3 Equazioni e disequazioni.

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Equazioni e disequazioni.
3.1
Equazioni.
Una equazione algebrica è un’uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori
sono detti soluzioni dell’equazione.
3.1.1
Equazioni di primo grado.
Una equazione in una variabile x si dice intera di primo grado se può essere
ricondotta alla forma normale ax + b = 0 con a, b ∈ R:
b
• se a = 0 ammette un’unica soluzione in R, x = − ,
a
• se a = 0 e b = 0 non ha soluzioni,
• se a = b = 0 ammette come soluzione qualsiasi valore reale.
3.1.2
Equazioni di secondo grado.
Una equazione in una variabile x si dice intera di secondo grado se può
essere ricondotta alla forma normale ax2 + bx+ c = 0 con a, b, c ∈ R, a = 0 .
Le due soluzioni dell’equazione possono essere ottenute applicando la seguente
formula risolutiva:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
La quantità b2 − 4ac viene detta discriminante dell’equazione e si ha che
• se b2 − 4ac > 0 le due soluzioni sono distinte
• se b2 − 4ac = 0 le due soluzioni sono coincidenti
• se b2 − 4ac < 0 non ci sono soluzioni reali (le soluzioni sono complesse
coniugate).
Casi particolari:
1. b = 0 : equazione pura ax2 + c = 0 ; ha soluzioni x = ±
a sono discordi, altrimenti non ha soluzioni reali
1
c
− a se c ed
2. c = 0 : equazione spuria ax2 + bx = 0 ; ha sempre le soluzioni x = 0
ed x = − ab .
3.1.3
Scomposizione di trinomi di secondo grado
Dato un trinomio di secondo grado ax2 + bx + c, è possibile scomporlo
utilizzando le soluzioni dell’equazione di secondo grado associata ax2 + bx +
c = 0 . Se x1 , x2 sono le soluzioni dell’equazione, si ha che
ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 )
Se l’equazione associata non ha soluzioni, il trinomio è irriducibile.
Esempio 2x2 + 3x + 1 = 2 (x + 1) x + 12 = (x + 1)(2x + 1).
3.1.4
Equazioni di grado superiore al secondo.
Per equazioni di grado superiore al secondo non esistono formule risolutive
semplici come nel caso delle equazioni di secondo grado (formule algebriche,
sebbene molto complicate, esistono per equazioni di terzo e quarto grado).
Il metodo più utilizzato per risolvere tali equazioni è scomporre il polinomio
(spesso con il metodo di Ruffini, v. esercizio 10 sezione 2) ed utilizzare la
legge di annullamento del prodotto.
Esempio L’equazione x3 − 2x2 + 4x − 3 = 0 può essere risolta scomponendo il polinomio con il metodo di Ruffini ottenendo (x − 1)(x2 − x + 3).
Quindi x = 1 è soluzione, le altre due si otterrebbero applicando la formula
risolutiva delle equazioni di secondo grado a x2 − x + 3 = 0 : tale equazione
però non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è negativo. Quindi
x = 1 è l’unica soluzione reale dell’equazione.
In alcuni casi particolari le soluzioni possono essere ottenute per via più
semplice
1. equazioni binomie: axn + b = 0
• se n è dispari hanno un’unica soluzione reale x = n − ab
• se n è pari, hanno soluzioni x = ± n − ac se c ed a sono discordi,
altrimenti non hanno soluzioni reali
2
2. equazioni trinomie: ax2n + bxn + c = 0 , si risolvono effettuando la
sostituzione y = xn , trasformando cosı̀ l’equazione di grado 2n in una
di secondo grado, le cui soluzioni y1 ed y2 si ottengono con la formula
risolutiva. Le soluzioni dell’equazione data si ottengono risolvendo le
due equazioni binomie xn = y1 ed xn = y2 .
Esempio Risolvere la seguente equazione: 128x6 − 2 = 0 .
L’equazione è binomia di grado
pari. Le soluzioni si ottengono da
1
1
6
6
128x = 2, x = 64 , x = ± 6 64
, x = ±2 .
Esempio Risolvere la seguente equazione: x6 − 28x3 + 27 = 0 .
L’equazione è trinomia di grado 6. Le soluzioni si ottengono mediante la
sostituzione x3 = y che conduce all’equazione di√ secondo grado
28±
282 −4(27)
y1 = 1
y 2 − 28y + 27 = 0 che ha come soluzioni y1,2 =
2
ed y2 = 27 . Per ottenere le soluzioni dell’equazione data occorre ora
risolvere le due equazioni trinomie x3 = 1 ed x3 = 27 che hanno come
soluzioni rispettivamente x = 1 ed x = 3 .
3.2
3.2.1
Disequazioni.
Disequazioni di primo grado.
Una disequazione di primo grado può essere ricondotta ad una delle seguenti
forme ax + b > 0 ,ax + b < 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 . Come esempio,
risolviamo i seguenti casi:
• ax + b > 0
se a > 0 ⇒ x > − ab
se a < 0 ⇒ x < − ab
• ax + b ≥ 0
se a > 0 ⇒ x ≥ − ab
se a < 0 ⇒ x ≤ − ab
3
Si può osservare che è sufficiente ”cambiare il verso” della disequazione se
a è negativo.
Esempio −2x + 1 < 0 2x − 1 > 0 x >
3.2.2
1
2
.
Disequazioni di secondo grado.
Una disequazione di secondo grado può essere risolta con l’ausilio della rappresentazione grafica della parabola associata al polinomio di secondo grado
(cfr. capitolo 7). Occorre ricordare che
• la parabola associata ad ax2 + bx + c è rivolta verso l’alto se a > 0 ,
ed è rivolta verso il basso se a < 0
• le soluzioni dell’equazione di secondo grado associata sono le ascisse
dei punti di intersezione della parabola con l’asse x
• le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti della parabola
che si trovano nel semipiano di ordinate positive (cioè sopra l’asse
x) se la disequazione è ax2 + bx + c > 0 , nel semipiano di ordinate
negative (cioè sotto l’asse x) se la disequazione è ax2 + bx + c < 0 .
Esempio Risolvere la disequazione −x2 + 4x − 3 > 0 .
Le soluzioni dell’equazione associata −x2 + 4x − 3 = 0 sono x = 1 ed x = 3
perciò la parabola y = −x2 + 4x − 3 interseca l’asse x nei punti di ascissa
1 e 3 rispettivamente ed è rivolta verso il basso, poiché il coefficiente del
termine di secondo grado è negativo.
1
1
x
2
3
4
0
–1
–2
–3
Essendo il verso della disequazione ”maggiore”, la disequazione è soddisfatta
dalle ascisse dei punti della parabola che si trovano sopra l’asse delle x,
quindi la soluzione è 1 < x < 3 .
4
Esempio Risolvere la disequazione x2 + x + 3 ≤ 0 .
L’equazione associata x2 +x+3 = 0 non ha soluzioni reali perciò la parabola
y = x2 + x + 3 non interseca l’asse x ed è rivolta verso l’alto poiché il
coefficiente del termine di secondo grado è positivo.
6
5
4
3
y
2
1
–2
0
–1
1
x
Essendo il verso della disequazione ”minore o uguale”, la disequazione è soddisfatta dalle ascisse dei punti della parabola che si trovano sotto o sull’asse
delle x, quindi poiché la parabola giace nel semipiano delle ordinate positive
la disequazione non ha soluzioni.
3.2.3
Disequazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni
fratte.
Analogamente alle equazioni di grado superiore al secondo (vedi 3.1.4) il
metodo più efficace per risolvere disequazioni di grado superiore al secondo
è scomporre il polinomio e studiare separatamente i segni dei singoli fattori
ed ottenere il segno complessivo secondo la regola del prodotto dei segni.
Tale metodo è utilizzato anche per determinare il segno di una frazione,
studiando separatamente i segni di numeratore e denominatore.
x−1
≤ 0.
2−x
Occorre studiare separatamente i segni di numeratore e denominatore. Si
risolvono le disequazioni N : x − 1 ≥ 0 e D : 2 − x > 0 , che hanno
rispettivamente come soluzioni x ≥ 1 e x < 2 . I risultati ottenuti indicano
gli intervalli in cui rispettivamente il numeratore ed il denominatore sono
positivi. Lo schema seguente riassume i risultati ottenuti, e l’ultima riga
Esempio Risolvere la disequazione fratta
5
(ottenuta con la regola del prodotto dei segni) fornisce il segno della frazione:
1
|
|
|
−
+
−
N
D
N/D
2
|
|
|
+
+
+
+
−
−
poiché la disequazione è soddisfatta se la frazione è negativa o nulla, le
soluzioni sono x ≤ 1 ∨ x > 2 .
Esercizi.
1. Determinare il valore da attribuire al parametro k affinché l’equazione
kx2 + (k + 1)x + 3 = 0 ammetta come soluzione x = 1 .
Facendo riferimento al concetto di soluzione di un’equazione (valore
che sostituito all’incognita rende l’uguaglianza un’identità ) occorre
sostituire ad x il valore 1: si ottiene k + (k + 1) + 3 = 0 che è
un’uguaglianza per k = −2 (il valore si ottiene risolvendo l’equazione
in k , 2k + 4 = 0 ).
2. Risolvere la seguente equazione x3 + x2 − 10x + 8 = 0 .
Il polinomio di terzo grado è scomponibile con la regola di Ruffini (v.
esercizio 10 sezione 2) e si ottiene (x−1)(x2 +2x−8) = 0 . Le soluzioni
sono perciò x = 1 e le due soluzioni dell’equazione di secondo grado
x = 2 ed x = −4 .
3. Risolvere la disequazione 4x2 − 16 ≥ 0 .
Le soluzioni dell’equazione associata sono x = ±2 , la parabola è rivolta verso l’alto, le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei
punti della parabola che si trovano sopra o sull’asse x cioè
20
15
10
5
–3
–2
–1
0
1
2
x
–5
–10
–15
x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 .
6
3
4. Risolvere la disequazione −x2 + 10x − 25 ≥ 0 .
Le soluzioni dell’equazione associata sono coincidenti: x = 5 (cioè la
parabola è tangente all’asse delle x). La parabola è rivolta verso il
basso, le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti della
parabola che si trovano sopra o sull’asse x cioè
10
x
2
4
6
8
10
–10
y
–20
–30
–40
il solo valore x = 5 .
5. Risolvere la disequazione
x2
−x2 +10x−25
< 0.
Il numeratore è maggiore di zero per x = 0 , il denominatore è sempre
negativo (vedi es. precedente) tranne per x = 5 quindi si ottiene il
diagramma
0
5
N
+ | + | +
D
− | − | −
N/D − | − | −
La disequazione è perciò verificata per ogni valore di x esclusi 0 e 5
(in corrispondenza dei quali la frazione rispettivamente è nulla oppure
non definita).
6. Risolvere la disequazione x3 − 6x2 + 11x − 6 > 0 .
Mediante la regola di Ruffini (v. esercizio 10 sezione 2) si può scomporre il polinomio in (x − 1)(x2 − 5x + 6). Il primo fattore è positivo
per x > 1 , il secondo per x < 2 ∨ x > 3 . Si ha quindi il seguente
diagramma
1
2
3
1F − | + | + | +
2F + | + | − | +
prod − | + | − | +
La disequazione x3 − 6x2 + 11x − 6 > 0 è perciò soddisfatta negli
intervalli in cui il prodotto è positivo cioè 1 < x < 2 ∨ x > 3 .
7. Data l’equazione 4kx + 2k −
7
3
= 0 , determinare i valori di k per cui
• non ha soluzioni
[k = 0]
7
• ha soluzione nulla
• ha soluzione x = 1
8. Risolvere le seguenti equazioni:
• 2x2 − 3x = 0
• 9x2 − 1 = 0
2
2
1
1
15
• 2x −
− 2x +
− x2 =
2
2
2
9. Data l’equazione (x − 3) (x + 3) +
valori del parametro a per cui
7
6
7
18
k=
k=
x1 = 0; x2 = 32
x = ± 31
[x = ±1]
a (a − 3x)
= x − 7 , determinare i
2
• si hanno due soluzioni uguali
[a = −6]
• una soluzione è nulla
[a = ±2]
• non esistono soluzioni reali
[nessun valore di a]
• le due soluzioni sono positive
[a > 2]
Si ricordi che condizione necessaria e sufficiente affinchè si abbiano
due soluzioni coincidenti è ∆ = 0 , mentre non esistono soluzioni reali
se e solo se ∆ < 0 .
10. Risolvere le seguenti disequazioni:
6 1 + x2
1 − 3x (2 − x) (2 + x)
−
< x− +
5
3
5
15
• − x2 + 8x − 7 ≤ 0
•
[0 < x < 6]
[x ≤ 1 ∨ x ≥ 7]
• 3x2 − x + 2 < 0
[∅]
2
• x − 8x + 16 > 0
•
[x = 4]
x−8
x−5
<
x+3
x−3
[−3 < x < 3 ∨ x > 13]
11. Risolvere le seguenti equazioni:
• 25x4 + 99x2 − 4 = 0
± 51
1
• 8x6 − 217x3 + 27 = 0
• 2x6 − 128 = 0
2, 3
[±2]
12. Risolvere le seguenti disequazioni:
• x4 − 16 < 0
• x3 + x2 − 10x + 8 < 0
[−2 < x < 2]
[x < −4 ∨ 1 < x < 2]
8