INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEGLI INSIEMI
DEFINIZIONE 1: Siano
DEFINIZIONE 2: Siano
DEFINIZIONE 3: Siano
due insiemi infiniti. Allora | |
due insiemi infiniti. Allora | |
due insiemi infiniti. Allora | |
bigettiva.
e
e
e
ESEMPIO 1:
e
hanno la stessa cardinalità.
È ovvio che |
| |
|, poiché la funzione
Però possiamo osservare che la funzione
| |
| |
| |
bigettiva.
iniettiva.
iniettiva ∧
è iniettiva.
è bigettiva ⇒ TESI.
|
PROPOSIZIONE 1: Ogni intervallo aperto ha la stessa cardinalità. Ogni intervallo chiuso ha la stessa
cardinalità.
Dimostrazione: Si procede esattamente come nell’ESEMPIO 1.
Notiamo innanzitutto che, dato un qualsiasi intervallo aperto
,|
| |
|. La
bigezione è ovviamente la traslazione
|
.
Inoltre, dati gli insiemi
e
, la funzione
|
è evidentemente
| |
|
bigettiva ⇒ |
.
| |
| |
| |
Dunque |
|
⇒ TESI.
Analogamente per gli intervalli chiusi.
e ℝ hanno la stessa cardinalità.
| |(
Dimostrazione: Sicuramente |
)| e la funzione
PROPOSIZIONE 2:
(
)
ℝ è biunivoca
(in quanto è strettamente crescente) ⇒ TESI.
PROPOSIZIONE 3:
e
hanno la stessa cardinalità.
Dimostrazione: Sia
, |
- ,
-;
.
{ }.
Ovviamente
e
|
| |
{ }.
|, dunque dobbiamo creare una bigezione fra e
{ }| ( )
Sia
( )
( )
. φ è bigettiva, dunque| |
{ }| ⇒ TESI.
|
COROLLARIO 4: |
Dimostrazione: |
|
|
|
|
|
|
|ℝ|
|
|
.
|
| ∧ |
|
|ℝ|
TEOREMA DI CANTOR-BERNSTEIN: Siano
insiemi infiniti. Se
iniettiva e
iniettiva, allora | | | |, cioè
bigettiva.
Dimostrazione:
| | | | e sia |
LEMMA: Sia
. Allora | | | |.
Dimostrazione: Sia |
e |
. Inoltre per ipotesi | | | |,
dunque sia
bigettiva. Costruiamo ora iterativamente:
Sia ora
⋂
Notiamo che
.
, dunque
.
L’obiettivo è trovare una funzione
bigettiva, dunque poniamo
|
. Ci resta ora da mappare
.
Sia
. Dimostriamo che
.
⋃
, infatti sia
. Allora
per un certo , quindi essendo
e
disgiunti (in quanto ϕ è bigettiva e
e sono disgiunti),
⇒
. Ma poiché
, allora
.
, infatti sia
. Dunque
⇒
|
∧
.
Se
⇒
per un certo . Ma
per un certo , perciò
ASSURDO, dunque
. Ma poiché
, allora
⇒
.
Per cui:
In conclusione, ponendo |⋃
bigettiva.
e
|⋃
, abbiamo ottenuto una
Per ipotesi e sono iniettive, dunque
è iniettiva; ma poiché dominio e codominio
coincidono,
è bigettiva. Quindi | | |
|. Notiamo che (
)
,
| | |.
dunque per il lemma | | |
|. In conclusione | | |
COROLLARIO 5: Riotteniamo che |
|
|
|
Dimostrazione:
è iniettiva, inoltre
→
* +
composizione di funzioni iniettive. Dunque per Cantor-Bernstein ho la TESI.
PROPOSIZIONE 6: | | | |.
Dimostrazione:
| | |.
LEMMA: |
Dimostrazione 1: Disponiamo in questo modo gli elementi di
è iniettiva poiché
:
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) …
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) …
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) …
(0,1) (0,2) (0,3) (0,4) …
Contiamo le coppie in questo modo: partendo dal basso, ci spostiamo lungo una diagonale
verso sinistra finché non la abbiamo percorsa tutta, poi passiamo alla diagonale successiva.
L’ordine sarà:
(0,1) (0,2) (1,1) (0,3) (1,2) (2,1) (0,4) (1,3) (2,2) (3,1) …
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
In questo modo abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca fra le coppie e i numeri
naturali ⇒ TESI
| (
Dimostrazione 2: Dimostriamo che
bigezione. Prima di tutto (
)
( )
Questo implica che
)
è una
. D’ora in poi considereremo
.
|(
Dobbiamo dimostrare che
Notiamo che
)
(
)
⌈√
⌉
(
)
⇒
⌈√
.
⌉.
CASO 1: (⌈√
⌉
)
(⌈√
Di conseguenza
CASO 2: (⌈√
⌉
(⌈√
)
⌉
⌈√
. Questo implica che
⌉) e
⌈√
⌉
.
viene calcolato come differenza.
⌈√
. Questo implica che
)e
⌉, perciò
⌉. Di conseguenza
viene calcolato come differenza.
I due casi si escludono e in entrambi l’output è un unico valore della coppia
.
Dimostrazione 3: È evidente che
|
è iniettiva. Inoltre
| (
)
è iniettiva, infatti per la fattorizzazione unica se
,
|
. Quindi per Cantor-Bernstein ho la TESI.
È ovvio che
|
è iniettiva e
|
( )
, con
è
iniettiva, dunque, chiamata
la bigezione di cui abbiamo dimostrato l’esistenza nel
lemma,
è iniettiva perché composizione di due funzioni iniettive. Quindi per
Cantor-Bernstein ho la TESI.
DEFINIZIONE 4: Un insieme
.
DEFINIZIONE 5: | |
si dice numerabile se | |
| |, cioè se è finito o ha la cardinalità di
PROPOSIZIONE 7: L’unione di un numero numerabile di insiemi numerabili è numerabile, cioè
|⋃
| | |, con
| | | | .
Dimostrazione: Sia
l’elemento k-esimo nel j-esimo insieme (in quanto il numero di insiemi e la
loro cardinalità è numerabile). Allora
| (
)
è evidentemente una
⋃
| | |.
bigezione, dunque |⋃
| |
PROPOSIZIONE 8: Sia un insieme infinito e un insieme numerabile. Allora | | |
|.
Dimostrazione: Se è infinito ⇒
| | | | |. Sicuramente
bigettiva.
| | |, in quanto è un’unione numerabile di insiemi numerabili. Dunque
Inoltre | | |
bigettiva.
PROPOSIZIONE 9: | | |ℝ|, cioè i numeri reali non sono un insieme numerabile, e la sua
cardinalità viene chiamata “cardinalità del continuo”.
Dimostrazione:
}| |
|.
LEMMA 1: |{
Dimostrazione: Associamo a ogni
una stringa infinita di 0,1 in questo modo:
Bisechiamo l’intervallo
e scriviamo se sta prima di , in caso contrario. Ora
bisechiamo l’intervallo in cui si trova e scriviamo se si trova prima della metà, in caso
contrario. Iteriamo il procedimento all’infinito, finché non troviamo esattamente . Ad
{
} In altre parole, se
∑
{ }
esempio
, con
,
{
}.
∑
∑
Notiamo però che
{ } { }, infatti
.
Possiamo però vedere che i numeri che creano ambiguità sono tutti e soli quelli
definitivamente o , infatti:
se un numero è definitivamente (o allora si trova su un “taglio” di un determinato
intervallo, dunque crea ambiguità;
se un numero crea ambiguità, se scelgo (cioè a sinistra del “taglio”), dopo avrò una
lista infinita di , in quanto il numero cercato sarà sempre l’estremo destro di ogni
intervallo seguente; se scelgo (cioè a destra del “taglio”), dopo avrò una lista infinita
di , in quanto il numero cercato sarà sempre l’estremo sinistro di ogni intervallo
seguente.
Dunque imponiamo che in caso di ambiguità debba essere scelta la stringa definitivamente
. Inoltre dimostriamo che esiste solamente un’infinità numerabile di stringhe
definitivamente .
{
}e
Sia
{
}.
È evidente che
, ma | |
| |, dunque | | | |, in quanto è l’unione
⋃
di un numero numerabile di insiemi finiti.
{
} iniettiva.
Perciò
Inoltre è chiaro che
{
}
} ∑
| {
è
iniettiva, per cui concludiamo che
|
| |{
}| |{
}| per
la PROPOSIZIONE 8.
}| |
LEMMA 2: |{
|.
{
}. Prendiamo
Dimostrazione: Sia
|
,
dove
e
è la stringa che
contiene se
, altrimenti. Se
,
è evidente che
, mentre data una qualunque stringa , posso risalire univocamente
all’insieme |
, in particolare è l’insieme che contiene il -esimo, il -esimo, …,
il -esimo numero naturale, dove i sono i posti di
che contengono un . Quindi φ è
una bigezione.
{
Sia
Se esistesse, allora:
{
{
{
}. Dimostriamo che
bigettiva.
}
}
}
Prendiamo ora la stringa
{
}. Vediamo che
differisce da
per il -esimo termine.
Dunque non può esistere
bigettiva, per cui ho la TESI.
PROPOSIZIONE 10: |ℝ|
.
Dimostrazione: Abbiamo visto che ℝ
| |
|ℝ| |
|
.
. Poiché |
|
, in quanto
| |
, allora:
PROPOSIZIONE 11: | | |ℝ ℝ| |ℝ|
.
Dimostrazione:
| |
LEMMA: |
|.
Dimostrazione: È evidente che
|
è iniettiva. Inoltre
|
|
|{
}|,
sappiamo che
dunque il problema si riduce a
{
}.
trovare
iniettiva, dove
}{
} ) {
}.
Consideriamo | ( {
Vediamo che è evidentemente iniettiva, dunque per Cantor-Bernstein ho la TESI.
Poiché |ℝ|
|
|, ho immediatamente la TESI.
PROPOSIZIONE 12: Il numero delle funzioni continue da ℝ in ℝ è uguale a .
Dimostrazione: Per definire una funzione continua sul piano basta definirla sui razionali, poiché a
causa della continuità gli irrazionali sono individuati da
, per una certa
.
Dunque | ℝ ℝ | |ℝ| | |
|ℝ|.
}| | |. Dunque esiste un’infinità non numerabile di
PROPOSIZIONE 13: |{
numeri trascendenti.
Dimostrazione: Un numero algebrico è soluzione di un’equazione a coefficienti interi, dunque
|{
}| |{
}|.
{
}e
{
}.
Sia
|
|
|
|
|
|
e
|
|, perciò
| |.
⋃
⋃
Sappiamo che
sono numeri trascendenti e Liuville ha dimostrato che il numero
∑
è trascendente.
IPOTESI DEL CONTINUO: Un qualsiasi sottoinsieme infinito di ℝ ha cardinalità pari a o a
In altre parole
ℝ| | | | | |ℝ|.
È stato dimostrato da Cohen che con gli assiomi di Zermelo-Fraenkel non si può decidere la
veridicità di questa ipotesi. Dunque può essere assunta come assioma.
.
