5.2 Circuiti in regime sinusoidale

5.2 Circuiti in regime sinusoidale
+ A
+
+
V
B
I
+
+
W
B
V
+
B
-
(a)
I
219
V
-
(b)
(c)
Figura 5.4. Simboli del (a) voltmetro, (b) amperometro e (c) wattmetro ideali e
relativi schemi di inserzione
Nel simbolo del voltmetro ideale uno dei due terminali è contrassegnato con il
+: ciò serve ad indicare senza ambiguità il verso di riferimento per la tensione
del bipolo B da misurare.
L’amperometro ideale per il regime stazionario è un bipolo che collegato in
serie ad un dato bipolo ne misura l’intensità di corrente senza influire sul funzionamento del circuito in cui è inserito (in altri termini l’intensità di corrente
misurata con l’amperometro è la stessa che si avrebbe nel bipolo in esame
se esso non fosse inserito nel circuito). È chiaro dunque che un amperometro
ideale è equivalente ad un corto circuito. Nel simbolo del’amperometro ideale
uno dei due terminali è contrassegnato con il +: esso va connesso al terminale
per il quale il verso di riferimento è entrante. Il wattmetro ideale per il regime
stazionario misura la potenza elettrica assorbita dal bipolo, ancora una volta
senza alterare il funzionamento del circuito in cui è inserito. La coppia (di
terminali) voltmetrica è collegata in parallelo e la coppia amperometrica in
serie al bipolo B , fig. 5.4c. Per la coppia voltmetrica del wattmetro, il morsetto contrassegnato con il + va connesso al terminale del bipolo contrassegnato
con il + e per la coppia amperometrica il morsetto contrassegnato con il +
va connesso al terminale per il quale il verso di riferimento è entrante. In tal
modo la misura di potenza è in accordo con la convenzione dell’utilizzatore.
5.2 Circuiti in regime sinusoidale
Consideriamo ora un circuito dinamico C d lineare tempo invariante costituito
da resistori, condensatori, induttori e generatori indipendenti di tensione e/o
di corrente sinusoidali alla stessa pulsazione ω (isofrequenziali). Si assuma
che il circuito C d sia a regime (ogni eventuale transitorio nella sua dinamica
si è estinto). Dunque, per quanto affermato in precedenza, tutte le tensioni e
le intensità di corrente del circuito variano sinusoidalmente nel tempo.
5.2.1 Grandezze sinusoidali
Una funzione (del tempo) sinusoidale ha in generale la forma:
a (t) = Am cos (ωt + α) = Am cos (2πf · t + α) ,
(5.4)
252
5 Circuiti dinamici lineari a regime
_
I
+
_
VR
-
+
+
R
_
V
_
I
C
-
+
_
VR
+
+
_
VC
R
_
V
-
-
_
VL
L
(a)
(b)
Figura 5.24. Bipoli di impedenze: (a) RC serie e (b) RL serie
positiva se gli elementi del bipolo B ω sono tutti passivi. Invece, il segno della
reattanza può essere sia positivo che negativo. Se il bipolo contiene resistori e
induttori la sua reattanza è positiva; se, invece, contiene solo resistori e condensatori la sua reattanza è negativa. La parte immaginaria dell’impedenza
può essere uguale a zero anche quando nel bipolo ci sono sia induttori che condensatori: ciò accade se la potenza reattiva assorbita dagli induttori è uguale
a quella erogata dai condensatori (circuiti risonanti).
5.5.1 Bipolo RC serie
Si consideri il bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R ed un condensatore di capacità C collegati in serie (bipolo RC serie),
fig. 5.24a. L’impedenza di questo bipolo è:
ŻRC = R − j
1
.
ωC
(5.95)
Per ω → 0 la parte immaginaria, e dunque il modulo dell’impedenza tende ad
∞ ed il bipolo, praticamente, si comporta come se fosse un circuito aperto.
Invece, per ω → ∞ la parte immaginaria tende a zero ed il comportamento
del bipolo è equivalente ad un resistore di resistenza R. Posto:
τRC = RC,
(5.96)
si ha che per ω << 1/τRC la parte immaginaria di ŻRC è molto più grande di
quella reale. In queste condizioni il bipolo si comporta, in prima approssimazione, come se il resistore non vi fosse. Per ω >> 1/τ si ha la situazione duale:
il bipolo si comporta, in prima approssimazione, come se il condensatore non
vi fosse.
L’espressione del modulo dell’impedenza ŻRC è:
s
1
ZRC = R 1 +
,
(5.97)
(ωτRC )2
292
5 Circuiti dinamici lineari a regime
1:n
_
E
n:1
.
Zu
+
-
(a)
_
Ig
_
E
_
Il
1:n
+
-
Rl
n:1
+
_
V1
+
_
V2
-
-
T1
_
Ic
+
. _
Zu V c
T2
-
(b)
Figura 5.49. (a) Schema di principio di un sistema in alta tensione per la
trasmissione dell’energia elettrica; (b) suo circuito equivalente
di un fattore n, il secondo fa esattamente l’operazione inversa. In fig. 5.49b la
linea è stata “modellata” tramite un’impedenza equivalente. Questo circuito
è il più semplice modello di un sistema di trasporto dell’energia elettrica: l’impedenza Żl porta in conto gli effetti dovuti ai conduttori delle linee elettriche
con i quali viene trasportata l’energia elettrica dalle centrali di produzione ai
luoghi dove deve essere utilizzata (queste linee possono essere lunghe parecchie
centinaia di chilometri, eventualmente migliaia)
L’utilizzatore è caratterizzato dal valore efficace nominale Vu della tensione, dalla potenza media assorbita Pu e dal fattore di potenza cos φu (si
assuma che la potenza reattiva da esso assorbita sia positiva). Pertanto è fissato il valore efficace nominale della sua corrente Iu ed il ritardo del fasore
della corrente rispetto a quello della tensione.
La potenza dissipata lungo la linea è data da:
Pl = Rl Il2 ,
(5.221)
dove Il è il valore efficace dell’intensità di corrente di linea ed Rl la resistenza.
Usando le equazioni caratteristiche del trasformatore ideale, si ottiene:
V̄u =
V̄2
, V̄1 = nĒ,
n
I¯u
I¯l = , I¯g = nI¯l .
n
(5.222)
300
5 Circuiti dinamici lineari a regime
P1
Q1
P2
P1 = 10 kW,
Q1 = 6 kVAr,
P2 = 2 kW.
Q2
Figura 5.54. Due utilizzatori trifase equilibrati in parallelo
Vogliamo calcolare: a) il valore efficace delle correnti di linea quando Q2 = 1 kVAr; b) il valore di Q2 per il quale i generatori “vedano” un utilizzatore puramente resistivo, calcolando nuovamente in tali
condizioni le correnti di linea.
Essendo il circuito in esame equilibrato, possiamo calcolare quanto
richiesto senza passare per i fasori. Posto anzitutto Q2 = 1 kVAr, le
potenze medie e reattive assorbite dai due utilizzatori sono:
Ptot = P1 + P2 = 12 kW,
Qtot = Q1 + Q2 = 7 kVAr.
Pertanto l’ utilizzatore complessivo è caratterizzato da un fattore di
potenza:
Qtot ∼
φ = arctan
= 0.53 → cos φ = 0.86.
Ptot
Dall’espressione (5.245) possiamo direttamente ricavare il valore efficace delle correnti di linea:
Ptot
∼
Ief f = √
= 21.2 A.
3Vef f cos φ
Per rispondere al punto b), ovvero ottenere un utilizzatore complessivo
equivalente ad un resistore, bisognerà che l’utilizzatore 2 assorba una
potenza reattiva uguale in valore assoluto a quella dell’utilizzatore 1 e
di segno contrario, ovvero Q2 = −6 kVAr. In tal caso si avrà cos φ = 1
ed il valore efficace delle correnti di linea è:
Ptot ∼
′
Ief
= 18.2 A.
f = √
3Vef f
Come si vede, esse risultano significativamente più basse del caso
precedente!
6.1 Elementi circuitali a più terminali
v12
+
-
i1
i2
v31
+
+
+
v23
v13
i3 -
i1
+
v23
-
(a)
i2
317
i3 -
(b)
Figura 6.3. (a) Insieme delle tensioni ed intensità di corrente definibili per un
tripolo; (b) un tripolo collegato a due bipoli
6.1.1 Grandezze descrittive di un N -polo
Ricordiamo che, i bipoli (una volta fissati i versi di riferimento per l’intensità
di corrente e la tensione) sono caratterizzati da un’unica intensità di corrente
ed un’unica tensione. Com’è facile intuire, per gli elementi con più di due
terminali se considerassimo le intensità di corrente di ciascuno dei terminali,
e le tensioni fra tutte le possibili coppie di terminali, avremmo delle ridondanze
che si tradurrebbero nel considerare grandezze in realtà dipendenti da altre.
D’altro canto, un buon modello di un qualsiasi sistema fisico deve certamente
poter essere fondato su un insieme minimo di grandezze indipendenti che lo
possano descrivere in modo completo!
Per analizzare le grandezze descrittive di un generico elemento con N
terminali consideriamo il caso più semplice da immaginare, ovvero un elemento
con soli tre terminali; le considerazioni che faremo potranno facilmente essere
generalizzate ad elementi con N qualsiasi.
Scegliamo i versi di riferimento per le intensità di corrente entranti nel
tripolo (vedi fig. 6.3a). È immediato rendersi conto che nelle stesse ipotesi
che ci hanno portato a definire il bipolo (essenzialmente che al di fuori della
superficie limite del componente possiamo considerare i modelli quasi stazionari elettrico e magnetico), la somma delle intensità di corrente di ciascun
terminale del tripolo è uguale a zero:
i1 + i2 + i3 = 0.
(6.1)
Da ciò discende immediatamente che una di esse potrà essere espressa come la
somma delle altre due, e dunque le tre intensità di corrente non sono indipendenti tra loro. Nel caso del tripolo solo due sono indipendenti, ed in generale
per un N -polo sono N − 1 (per un bipolo una sola è l’intensità di corrente
indipendente).
Analogo discorso può essere fatto per le tensioni tra i terminali, v12 , v23 , v31 ,
dove indichiamo genericamente con vij la tensione tra il terminale i e quello
328
6 Doppi bipoli
i1 n:1
+
i2
+
v1
v2
-
-
Figura 6.14. Simbolo del trasformatore ideale
La potenza erogata dal generatore di tensione vale, allora:
1
1
pi = ei i1 = e2i
+1 .
βR0 β
mentre la potenza assorbita dal resistore R vale:
p = Ri2 = e2i
R
R02
2
1
+1 .
β
Quindi il guadagno di potenza p/pi è:
β2 R
p
=
,
pi
1 + β R0
Scegliendo opportunamente R ed R0 si può ottenere un guadagno di
potenza arbitrariamente grande per un valore fissato di rapporto di
trasferimento β. L’amplificazione di potenza è resa possibile dal fatto
che il generatore controllato è un elemento attivo.
6.2.2 Trasformatore ideale
Nella classe dei doppi bipoli lineari a-dinamici che stiamo considerando, assumono particolare importanza il trasformatore ideale ed il giratore, che sono
due elementi circuitali in grado di realizzare importanti funzioni.
Il trasformatore ideale è un doppio bipolo lineare il cui funzionamento è
descritto dalle seguenti relazioni:
v1 = nv2 ,
i2 = −ni1 ,
(6.16)
dove la costante positiva n è detta rapporto di trasformazione. Il simbolo
circuitale del trasformatore ideale è illustrato in fig. 6.14. Come si vede subito
dalle equazioni (6.16), la proprietà fondamentale è che le grandezze tensioni
alla porta “1” ed alla porta “2” sono legate tra loro dal rapporto fisso n, ed
in modo inverso (ed opposto) le corrispondenti intensità di corrente.
È immediato verificare, sostituendo nell’espressione della potenza le relazioni caratteristiche (6.16), che la potenza elettrica assorbita dal trasformatore
330
6 Doppi bipoli
i2
i1
+
+
-1/n i1
v1
v2
+
-
-
nv2
-
Figura 6.16. Realizzazione di un trasformatore ideale mediante generatori
controllati
Esempio 6.4. Realizzazione di un trasformatore ideale mediante generatori controllati
Un trasformatore ideale può essere realizzato attraverso un generatore di corrente controllato in corrente ed un generatore di tensione
controllato in tensione, cosı̀ come illustrato in fig. 6.16.
Esempio 6.5. Trasporto al primario di un bipolo di Thévenin
Consideriamo il circuito in fig. 6.17a, nel quale alla porta “2” di un
trasformatore ideale è collegato un generatore equivalente di Thévenin.
Esso può essere visto come l’equivalente di un generico bipolo lineare
collegato alla porta “2” del trasformatore. Con le convenzioni fissate,
la relazione caratteristica del generatore è espressa da:
v2 = E0 − RT h i2 .
Sostituendo in tale espressione le relazioni caratteristiche del trasformatore ideale otteniamo:
v1 = nE0 + n2 RT h i1 .
Pertanto il bipolo visto dalla porta “1” del trasformatore è equivalente
al bipolo riportato in fig. 6.17b.
i1
n:1
+
i2
i1
+
RTh
v1
E0
-
+
-
n2RTh
v1
+
nE0 -
(a)
(b)
Figura 6.17. Trasporto al primario di un bipolo di Thévenin
6.4 Trasformatore
+
v1
i1
i2
M
L1
L2
-
357
+
v2
-
Figura 6.43. Simbolo di un trasformatore
circuiti accoppiati con i2 = 0 è uguale a quello nei due circuiti accoppiati con
i1 = 0, dunque:
M12 = M21 = M.
(6.75)
Il coefficiente di mutua induzione è indicato con M e si misura in henry [H],
come i coefficienti di autoinduzione. Assumiamo di aver scelto i versi di riferimento delle intensità di corrente in modo tale da avere M > 0. Combinando le (6.73), (6.74) e (6.75) si ottengono le relazioni caratteristiche del
trasformatore:
di1
di2
+M
,
v1 = L1
dt
dt
(6.76)
di2
di1
+ L2
.
v2 = M
dt
dt
Il trasformatore è dunque un doppio bipolo dinamico lineare. In fig. 6.43 ne
riportiamo il simbolo circuitale comunemente adottato. Nel simbolo sono indicati i versi di riferimento che bisogna scegliere per entrambe le intensità di
corrente affinché il contributo di mutua induzione compaia con il segno positivo nelle relazioni caratteristiche: i versi di riferimento devono essere entrambi
entranti (o entrambi uscenti) dalla coppia di terminali contrassegnati con i
due pallini. Va da sé che alle equazioni differenziali (6.76) bisogna affiancare,
come per tutti gli elementi dinamici, le condizioni iniziali che in questo caso
corrispondono ai valori delle intensità di corrente i1 ed i2 ad un istante assegnato; è evidente che i1 t) ed i2 (t) dipendono sia dalla storia delle tensioni
v1 (t) ed v2 (t) nell’intervallo (0,t) che dai loro valori iniziali. Per questa ragione
si dice che il trasformatore è un doppio bipolo a memoria, cioè il suo comportamento al generico istante t dipende anche da ciò che è accaduto negli istanti
precedenti.
6.4.2 Potenza ed energia
Come per qualsiasi doppio bipolo, la potenza assorbita dal trasformatore è data dalla somma di quella assorbita da ciascuna porta. Sostituendo le relazioni
caratteristiche (6.77) nell’espressione della potenza si ha:
p(t) =
dwm
.
dt
(6.77)