Da un mazzo di carte napoletane calcolare la probabilità di:
a.
b.
c.
d.
Estrarre un asso
Estrarre una figura
Estrarre un asso oppure una figura
Estrarre una carta di denari oppure una figura.
a.
b.
c.
d.
***
La probabilità è pari a 4/40 = 0,1
La probabilità è pari a 12/40 = 0,3
La probabilità è pari a (4/40)+(12/40)=0,4
La probabilità è pari a (10/40)+(12/40)-(3/40)= 19/40= 0,475
Un urna contiene 15 palline bianche, 4 rosse e 8 nere tutte dello stesso peso, dimensione e forma. Qual è
la probabilità di estrarre 2 palline di colore rosso?
L’urna contiene in totale 27 palline. La prova consiste nell’estrazione di due palline. In totale ci sono quindi
(
)
possibili modi di estrarre due palline da un totale di 27 palline.
Le palline rosse sono 4, quindi ci sono ( )
possibili modi diversi di estrarre 2 palline da un totale di 4.
I casi possibili (e tutti equiprobabili) sono quindi 351, i casi favorevoli sono 6, di conseguenza la probabilità
da calcolare è pari a 6/351=0,0171
L’esercizio poteva essere risolto anche considerando l’estrazione di 2 palline come la combinazione di due
eventi separati (ad esempio: si estrae una pallina, se ne controlla il colore, non la si rimette nell’urna e poi si
estrae un’altra pallina e se ne controlla il colore). Sia A l’evento “la prima pallina estratta è rossa” e sia B
).
l’evento “la seconda pallina estratta è rossa”. Il problema è allora calcolare (
Poiché (
)
(
)
( )
, segue che (
)
(
) ( ) = (3/26)*(4/27)=0,0171.
In una fabbrica vi sono 3 macchinari che producono lo stesso prodotto. Il primo macchinario produce 20
prodotti all’ora, il secondo ne produce 16 e il terzo 14. Si sa inoltre che i macchinari restituiscono
rispettivamente il 10%, il 12% e il 7% di pezzi difettosi. Qual è la probabilità che un pezzo difettoso sia
prodotto dal secondo macchinario?
Si tratta dell’applicazione del Teorema di Bayes. Le probabilità a priori dell’evento sono quelle relative alla
proporzione di pezzi che i macchinari restituiscono in un ora, e che sono pari rispettivamente a 20/50=0,4,
16/50=0,32 e 14/50=0,28. I pezzi difettosi restituiti da ogni singolo macchinario rappresentano le
probabilità probative (o verosimiglianze). Si può costruire la seguente tabella:
Macchinari
Primo Macchinario
Secondo Macchinario
Terzo Macchinario
tot
P(E|Hi)
0,1
0,12
0,07
P(Hi)
0,4
0,32
0,28
P(Hi)P(E|Hi)
0,0400
0,0384
0,0196
0,0980
La quantità in grassetto (la somma dell’ultima colonna) è il denominatore della formula di Bayes:
(
)
( ) (
)
∑
( ) (
)
Quindi la probabilità che un pezzo difettoso sia stato prodotto dal secondo macchinario è pari a
0,0384/0,0980=0,3918
Si lancia un dado, poi si estrae una biglia da una di tre differenti urne a seconda del risultato del lancio
effettuato in precedenza. Le regole da seguire sono le seguenti:
se esce la faccia 1, si estrae una biglia dall’urna A contenente 9 biglie bianche e una nera
se esce la faccia 2, oppure la faccia 3, oppure la faccia 4 si estrae una biglia dall’urna B contenente
1 biglia bianca e 9 nere
se esce la faccia 5 oppure la faccia 6 si estrae una biglia dall’urna C contenente 5 biglie bianche e
5 biglie nere.
Dato che si è estratta una biglia bianca, qual è la probabilità che provenga dall’urna B?
Anche in questo caso bisogna applicare la regola di Bayes. Le probabilità a priori e le verosimiglianze sono:
P(Hi)
1/6 = 0,1667
3/6 = 0,5000
2/6 = 0,3333
Urna A
Urna B
Urna C
P(E|Hi)
9/10 = 0,9000
1/10 = 0,1000
5/10 = 0,5000
Tot
P(Hi)P(E|Hi)
0,1500
0,0500
0,1667
0,3667
La probabilità che una biglia bianca sia stata estratta dall’urna B è pari a 0,0500/0,3667=0,1364
Per curiosità, si ha:
Urna A
Urna B
Urna C
Tot
P(Hi)
0,1667
0,5000
0,3333
1,000
P(Hi|E)
0,4091
0,1364
0,4545
1,0000
Dalla prova di Statistica del 25/11/2011
Quesito 1. E’ noto che nella città di XYZ il 12% degli utenti del servizio di trasporto pubblico viaggia senza
biglietto. Il problema è quello di determinare la probabilità che selezionando n viaggiatori, ce ne siano x
senza biglietto.
a. …
b. Selezionando casualmente 15 viaggiatori in un autobus, determinare la probabilità che al più 5 di
essi viaggino sprovvisti del titolo di viaggio;
c. Quanti viaggiatori ci attendiamo mediamente che siano sprovvisti del biglietto?
***
Pi
0,12
x=0
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
x=6
x=7
x=8
x=9
x=10
x=11
x=12
x=13
x=14
x=15
1-Pi
0,88
n
15
( )
(
)
0,146974
0,020042
0,002733
0,000373
0,000051
0,000007
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
(
(
)
0,146974
0,300628
0,286963
0,169569
0,069369
0,020811
0,004730
0,000829
0,000113
0,000012
0,000001
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
(
)
0,146974
0,447602
0,734566
0,904135
0,973504
0,994315
0,999045
0,999874
0,999987
0,999999
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
)
La tabella sovrastante mostra le probabilità calcolate per ogni valore possibile (si passa dalla situazione in
cui nell’autobus non vi è nessun viaggiatore sprovvisto di biglietto, e in tal caso x=0 a quello in cui tutti i
viaggiatori sono sprovvisti di biglietto, e in questo caso x=15). Il problema in questione viene risolto
attraverso l’utilizzo della v.c. binomiale, secondo cui (
)
( )
(
)
.
In tal modo si calcola la probabilità che esattamente x utenti tra gli n selezionati casualmente risultino
sprovvisti di titolo di viaggio (quarta colonna della tabella in alto). L’esercizio ci chiede di calcolare la
probabilità che al più 5 utenti viaggino senza biglietto. Pertanto la probabilità cercata è pari a
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Di seguito si riporta la funzione di probabilità (a sinistra) e la funzione di ripartizione (a destra).
0.35
1
0.9
0.3
0.8
0.25
0.7
0.6
P(X)
F(X)
0.2
0.15
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
0.05
0
0.1
0
0
5
10
15
0
Poiché il valore atteso della v.c. binomiale è pari a
sprovvisti di biglietto
5
10
15
X
X
, ci si attende che
viaggiatori siano
