (*). Il caso n pari,
n ≥ 2: formula di rappresentazione della soluzione del problema ai valori iniziali (*); il teorema di
Il caso
caso
esistenza e unicità (*).
Il problema non omogeneo. I casi speciali
n=1
e
n = 3.
Metodi dell'energia. Unicità delle soluzioni. Il dominio di dipendenza.
Il metodo delle serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alle tre equazioni studiate.
Tutti gli enunciati del corso sono completati dalla loro dimostrazione, ad eccezione di quelli dove
appare (*); (P) indica che la dimostrazione è stata svolta solo in parte. Il corso è stato completato
da vari esercizi, molti dei quali tratti dal libro di Evans.
1
Libro consigliato.
•
L.C. Evans:
Partial Dierential Equations.
American Mathematical Society, second edition,
2010.
Altri libri consigliati.
Functions of Several Variables, Springer, second edition, 1977.
•
W. Fleming :
•
G.B. Folland :
Introduction to Partial Dierential Equations,
. Princeton University Press,
second edition, 1995.
•
D. Gilbarg, N.S. Trudinger :
Elliptic Partial Dierential Equation of Second Order.
Springer,
second edition, 1983.
•
F. John:
Partial Dierential Equations.
•
S. Salsa:
Equazioni a Derivate Parziali - Metodi, applicazioni e modelli.
Springer, fourth edition, 1982.
Springer, 2004.
Esercizi.
•
S. Salsa, G. Verzini:
Equazioni a Derivate Parziali - Complementi ed esercizi.
Springer, 2005.
Articoli generali di rassegna, tra lo storico e il contemporaneo.
•
H. Brezis, F. Browder:
Partial Dierential Equations in the 20th Century.
Adv.
Math.
135(1998), 76144.
•
S. Klainerman:
Partial dierential equations.
to Mathematics, Princeton, 2008.
2
In T. Gowers (ed.):
The Princeton Companion