Appunti delle lezioni svolte in classe – scheda riassuntiva
Disequazioni esponenziali e logaritmiche
Si dice esponenziale una disequazione in cui l’incognita compare nell’esponente di una o più
potenze; si dice invece logaritmica una disequazione in cui l’incognita compare nell’argomento di
uno o più logaritmi.
Disequazioni esponenziali
elementari
Disequazioni esponenziali non
elementari
a x b oppure a x b
Non si riesce ad eliminare le addizioni e le
sottrazioni che compaiono nella disequazione.
1° caso
Ci si può ricondurre ad una disequazione
elementare raccogliendo l’esponenziale a fattor
comune.
Esempio:
Se b 0
la prima disequazione è sempre verificata
perché a x 0x ; es: 2 x 4
la seconda non è mai verificata per lo
stesso motivo: un numero positivo non
può essere minore di un numero
negativo; es: 3 2
x
Se b 0
si devono distinguere due casi: 0 a 1 e
a 1
3x 9 x 2
2° caso
Non serve raccogliere l’esponenziale a fattor
comune, usiamo una variabile ausiliaria.
1° caso
0 a 1
Ricordiamo che in questo caso la funzione
esponenziale è decrescente, quindi per risolvere
la disequazione, basta risolvere quella di verso
opposto fra gli esponenti.
Esempi:
x
3 x 2 3 x 90 3 x 32 3 x 90 3 x (9 1) 90
4
3
3
x4
4
4
Esempio:
x
x
1
1
1
3 26 9 3
9
3
3
2x
x
Poniamo
1
y ,
3
allora:
1
3 y 2 26 y 9 0 y 9 ,
3
2° caso
dunque:
a 1
Ricordiamo che in questo caso la funzione
esponenziale è crescente, quindi per risolvere la
disequazione, basta risolvere quella dello stesso
verso fra gli esponenti.
Esempi:
5 5 x6
x
6
3 x 8 x log 3 8
C. Ferone
1
3
2x
y2 .
Sostituiamo nella disequazione e risolviamo:
1
5 x log 1 5
2
2
x
x
1
26 9 0
3
si
ha
verificata
e
x
x
1
1
3
3
x
sempre
1
1
1
9
3
3
3
2
x 2
3° caso
Nella disequazione l’esponenziale compare al
denominatore, si deve studiare il segno del
numeratore, quello del denominatore e poi con
lo schema dei segni si studia il segno della
frazione.
Appunti delle lezioni svolte in classe
Disequazioni logaritmiche
Per risolvere una disequazione logaritmica nella forma log a f ( x) log a g ( x) , poste le condizioni di
esistenza di due logaritmi, si deve tener conto della seguente regola:
se a 1 si scrive la disuguaglianza nello stesso verso fra gli argomenti:
f ( x) 0
log a f ( x) log a g ( x) g ( x) 0
f ( x) g ( x)
se 0 a 1 si scrive la disuguaglianza di verso opposto fra gli argomenti:
f ( x) 0
log a f ( x) log a g ( x) g ( x) 0
f ( x) g ( x)
Esempi:
1) 2 log 3 x 1 log 3 x 2 1
x 0 esistenza
2
x 3 disuguagli anza
x 0
x 3 x 3
La soluzione è quindi x 3 .
2) log 2 ( x 2) log 2 ( x 3x)
2
x 2 0 esistenza
2
x 3 x 0 esistenza
x 2 x 2 3 x disuguagli anza
la risoluzione è lasciata per esercizio.
log 2 ( x 2) log 2 (3x 2 4) 1
( x 2)
( x 2) 1
2 1
2
3x 4
3x 2 4 2 0 che risolta dà per
3) log 2 ( x 2) log 2 (3x 2 4) 1 0
log 2
( x 2)
1
3x 2 4
soluzione il seguente intervallo:
4
2 3 2 3
x
x2.
3
3
3
4) log 1 ( x 2) log 2 x 0
2
Si deve per prima cosa portare tutti i logaritmi alla stessa base; essendo:
log 1 x
log 2 x
2
log 1 2
log 1 x
2
1
log 1 x
2
2
C. Ferone
2
Appunti delle lezioni svolte in classe
si ha:
log 1 ( x 2) log 1 x 0
log 1 ( x 2) log 2 x 0
2
2
log 1 x ( x 2) 0
2
2
x ( x 2) 1
x 2 0 esistenza
x 0 esistenza
xx 2 1 disuguagli anza
La risoluzione è lasciata per esercizio.
5) log 2 ( x 2 1) log 2 x 1 0
3
3
Dato che log 2
3
2
1 , la disequazione si può scrivere come:
3
log 2 ( x 2 1) log 2 x log 2
3
3
3
log 2 ( x 2 1) log 2
3
3
2
0
3
2
x
3
log 2 ( x 2 1) log 2
3
( x 2 1)
3
2
x , quindi:
3
x 2 1 0 esistenza
x 0 esistenza
2
x 2 1 x
disuguagli anza
3
Verificare che la disequazione ha per soluzione: 1 x 2 .
C. Ferone
3
2
x0
3
