Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli
03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
una equazione della forma
y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = g(x)
dove y(x) è la funzione incognita, e supporremo sempre che b(x), c(x), g(x)
siano funzioni continue in un intervallo I. Se g(x) = 0 l’equazione si dice
”omogenea”. Se b, c sono delle costanti, si dice ”a coefficienti costanti ”.
Una EDO lineare si può descrivere mediante un operatore lineare L , cioè
tale che L(αy) = αL(y), α ∈ R, e L(y1 + y2 ) = L(y1 ) + L(y2 ). Nel nostro caso
scriviamo
Ly = g(x), con L := D2 + a(x)D + c(x)D0 ,
d2
d
dove D2 = 2 , D =
e D0 = I l’operatore identità. Infatti la derivazione,
dx
dx
e l’identità, sono operatori lineari.
Per risolvere un’equazione del secondo ordine, intuitivamente si devono
fare due integrazioni, per cui ci si aspetta la comparsa di due costanti di
integrazione. Per esempio, y 00 = 0 ha soluzioni y(x) = A + Bx. Più in
generale si può dimostrare il seguente
Teorema.
1. Equazione omogenea. Esistono due soluzioni indipendenti y1
e y2 dell’equazione omogenea, cioè tali che
A y1 (x) + B y2 (x) = 0 per ogni x ∈ I ⇐⇒ A = B = 0.
Inoltre, ogni altra soluzione z(x) della equazione omogenea si esprime come
combinazione lineare di esse, cioè
z(x) = A y1 (x) + B y2 (x), A, B ∈ R.
OVVERO, le soluzioni di una EDO lineare omogenea del secondo ordine
formano uno spazio vettoriale di dimensione 2.
2. Equazione non omogenea. Esiste una soluzione y0 (x) della equazione
non omogenea in I, e tutte le soluzioni della non omogenea in I hanno la
forma
y(x) = A y1 (x) + B y2 (x) + y0 (x), A, B ∈ R,
dove y1 e y2 sono due soluzioni indipendenti della equazione omogenea in I.
1
Dim. Per dimostrare che z(x) è soluzione della equazione omogenea , e
y(x) è soluzione della non omogenea, basta osservare che questo è una ovvia
conseguenza della linearità di L, oppure verificare la tesi mediante derivazione
e sostituzione delle ipotesi. La dimostrazione del viceversa, cioè che ogni altra
soluzione è di quella forma, è più complessa e non la faremo.
Per determinare l’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea, detto
anche integrale generale, il teorema precedente rimanda quindi alla determinazione di due soluzioni y1 e y2 indipendenti, cioè non proporzionali.
Corollario Sia data l’equazione differenziale del secondo ordine omogenea
a coefficienti costanti,
ay 00 + by 0 + cy = 0, con a 6= 0,
dove y(x) è la funzione incognita, a, b, c sono costanti. Date due soluzioni
indipendenti, y1 (x) e y2 (x), l’insieme delle soluzioni ha la forma
y(x) = A y1 (x) + B y2 (x), A, B ∈ R.
OSERVAZIONE. E’ evidente che essendo y 00 uguale a una funzione derivabile su R, le soluzioni sono derivabili anche tre volte, e iterando il ragionamento si deduce che le soluzioni sono funzioni di classe C ∞ (R), cioè derivabili
infinite volte su tutto R.
Abbiamo visto il modello di crescita/decadimento esponenziale, y 0 = ky.
Questo per esempio modella il moto di un punto che si muove a velocità
proporzionale allo spazio percorso. Se k > 0 la velocità aumenta (esponenzialmente), se k < 0 diminuisce (e va a zero). Una soluzione è y(t) = ekt .
Ora supponiamo che l’accelerazione sia proporzionale allo spazio percorso:
00
y = k 2 y. Sostituendo si verifica che y1 (t) = ekt e y2 (t) = e−kt sono due
soluzioni, indipendenti, e il moto di una soluzione è una combinazione lineare
dei due moti, uno a velocità crescente, l’altro a velocità decrescente: y(t) =
Aekt + Be−kt , essendo i coefficienti della combinazione lineare determinati da
certe condizioni iniziali.
Se invece l’accelerazione ha verso opposto allo spostamento, y 00 = −k 2 y, si
ha il modello dell’oscillatore armonico in assenza di attrito, che ha soluzioni
indipendenti y1 (t) = cos(kt) e y2 (t) = sin(kt).
Poichè cos(kt) e sin(kt) sono combinazione lineare di eikt e di e−ikt (come
spiegheremo più oltre) questo esempio ci suggerisce una tecnica per trovare
in generale due soluzioni indipendenti.
2
Integrale generale. Cerchiamo una soluzione del tipo y(x) = eλx con
λ parametro reale o complesso. Sostituendo si ottiene
eλx (aλ2 + bλ + c) = 0.
Perciò la funzione y è soluzione se e solo se la costante λ è radice dell’equazione
aλ2 + bλ + c = 0,
detta equazione caratteristica. Distinguiamo tre casi.
1) ∆ = b2 − 4ac > 0, l’equazione caratteristica ha due radici reali
distinte λ1 e λ2 , le funzioni y1 (x) = eλ1 x e y2 (x) = eλ2 x sono due soluzioni
indipendenti. L’integrale generale ha forma
y(x) = Aeλ1 x + Beλ2 x ,
A, B costanti arbitrarie.
2) ∆ = b2 − 4ac = 0, l’equazione caratteristica ha una radice reale
b
doppia λ0 = − , le funzioni y1 (x) = eλ0 x e y2 (x) = xeλ0 x sono due soluzioni
2a
indipendenti. L’integrale generale ha forma
y(x) = eλ0 x (A + Bx) ,
A, B costanti arbitrarie.
3) ∆ = b2 − 4ac < 0, non vi sono radici reali, ma l’equazione caratteristica nel campo complesso (λ numero complesso) ha due radici complesse
coniugate
√
−∆
b
λ1 = u + ik e λ2 = u − ik, dove u = − , k =
2a
2a
che conducono a due soluzioni reali indipendenti
y1 (x) = eu x cos(k x) , y2 (x) = eu x sin(k x).
L’integrale generale ha forma
y(x) = eu x (A cos(k x) + B sin(k x)) ,
A, B costanti arbitrarie.
NOTA. Per capire meglio il caso ∆ < 0, si ha che in questo caso l’equazione
caratteristica ha le due soluzioni indipendenti nel campo complesso:
ye1 = e(u+ik)x = eu.x eikx ,
ye2 = e(u−ik)x = eu.x e−ikx
3
e l’insieme delle soluzioni è della forma y(x) = Aye1 + B ye2 .
Ricordiamo ora che vale la notazione
eix = cos x + i sin x,
e quindi e−ix = cos x − i sin x
e si ricavano le relazioni
cos x =
eix − e−ix
eix + e−ix
, sin x =
2
2i
Quindi possiamo ottenere le due soluzioni reali indipendenti y1 (x) =
eu x cos(k x) e y2 (x) = eu x sin(k x) scegliendo nella combinazione lineare
1
1
(a coefficienti complessi) gli opportuni coefficienti, cioè y1 = ye1 + ye2 , e
2
2
1
1
y2 = ye1 − ye2 .
2i
2i
NOTA. Il terzo caso (∆ < 0) è quello visto dell’oscillatore armonico: in
assenza di attrito b = 0 ⇒ u = 0; in presenza di attrito (b > 0 ⇒ u < 0) si
avranno oscillazioni smorzate.
NOTA: Per avere una soluzione particolare occorre assegnare due condizioni iniziali.
Teorema di esistenza e unicità. Siano a, b, c ∈ R, a 6= 0. Allora
esiste una e una sola soluzione definita su R del problema di Cauchy
00
ay + by 0 + cy = 0
y(x0 ) = y0
y 0 (x0 ) = y1
Il significato geometrico del problema di Cauchy è determinare la soluzione
che passa per un dato punto (x0 , y0 ) e tale che la retta tangente alla soluzione
nel punto (x0 , y0 ) ha coefficiente angolare assegnato dal valore y1 .
Per risolvere il problema di Cauchy, troviamo la soluzione generale y(x)
che dipende dalle costanti A e B e la deriviamo. Quindi risolviamo il sistema
(di due equazioni nelle due incognite A e B) che si ottiene sostituendo in
y(x), y 0 (x) i valori x0 , y0 e y1 stabiliti dal problema di Cauchy.
La soluzione particolare è quindi quella che si ottiene dall’integrale generale sostituendo i valori A e B cosı̀ trovati.
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Esempi
I y 00 + 4y 0 + 13y = 0
L’equazione caratteristica è λ2 + 4λ + 13 = 0. Per questa equazione ∆ =
2
4 − 13 · 4 = −36 < 0, ci troviamo nel terzo caso. L’integrale generale
dell’equazione è
y(x) = e−2x (A cos(3x) + B sin(3x)) .
I y 00 + 4y 0 − 12y = 0
L’equazione caratteristica è λ2 + 4λ − 12 = 0. Per questa equazione ∆ =
42 + 12 · 4 = 64 > 0, ci troviamo nel primo caso. Le radici reali e distinte
sono λ1 = 2 e λ2 = −6. L’integrale generale dell’equazione è
y(x) = Ae−2x + Be−6x .
I y 00 + 2y 0 + y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
L’equazione caratteristica è λ2 + 2λ + 1 = 0. Per questa equazione ∆ = 0,
ci troviamo nel secondo caso, e λ = −1 è radice doppia.
L’integrale generale dell’equazione è
y(x) = e−x (A + Bx).
Per risolvere il problema di Cauchy deriviamo y :
y 0 = e−x (−A − Bx + B)
e poichè y(0) = A, y0(0) = −A + B, il sistema da risolvere è
½
A=1
−A + B = 0 ⇒ B = A = 1
e la soluzione è
y(x) = e−x (1 + x).
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