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Giustificazione di alcune proprietà delle figure geometriche
di Luciano Porta
Nella scuola secondaria di primo grado solo alcune proprietà delle figure geometriche possono essere
dimostrate come teoremi; altre possono però essere almeno giustificate logicamente. Così gli studenti
acquisiscono un metodo di ragionamento che li condurrà a poco a poco alle dimostrazioni vere e proprie.
Segmenti e lati di un poligono
Consideriamo tre o più segmenti di lunghezza a piacere . Possono sempre essere lati di un poligono?
Esaminiamo due situazioni diverse.
Anche nel caso di tre segmenti possiamo avere due situazioni diverse.
Somma degli angoli interni di un poligono
Inizialmente tracciamo delle costruzioni per alcuni poligoni. In ogni poligono evidenziamo le diagonali
uscenti da un vertice: il poligono è suddiviso in triangoli. In un triangolo la somma degli angoli interni è un
angolo piatto e, contando il numero di triangoli, determiniamo la somma degli angoli interni del poligono.
Notiamo che gli angoli dei triangoli sono parte degli angoli del poligono. In seguito elaboreremo una
formula per calcolare la somma degli angoli interni di qualsiasi poligono senza l’aiuto del disegno.
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Osserviamo che il numero di triangoli è sempre minore di 2 rispetto al numero dei lati del poligono.
Pertanto in un poligono la somma degli angoli interni è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati di
quel poligono diminuiti di due:
(n – 2) angoli piatti
Ad es. se n = 7 la somma degli angoli interni, espressa come numero di angoli piatti è 7–2=5 ang. piatti.
Ad es. se n=15 la somma degli angoli interni, espressa come numero di angoli piatti è 15–2=13 ang. piatti.
Somma degli angoli esterni di un poligono
Consideriamo un poligono qualsiasi. Osserviamo che sommando a ciascun angolo interno il suo esterno si
ottiene un angolo piatto. Questi angoli piatti sono tanti quanti sono i vertici (o i lati) del poligono.
Poiché la somma degli angoli interni di un poligono è uguale a tanti angoli piatti quanto sono i vertici (o i
lati) meno due, allora: la somma degli angoli esterni di un poligono è di due angoli piatti (un angolo giro).
L’esperienza didattica ci ricorda però che questa proprietà spesso non viene compresa intuitivamente da
molti studenti, per cui è bene affrontare l’argomento anche attraverso altri percorsi di grande interesse.
Ad es. dopo aver costruito con un software di geometria dinamica un poligono in cui sono evidenziati gli
angoli esterni, possiamo rimpicciolirlo fino quasi a un punto (le semirette conservano il parallelismo).
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Oppure possiamo ricorrere al cosiddetto “teorema” fondamentale del LOGO, linguaggio di
programmazione completo ed evoluto, adatto a tutti gli ordini scolastici e non sostituibile, per molti scopi,
con i software di geometria dinamica.
Il “teorema” fondamentale del LOGO afferma che per disegnare un poligono la tartaruga deve compiere
complessivamente una rotazione di un angolo giro (infatti deve ritornare nella posizione di partenza).
Numero delle diagonali di un poligono
Per comprendere il significato di diagonale è opportuno disegnare i poligoni almeno fino al pentagono.
Per ricavare un metodo che ci permetta di calcolare il numero complessivo di diagonali di un poligono,
senza doverlo disegnare, sviluppiamo il ragionamento in modo graduale.
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Osserviamo che, in ogni poligono, la differenza tra il suo numero di lati (n) e il numero delle diagonali
uscenti da un vertice è sempre di 3 unità (cioè il numero di diagonali uscenti da un vertice è dato da n – 3).
Moltiplichiamo le diagonali uscenti da un vertice per quanti (n) sono i vertici.
In questo modo però abbiamo considerato 2 volte ogni diagonale (ogni diagonale unisce 2 vertici) e quindi
dobbiamo dividere il prodotto ottenuto per 2.
Pertanto il numero D delle diagonali di un poligono si calcola: D = N*(N-3)/2
Ad es. nell’ottagono D = 8*(8-3)/2 = 20
e nel dodecagono: D = 12*(12-3)/2 = 54.
La determinazione del numero di diagonali di un poligono permette di risolvere facilmente un notissimo
gioco logico-matematico.
Sei amici si incontrano. Ciascuno stringe la mano a tutti gli altri ogni volta con una persona diversa ed una
sola volta. Quante strette di mano vengono scambiate complessivamente?
Immaginiamo le sei persone ai vertici di un esagono: il numero complessivo di strette di mano che possono
scambiarsi è dato dalla somma del numero di lati e di quello delle diagonali dell’esagono (6+9=15 strette).
Confronto tra la lunghezza di arco di circonferenza e della corda ad esso sottesa
Possiamo risolvere il problema con un’approssimazione.
Possiamo sostituire l’arco, ad esempio, con i segmenti AC, CD,
DE, EB.
Nel poligono ABEDCA il lato AB è minore della somma degli
altri lati, e quindi, per quanto precedentemente ipotizzato,
l’arco è maggiore della corda sottesa.
Circonferenza passante per tre punti non allineati
Sono dati i tre punti A, B, C.
Considero il segmento AB e con l’opportuna
costruzione traccio il suo asse (colore verde).
Ogni punto di esso può essere il centro delle
infinite circonferenze passanti per A e per B
(colore rosso).
Considero ora il segmento BC e traccio il suo
asse (colore fucsia).
L’asse di BC e quello di AB si intersecano in
un punto (O), centro dell’unica circonferenza
passante per A, B, C.
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