Disequazioni esponenziali e logaritmiche

Appunti delle lezioni svolte in classe – scheda riassuntiva
Disequazioni esponenziali e logaritmiche
Si dice esponenziale una disequazione in cui l’incognita compare nell’esponente di una o più
potenze; si dice invece logaritmica una disequazione in cui l’incognita compare nell’argomento di
uno o più logaritmi.
Disequazioni esponenziali
elementari
Disequazioni esponenziali non
elementari
a x  b oppure a x  b
Non si riesce ad eliminare le addizioni e le
sottrazioni che compaiono nella disequazione.
1° caso
Ci si può ricondurre ad una disequazione
elementare raccogliendo l’esponenziale a fattor
comune.
Esempio:
Se b  0

la prima disequazione è sempre verificata
perché a x  0x ; es: 2 x  4

la seconda non è mai verificata per lo
stesso motivo: un numero positivo non
può essere minore di un numero
negativo; es: 3  2
x
Se b  0
si devono distinguere due casi: 0  a  1 e
a 1
 3x  9  x  2
2° caso
Non serve raccogliere l’esponenziale a fattor
comune, usiamo una variabile ausiliaria.
1° caso
0  a 1
Ricordiamo che in questo caso la funzione
esponenziale è decrescente, quindi per risolvere
la disequazione, basta risolvere quella di verso
opposto fra gli esponenti.
Esempi:
x
3 x  2  3 x  90  3 x  32  3 x  90  3 x (9  1)  90
4
3
3
    x4
4
4
Esempio:
x
x
1
1
1
3     26     9  3   
9
3
 3
2x
x
Poniamo
1
y  ,
3
allora:
1
3 y 2  26 y  9  0    y  9 ,
3
2° caso
dunque:
a 1
Ricordiamo che in questo caso la funzione
esponenziale è crescente, quindi per risolvere la
disequazione, basta risolvere quella dello stesso
verso fra gli esponenti.
Esempi:
5 5 x6
x
6
3 x  8  x  log 3 8
C. Ferone
1
 
3
2x
 y2 .
Sostituiamo nella disequazione e risolviamo:
1
   5  x  log 1 5
2
2
x
x
1
 26     9  0
3
si
ha
verificata
e
x
x
1
1
  
3
3
x
sempre
1
1
1
  9   
 3
 3
3
2
 x  2
3° caso
Nella disequazione l’esponenziale compare al
denominatore, si deve studiare il segno del
numeratore, quello del denominatore e poi con
lo schema dei segni si studia il segno della
frazione.
Appunti delle lezioni svolte in classe
Disequazioni logaritmiche
Per risolvere una disequazione logaritmica nella forma log a f ( x)  log a g ( x) , poste le condizioni di
esistenza di due logaritmi, si deve tener conto della seguente regola:
se a  1 si scrive la disuguaglianza nello stesso verso fra gli argomenti:

 f ( x)  0

log a f ( x)  log a g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

se 0  a  1 si scrive la disuguaglianza di verso opposto fra gli argomenti:

 f ( x)  0

log a f ( x)  log a g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

Esempi:
1) 2 log 3 x  1  log 3 x 2  1 
 x  0 esistenza
 2
 x  3 disuguagli anza

x  0

x   3  x  3
La soluzione è quindi x  3 .
2) log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3x)
2

 x  2  0 esistenza
 2
 x  3 x  0 esistenza
 x  2  x 2  3 x disuguagli anza

la risoluzione è lasciata per esercizio.
 log 2 ( x  2)  log 2 (3x 2  4)  1 
( x  2)
( x  2) 1
 2 1

2
3x  4
3x 2  4  2  0 che risolta dà per
3) log 2 ( x  2)  log 2 (3x 2  4)  1  0
log 2
( x  2)
 1
3x 2  4



soluzione il seguente intervallo: 
4
2 3 2 3
x

 x2.
3
3
3
4) log 1 ( x  2)  log 2 x  0
2
Si deve per prima cosa portare tutti i logaritmi alla stessa base; essendo:
log 1 x
log 2 x 
2
log 1 2
log 1 x

2
1
  log 1 x
2
2
C. Ferone
2
Appunti delle lezioni svolte in classe
si ha:
 log 1 ( x  2)  log 1 x  0
log 1 ( x  2)  log 2 x  0
2
2
 log 1 x  ( x  2)  0
2
2
 x  ( x  2)  1
 x  2  0 esistenza

 x  0 esistenza
 xx  2  1 disuguagli anza

La risoluzione è lasciata per esercizio.
5) log 2 ( x 2  1)  log 2 x  1  0
3
3
Dato che log 2
3
2
 1 , la disequazione si può scrivere come:
3
log 2 ( x 2  1)  log 2 x  log 2
3

3
3
log 2 ( x 2  1)  log 2
3
3
2
0
3
2
x
3


log 2 ( x 2  1)  log 2
3
( x 2  1) 
3
2
x , quindi:
3

 x 2  1  0 esistenza

 x  0 esistenza

2
x 2  1  x
disuguagli anza
3

Verificare che la disequazione ha per soluzione: 1  x  2 .
C. Ferone
3
2
x0
3