ProveScritteGeom3 2014/2015

Prima prova scritta di Geometria 3, 22 giugno 2015
1. i) Dimostrare che la proiezione π : X × Y → X sulla prima coordinata è un’
applicazione aperta.
ii) Se Y è compatto, dimostrare che la proiezione π : X × Y → X è un’applicazione
chiusa.
iii) Dimostrare che la proiezione π1 : R × R → R non è un’applicazione chiusa.
2. Se A e B sono sottospazi compatti di X e Y e W è un intorno di A × B in X × Y ,
dimostrare che esistono insiemi aperti U e V in X e Y tale che A × B ⊂ U × V ⊂ W
(considerare primo il caso di {a} × B ⊂ X × Y , per un a ∈ A).
3. Dimostrare che uno spazio contrattile è connesso per archi.
4. Dimostrare che uno spazio metrico compatto è second countable.
5. i) Sia π : S n → RPn la proiezione. Dimostrare che non esiste un’applicazione
continua σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn , per n ≥ 1.
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius sul suo bordo.
6. i) Sia f : S 1 → R un’applicazione continua che preserve punti antipodali (f (−x) =
−f (x), per tutti s ∈ S 1 ). Dimostrare che esiste x ∈ S 1 tale che f (x) = 0.
ii) Se f : S 1 → R è continua, dimostrare che esiste x ∈ S 1 tale che f (−x) = f (x).
7. i) Dimostrare che R2 e Rn non sono omeomorfi, per n > 2.
ii) Dimostrare che S2 e Sn non sono omeomorfi, per n > 2.
Seconda prova scritta di Geometria 3, 6 luglio 2015
1. Sia p : E → B un’applicazione quoziente.
i) Dimostrare che un’applicazione f : B → X è continua se e solo se f ◦ p : E → X è
continua.
ii) Se B è connesso e ogni fibra p−1 (b) è connessa, b ∈ B, dimostrare che E è connesso.
2. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se e solo
se πβ (xn ) converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
iii) Dimostrare che nessuna successione in (R+ )ω converge a 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ Rω , nella
topologia box.
3. i) Dimostrare che SΩ è first countable ma non second countable.
ii) Dimostrare che ogni successione in SΩ ha un limite superiore, e anche un estremo
superiore.
4. i) Dimostrare che uno spazio metrico con un sottoinsieme numerabile denso è second
countable.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico compatto ha un sottoinsieme numerabile denso.
5. i) Dimostrare che uno spazio compatto è limit point compact.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico e limit point compact è sequentially compact.
6. i) Dimostrare che non esiste una retrazione r : RP2 → RP1 .
ii) Sia π : S n → RPn la proiezione. Dimostrare che non esiste un’applicazione continua
σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn .
iii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : N → S 1 = ∂N del nastro di Moebius
N sul suo bordo S 1 .
7. i) Dimostrare che il quadrato ordinato Io2 non è connesso per archi.
ii) Determinare le componenti per archi del quadrato ordinato Io2 (giustificando la
risposta).
Terza prova scritta di Geometria 3, 10 settembre 2015
1. i) Dimostrare che la proiezione π : X × Y → X sulla prima coordinata è un’
applicazione aperta.
ii) Se Y è compatto, dimostrare che la proiezione π : X × Y → X è un’applicazione
chiusa.
2, Se A e B sono sottospazi compatti di X e Y e N è un intorno di A × B in X × Y ,
dimostrare che esistono insiemi aperti U e V in X e Y tale che A × B ⊂ U × V ⊂ N
(considerare primo il caso di {a} × B ⊂ X × Y , per un a ∈ A).
3. i) Dimostrare che SΩ è first countable ma non second countable.
ii) Dimostrare che ogni sottoinsieme numerabile in SΩ ha un estremo superiore (least
upper bound).
4. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se e solo
se πβ (xn ) converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
iii) Dimostrare che, nella topologia box, 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ Rω è nella chiusura di Rω
+,
ma che nessuna successione in Rω
converge
a
0
=
(0,
0,
0,
...).
+
5. i) Dimostrare che uno spazio metrico con un sottoinsieme denso numerabile è second
countable.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico compatto ha un sottoinsieme numerabile denso.
6. i) Dimostrare che uno spazio compatto è limit point compact.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico limit point compact è sequentially compact.
7. i) Dimostrare che Rn − {0} è omotopo a S n−1 (equivalenza di omotopia).
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : RP2 → RP1 .
Quarta prova scritta di Geometria 3, 23 settembre 2015
1. i) Dimostrare che Rl è first countable ma non second contable.
ii) Dimostrare che Rl è totalmente sconnesso (ogni sottoinsieme con più di un punto è
sconnesso.
iii) Quali sono le applicazioni continue f : R → Rl ? (Giustificare la risposta.)
2. Sia K = {1/n : n ∈ N} e BK la base di R che contiene tutti gli intervalli aperti
(a, b) e tutti gli insiemi della forma (a, b) − K; denotiamo con RK i numeri reali con la
topologia generata dalla base BK (la ”K-topologia” su R).
i) Dimostrare che RK è connesso.
ii) Dimostrare che RK non è connesso per archi.
iii) Dimostrare che RK non è T3 .
3. i) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è T4 .
ii) Dimostrare che uno spazio metrico è T4 .
4. Dimostrare che i seguenti spazi non sono limit point compact:
i) l’intervallo [0,1] in Rl (topologia del limite inferiore);
ii) l’intervallo [0,1] in RK (la K-topologia di R).
iii) l’intervallo razionale [0, 1] ∩ Q (topologia standard, come sottospazio di R);
iv) [0, 1]ω ⊂ Rω , con la topologia uniforme e la topologia box.
5. Dimostrare che uno spazio topologico X è di Hausdorff se e solo se la diagonale
∆ = {x × x : x ∈ X} è chiuso in X × X.
6. Sia p : E → B un rivestimento con p(e0 ) = b0 e f : Y → B un’applicazione continua
con f (y0 ) = b0 . Se Y è connesso, dimostrare che un sollevamento F : Y → E di f con
F (y0 ) = e0 è unico.
7. Sia f : X → Y un omeomorfismo. Dimostrare che f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0 )) è
un isomorfismo.
Quinta prova scritta di Geometria 3, 1 febbraio 2016
1. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se e solo
se πβ (xn ) converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
iii) Dimostrare che nessuna successione in (R+ )ω converge a 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ Rω , nella
topologia box.
2. i) Dimostrare che SΩ è first countable ma non second countable.
ii) Dimostrare che ogni successione in SΩ ha un estremo superiore.
3. i) Dimostrare che uno spazio metrico con un sottoinsieme numerabile denso è second
countable.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico compatto ha un sottoinsieme numerabile denso.
4. i) Dimostrare che uno spazio compatto è limit point compact.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico e limit point compact è sequentially compact.
5. i) Dimostrare che non esiste una retrazione r : RP2 → RP1 .
ii) Sia π : S n → RPn la proiezione. Dimostrare che non esiste un’applicazione continua
σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn .
iii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : N → S 1 = ∂N del nastro di Moebius
N sul suo bordo S 1 .
6. i) Dimostrare che il quadrato ordinato Io2 non è connesso per archi.
ii) Determinare i componenti per archi del quadrato ordinato Io2 (giustificare la risposta).
Sesta prova scritta di Geometria 3, 23 febbraio 2016
1. i) Dimostrare che la proiezione π : X × Y → X sulla prima coordinata è un’
applicazione aperta.
ii) Se Y è compatto, dimostrare che la proiezione π : X × Y → X è un’applicazione
chiusa.
iii) Dimostrare che la proiezione π : R × R → R sulla prima coordinata non è un’applicazione chiusa.
2. Se A e B sono sottospazi compatti di X e Y e N è un intorno di A × B in X × Y ,
dimostrare che esistono insiemi aperti U e V in X e Y tale che A × B ⊂ U × V ⊂ N
(considerare primo il caso di {a} × B ⊂ X × Y , per un a ∈ A).
3. i) Dimostrare che Rl è first countable ma non second contable.
ii) Dimostrare che Rl è totalmente sconnesso (ogni sottoinsieme con più di un punto è
sconnesso.
iii) Quali sono le applicazioni continue f : R → Rl ? (Giustificare la risposta.)
4. i) Dimostrare che R e Rn non sono omeomorfi, per n > 1.
ii) Dimostrare che R2 e Rn non sono omeomorfi, per n > 2.
iii) Dimostrare che S2 e Sn non sono omeomorfi, per n > 2.
5. i) Dimostrare che ogni applicazione continua f : [−1, 1] → [−1, 1] ha un punto fisso.
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : D2 → S 1 (dove D2 denota il disco
unitario chiuso in R2 ).
iii) Dimostrare che ogni applicazione continua f : D2 → D2 ha un punto fisso.
6. i) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è regolare.
ii) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è normale.