Formula soddisfacibile, tautologia
• Una formula proposizionale X è soddisfatta da una valutazione
booleana v, se v(X) = t (in simboli, v |= X)
• Una formula proposizionale X è soddisfacibile se v |= X, per
qualche valutazione booleana v
• Una formula proposizionale X è insoddisfacibile (o
contraddittoria) se v 6|= X, per ogni valutazione booleana v
• Una formula proposizionale X è una tautologia se v |= X, per
ogni valutazione booleana v
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Soddisfacibilità di insiemi di formule
Sia S ⊆ Prop
• S è soddisfatto da v se v |= X, per ogni X ∈ S (in simboli
v |= S)
• S è soddisfacibile se esiste v tale che v |= S
• S è insoddisfacibile se v 6|= S, per ogni v
• X è conseguenza logica di S (in simboli S |= X) se per ogni v
tale che v |= S si ha che v |= X
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Validità, insoddisfacibilità e conseguenza logica
Lemma
X è una tautologia se e solo se ¬X è insoddisfacibile
Lemma
S |= X se e solo se S ∪ {¬X} è insoddisfacibile
Lemma
S ∪ {X} |= Y se e solo se S |= X ⊃ Y
Teorema della deduzione semantica
X1, . . . , Xn |= Y se e solo se |= (X1 ⊃ . . . (Xn ⊃ Y ))
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Sostituzioni
Sia P una lettera proposizionale, X ed F due formule. Indichiamo
P la formula che si ottiene sostituendo X a P in F .
con FX
sub P,X (F ) : Prop → Prop
P
sub P,X (F ) = FX
• La formula F si può indicare come F (P ) sottolineando che P è
una lettera proposizionale importante che potrebbe anche non
occorrere in F .
• F (X) è il risultato della sostituzione di P con X se P è
presente.
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Teorema di sostituzione
Teorema di sostituzione versione I. Siano F (P ), X e Y
delle formule proposizionali, e v sia una valutazione booleana. Se
v(X) = v(Y ) allora v(F (X)) = v(F (Y )).
Teorema di sostituzione versione II. Se X ≡ Y è una
tautologia, tale è F (X) ≡ F (Y ).
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Forma normale negativa
Una formula proposizionale X viene detta in forma normale
negativa se gli unici simboli di negazione in X occorrono davanti
alle lettere proposizionali.
Ogni formula proposizionale può essere messa in forma normale
negativa
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Notazione uniforme
• Per ridurre il numero di casi che devono essere considerati
quando si trattano tecniche e metodi di dimostrazione, conviene
considerare un piccolo numero di connettivi di base e prendere
gli altri come derivati.
• Useremo la notazione uniforme di Smullyan che mette a
disposizione un vasto insieme di connettivi senza dover
considerare un gran numero di casi nelle dimostrazioni e nelle
definizioni.
• raggruppiamo le formule proposizionali delle forme (X ◦ Y ) e
¬(X ◦ Y ) (◦, connettivo primario) in due categorie
– α-formule (congiuntive)
– β-formule (disgiuntive)
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α- formule e β-formule
α
α1
α2
β
β1
β2
X1 ∧ X2
¬(X1 ∨ X2)
¬(X1 ⊃ X2)
¬(X1 ⊂ X2)
¬(X1 ↑ X2)
X1 ↓ X2
X1 6⊃ X2
X1 6⊂ X2
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X2
¬X2
¬X2
X2
X2
¬X2
¬X2
X2
¬(X1 ∧ X2)
X1 ∨ X2
X1 ⊃ X2
X1 ⊂ X2
X1 ↑ X2
¬(X1 ↓ X2)
¬(X1 6⊃ X2)
¬(X1 6⊂ X2)
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X2
X2
X2
¬X2
¬X2
X2
X2
¬X2
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Altri tipi di formule
Abbiamo anche:
• Le formule ⊤, ⊥, P , ¬P , ¬⊤, ¬⊥.
• Le formule di tipo ¬¬Z
In questo modo esauriamo tutti i tipi di formule
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