1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi

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Esercizi riassuntivi - B. Di Bella
Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica
di Analisi Matematica
1. Sia A =
[ n∈IN
1
1
,
.
n+1 n
a) Determinare il derivato e l’interno di A;
b) stabilire se A è aperto, chiuso, limitato.
o
n
Risp. a) Poichè A =]0, 1[\ n1 , n ∈ IN , si ha DA = [0, 1] e intA = A;
b) dato che intA = A, A è aperto ed essendo A ⊆ [0, 1], A è anche limitato.
2. Dato l’insieme A = 3(−1)n +
2n + 5
, n ∈ IN .
n
a) Dire se A è limitato e calcolarne l’estremo superiore e l’estremo inferiore.
b) Precisare se A ha massimo e/o minimo.
Risp. a) ∀n ∈ IN si ha −1 < 3(−1)n + 2n+5
≤
n
15
sup A = 2 .
b) Non esiste minimo, max A = sup A = 15
.
2
15
.
2
Inoltre, inf A = −1 e
3. Calcolare i seguenti limiti:
1
e−n! + e n 22n − n5
a) lim
,
n→+∞
3n + n6
ln(1 + 6x5 )
,
b) lim
x→0 (sin 3x)2 arctan 8x3
Risp. a) +∞,
√
lim n( n2 + 3 − n)
n→+∞
lim
x→+∞
x2
ln
x+1
!!1/x
.
3
1
; b)
, 1.
2
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4. Disegnare il grafico della funzione f (x) = 1 + |x3 − 8| utilizzando trasformazioni geometriche (simmetrie, traslazioni, ...). Rispondere poi alle seguenti
domande motivando la risposta:
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a) f è una funzione monotona nel suo insieme di definizione?
b) f ha massimi/minimi relativi o assoluti e, in caso affermativo, quali
sono?
c) f ha punti di flesso e, in caso affermativo, quali sono?
d) f è derivabile nel suo insieme di definizione?
Risp. Il grafico di f si ottiene da quello di y = x3 operando prima una
traslazione di 8 unità verso il semiasse y negativo, poi un ribaltamento rispetto all’asse x della parte di grafico negativa e infine una traslazione di 1 unità
nella direzione del semiasse y positivo. a) f non è una funzione monotona
Figura 1: Grafico di f (x) = 1 + |x3 − 8|
nel suo insieme di definizione in quanto è decrescente per x < 2 e crescente
per x > 2.
b) f non ha massimi assoluti nè relativi; l’unico minimo relativo è anche
assoluto e vale 1, assunto in x = 2.
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c) f ha un solo punto di flesso per x = 0.
d) f non è derivabile in x = 2, dove presenta un punto angoloso.
5. Si verifichi che la funzione
√
π
)+ π−x
2
è invertibile nel suo insieme di definizione
e si calcoli la derivata della funzione
√ √
2+ π
−1
inversa f (y) nel punto y0 = 2 − ln( π4 ).
f (x) = sin x − ln(x −
Risp.
f è somma di funzioni strettamenti crescenti in A =Domf (x) =
π
, π quindi è invertibile nel suo insieme di definizione. Dato che sono
2
verificate le ipotesi del Teorema di derivazione della funzione inversa, si ha
2
√ .
(f −1 )0 (y0 ) = f 0 (13π ) = − √2π+8π+2
π
4
6. Sia f (x) = ln x − arctan(x − 1).
a) Studiare la funzione
1
e tracciarne un grafico qualitativo;
b) Determinare il numero di zeri di f (x).
Risp. a) Si veda Figura 2.
b) f ha solo due zeri, x = 1 e x = x0 > 2 in quanto per x > 2 f è
strettamente crescente.
7. Sia f (x) =
q
1 + ln(2 − x2 ).
a) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo;
b) Mostrare che f è invertibile in Domf ∩] − ∞, −1[ e determinare l’espressione esplicita dell’inversa precisando dominio e immagine.
Risp. a) Si veda Figura 3.
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I punti richiesti per lo studio di funzione sono:
1) dominio;
2) limiti agli estremi del dominio;
3) ricerca di eventuali asintoti;
4) monotonia ed eventuali punti di max e min relativo;
5) (facoltativo) concavità, convessità ed eventuali punti di flesso.
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Figura 2: Grafico di f (x) = ln x − arctan(x − 1)
√
b) f ristretta a Domf ∩] − ∞, −1[= [− √2 − e−1 , −1[ è strettamente crescente
invertibile. Pertanto f −1 : [− 2 − e−1 , −1[→ [0, 1[ e f −1 (y) =
√ quindi
2
− 2 − ey −1 .
8. Sia f (x) =
Imf .
x2
. Dire se f è invertibile e determinare l’insieme
1 − 3x − x|x|
√
Risp. Poichè f non è iniettiva in Dom f(x)= lR\{ 13−3
}, f √non è invertibile.
2
Inoltre f ha una discontinuità di seconda specie in x = 13−3
, quindi Im
2
4
f(x)=] − ∞, − 13 [ ∪[0, +∞[.
9. Studiare la continuità e la derivabilità della funzione
f (x) =
(
e3−x − cos(x − 3)
se x < 3
1 2
x
−
2x
+
3
−
sin(x
−
3)
se
x≥3
3
Risp. f è continua in ] − ∞, 3[ e in ]3, +∞[ perchè composizione di funzioni
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Figura 3: Grafico di f (x) =
q
1 + ln(2 − x2 )
continue. Inoltre, essendo lim− (e3−x − cos(x − 3)) = 0 = f (3), f è continua
x→3
anche in x = 3. f è derivabile in ] − ∞, 3[ e in ]3, +∞[ perchè composizione
di funzioni derivabili e
0
f (x) =
(
−e3−x + sin(x − 3) se x < 3
2
x − 2 − cos(x − 3) se x > 3
3
2
Inoltre, lim− (−e3−x + sin(x − 3)) = −1 = lim+ ( x − 2 − cos(x − 3)), quindi
x→3
x→3 3
f è derivabile anche in x = 3.
−
10. Sia f (x) = 2 − e
1
(x−1)2
.
a) Determinare il dominio di f ;
b) Stabilire se la funzione f è prolungabile per continuità su lR.
c) Stabilire se la funzione f 0 è prolungabile per continuità su lR.
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Risp. a) Dom f (x) = lR \ {1};
b) Si ha lim f (x) = 2 quindi la funzione
x→1
∗
f (x) =
(
f (x) se x 6= 1
2
se x = 1
è il prolungamento per continuità di f su lR;
− 1 2
2
(x−1) ; essendo lim f 0 (x) = 0 la
c) per ogni x ∈ Domf , f 0 (x) = − (x−1)
3e
x→1
funzione
(
f 0 (x) se x 6= 1
g(x) =
0
se x = 1
è il prolungamento per continuità di f 0 su lR, pertanto f ∗ è di classe C 1 (lR).
11. Verificare che le funzioni
1
f (x) = e− x2
e g(x) =
arctan(x4 − x2 )
x
sono prolungabili con continuità in x = 0. Dire se tali prolungamenti sono
derivabili in x = 0.
Risp. f e g sono funzioni continue nel loro dominio, Dom f (x) =Dom
g(x) = lR\{0}, in quanto composizione di funzioni continue; si ha lim f (x) =
x→0
0 quindi la funzione
∗
f (x) =
(
f (x) se x 6= 0
0
se x = 0
è il prolungamento per continuità di f su lR; analogamente, lim g(x) = 0
x→0
quindi la funzione
(
g(x) se x 6= 0
g ∗ (x) =
0
se x = 0
è il prolungamento per continuità di g su lR.
f ∗ (x) − f (0)
f (x)
Per x = 0, lim
= lim
= 0 quindi f ∗ è derivabile anche
x→0
x→0
x−0
x
g ∗ (x) − g(0)
g(x)
in x = 0. Analogamente, lim
= lim
= −1 quindi g ∗ è
x→0
x→0 x
x−0
derivabile anche in x = 0.
12. Sia f (x) = (−x2 + 4x − 1)e−x .
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a) Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo;
b) Determinare l’insieme Imf ;
c) Disegnare un grafico qualitativo della funzione g(x) = f (|x|).
d) Dire se si può applicare il Teorema di Rolle alla funzione g(x) nell’intervallo [−1, 1].
Risp. a)
Figura 4: Grafico di f (x) = (−x2 + 4x − 1)e−x
b) f è continua in lR quindi Im f = f (lR) =] inf lR f, suplR f [=] − ∞, 2e ].
La funzione g(x) = f (|x|) è uguale a f (x) se x ≥ 0 ed è uguale a f (−x) se
x < 0. Pertanto il grafico di g(x) coincide con il grafico di f (x) per x ≥ 0
mentre diventa il suo simmetrico rispetto all’asse y per x < 0.
c) g è continua in lR quindi anche in [−1, 1], g(11) = g(1) ma non si può
applicare il Teorema di Rolle alla funzione g(x) nell’intervallo [−1, 1] perchè
g non è derivabile in x = 0.
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Figura 5: Grafico di f (x) = (−x2 + 4|x|x − 1)e−|x|