Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro
Microeconomia (anno accademico 2006-2007)
Lezione del 21 Marzo 2007
Marianna Belloc
1
Le funzioni
1.1
Definizione
Una funzione è una regola che descrive una relazione tra numeri, tale da associare a ciascun
numero x un unico numero y. Il valore assunto dalla y è dunque dipendente dal valore assunto
dalla x. Scriviamo allora:
y = f (x)
e diciamo che x è la variabile indipendente e y è la variabile dipendente.
Una funzione può essere descritta designando la regola di calcolo, per esempio:
• “Si prenda un numero e lo si elevi al quadrato”. In questo caso scriviamo: y = x2
• “Si prenda un numero e lo si moltiplichi per due”. In questo caso scriviamo: y = 2 × x.
1.2
Rappresentazione
L’andamento di una funzione viene rappresentato per mezzo di un grafico. Normalmente la variabile dipendente è rappresentata sull’asse verticale mentre quella indipendente è rappresentata
rappresentata su quello orizzontale.
Per esempio nei due casi precedenti abbiamo:
1
y
y
y = x2
x
O
y = 2x
x
O
Figura 1
1.3
1.3.1
Proprietà delle funzioni
Funzioni continue
Una funzione continua è una funzione che può essere disegnata senza mai staccare la matita
dal foglio. Una funzione continua non presenta salti.
y
y
x
O
x
O
Funzione discontinua
Funzione continua
Figura 2
2
1.3.2
Funzioni monotone
Una funzione monotona positiva è una funzione costantemente crescente. Una funzione
monotona negativa è una funzione constantemente decrescente.
y
y
Non monotona
Monotona positiva
x
O
O
x
y
y
Non monotona
Monotona negativa
O
O
x
x
Figura 3
1.3.3
Funzioni inverse
Nel caso di funzioni monotone, ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y (e viceversa).
La regola di calcolo che, a partire da una certa funzione y = f (x), ci dice il valore di x per ogni
valore di y è chiamata funzione inversa e viene scritta come: x = g (y) .
Per esempio data la funzione:
y = 2x
la sua inversa sarà:
1
x= y
2
3
Nel caso di funzioni non monotone la funzione inversa non esiste perchè ad ogni valore di x
può corrispondere più di un valire di y (e viceversa).
1.3.4
Esempi di funzioni inverse
Funzione
Funzione inversa
y =3+x
x=y−3
y−1
y =6×x+1 x=
6
√
2
y=x
x = ± y = ±y1/2
x
x=5×y
y=
5
1.4
Equazioni e identità
Una equazione è un’uguaglianza tra una funzione e un numero. La soluzione di un’equazione
è data da uno o più valori di x (a seconda del grado dell’equazione). Per esempio, la soluzione
della funzione 2x = 8 è x = 4.
Un’identità è una relazione fra le variabili valida per qualunque valore delle variabili. Per
esempio:
(x + y)2 ≡ x2 + y 2 + 2xy
2 (1 + x) ≡ 2 + 2x
“≡” è il simbolo di identità.
1.5
Funzioni lineari
Una funzione lineare è una funzione del tipo:
y =a+b×x
dove a e b sono costanti.
1.6
Saggi di variazione
La notazione ∆x significa “variazione di x”. Se x varia da x1 a x2 , scriviamo:
∆x = x2 − x1
4
o, in modo equivalente,
x2 = x1 + ∆x
Se ∆x denota una piccola variazione viene comunemente chiamata “variazione marginale”.
Il saggio di variazione (o rapporto incrementale) è il rapporto tra due variazioni. Se y
dipende da x secondo la funzione y = f (x), il saggio di variazione di y rispetto a x è rappresentato
come:
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
=
∆x
∆x
Il saggio di variazione è dunque la misura della variazione di y al variare di x.
Nel caso di funzione lineare il saggio di variazione di y rispetto a x è costante (cioè non
dipende da x). Per esempio data la funzione: y = a + b × x, il saggio di variazione è dato da:
∆y
a + b × (x + ∆x) − a − b × x
b × ∆x
=
=
=b
∆x
∆x
∆x
Nel caso di funzione non lineare il saggio di variazione di y rispetto a x dipende da x. Per
esempio data la funzione: y = x2 , il saggio di variazione è dato da:
∆y
(x + ∆x)2 − x2
x2 + ∆x2 + 2x × ∆x − x2
=
=
=
∆x
∆x
∆x
∆x2 + 2x × ∆x
= ∆x + 2x
=
∆x
In questo caso il saggio di variazione dipende da x e dalla misura della variazione stessa ∆x.
Se ∆x è molto piccolo, può essere approssimativamente considerato uguale a zero e può essere
ignorato.
1.7
Inclinazione e intercetta
Dal punto di vista della sua rappresentazione grafica, il saggio di variazione di una funzione
corrisponde alla sua inclinazione.
Nel caso di funzione lineare l’inclinazione è costante. Per esempio data la funzione y = 2x,
la sua inclinazione è:
∆y
2 (x + ∆x) − 2x
2x + 2 × ∆x − 2x
2 × ∆x
=
=
=
=2
∆x
∆x
∆x
∆x
Nel caso di funzione non lineare, l’inclinazione varia punto per punto (al variare di x).
Dunque l’inclinazione in un certo punto viene misurata dall’inclinazione della retta tangente la
5
funzione in quel punto. Per esempio data la funzione y = x2 , la sua inclinazione è:
(x + ∆x)2 − x2
x2 + ∆x2 + 2x × ∆x − x2
∆y
=
=
=
∆x
∆x
∆x
∆x2 + 2x × ∆x
= ∆x + 2x
=
∆x
considerando ∆x infinitamente piccolo esso viene posto uguale a zero. L’inclinazione della funzione in corrispondenza del punto x = 4 è uguale a 8. Mentre l’inclinazione della stessa funzione
in corrispondenza del punto x = 6 è uguale a 12.
y
y
y=2x
y=x2
4
1
x
O
O
Funzione lineare
L’inclinazione è sempre 2
x
6
Funzione non lineare
L’inclinazione è 8 per x=4
L’inclinazione è 12 per x=6
4
Figura 4
Se la funzione è monotona positiva, ∆y e ∆x avranno lo stesso segno (quando x aumenta,
anche y aumenta), se invece è monotona negativa, ∆y e ∆x avranno segno opposto (quando
x aumenta, y diminuisce e viceversa).
Le intercette sono i punti di incontro del grafico della funzione con gli assi. L’intercetta
verticale è il punto di incontro con l’asse verticale e corrisponde al punto in cui x = 0. L’intercetta
orizzontale è il punto di incontro con l’asse orizzontale e corrisponde al punto in cui y = 0.
6
1.8
Valore assoluto e logaritmi
Il valore assoluto di un numero è una funzione f (x) tale che:
f (x) = x se x ≥ 0 e
f (x) = −x se x < 0
è possibile cioè determinare il valore assoluto di un numero semplicemente eliminando il segno.
Il valore assoluto di x si scrive come: |x|. Il simbolo “|.|” è detto modulo di x.
Il logaritmo naturale di x rappresenta una particolare funzione di x che scriviamo y = ln x
o y = ln (x) . Il logaritmo gode delle seguenti proprietà:
ln (xy) = ln (x) + ln (y)
¡ ¢
ln x2 = 2 ln (x)
ln (e) = 1
(dove e è la base dei logaritmi naturali e corrisponde a 2.7183).
2
2.1
Derivate
Derivata prima
La derivata prima di una funzione è il limite del saggio di variazione di y rispetto a x al tendere
della variazione di x a zero (cioè per ∆x piccolissimo). La derivata della funzione y = f (x) può
essere anche scritta f 0 (x) . Dunque abbiamo:
f 0 (x) =
f (x + ∆x) − f (x)
df (x)
= lim
∆x→0
dx
∆x
La derivata prima di una funzione è dunque un coefficiente di variazione puntuale o istantaneo e rappresenta dunque l’inclinazione della funzione punto per punto. Nel caso di funzione
lineare, essa sarà costante. Per y = 2 + 3 × x :
df (x)
2 + 3 × (x + ∆x) − 2 − 3 × x
3 × ∆x
= lim
= lim
=3
∆x→0
∆x→0 ∆x
dx
∆x
7
Nel caso di funzione non lineare, essa varierà punto per punto. Per y = x2 :
(x + ∆x)2 − x2
x2 + ∆x2 + 2x × ∆x − x2
df (y)
= lim
= lim
=
∆x→0
∆x→0
dx
∆x
∆x
∆x2 + 2x × ∆x
= lim
= lim (∆x + 2x) = 2x
∆x→0
∆x→0
∆x
Una funzione viene detta derivabile (o liscia) se:
• E’ continua
• Esiste ed è finito il limite per ∆x che tende a zero del rapporto ∆y/∆x.
In altri termini una funzione è derivabile se non presenta punti di discontinuità, angoli o
spigoli. Due casi di funzioni non derivabili sono rappresentate in Figura 6.
y
O
y
x
1
O
2
x
Continua ma non
derivabile per x=2
Non continua e
non derivabile per x=1
Figura 6
2.2
Differenza fra saggio di variazione e derivata
Il saggio di variazione rappresenta la velocità media di variazione di una funzione. Rappresenta cioè come varia la funzione y = f (x) nell’intervallo ∆x.
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
=
∆x
∆x
8
Graficamente abbiamo:
y
y2=5
Δy
y1=3
O
x1 =1
x2 = 4
144442444
43
Δx
x
Figura 7
Il rapporto ∆y/∆x rappresenta l’inclinazione della retta (indicata dalla linea tratteggiata)
che taglia la funzione nei punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) . Tale inclinazione è costante nell’intervallo.
Invece l’inclinazione della funzione f (x) varia in ciascun punto dell’arco compreso fra i
punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ). L’inclinazione della funzione punto per punto è data dalla derivata
della funzione misurata nel punto. Essa ci dice come varia l’inclinazione della funzione al variare
infinitesimo di x (per variazioni ∆x infinitamente piccole o tendenti a zero). Si ha quindi
il coefficiente di variazione puntuale che rappresenta la velocità istantanea di variazione della
funzione:
lim
∆y
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
= y0
∆x
Graficamente:
9
y
y2=5
y1=3
O
x1=1
x2=4
x
Fugura 8
L’inclinazione della funzione nel punto (x1 , y1 ) è data dalla inclinazione della retta tangente
la funzione nel punto (x1 , y1 ) e, come si osserva è maggiore, dell’inclinazione della funzione nel
punto (x2 , y2 ) che è data dall’inclinazione della retta tangente la funzione nel punto (x2 , y2 ).
Se la derivata prima di una funzione è positiva la funzione è crescente, mentre se la derivata
prima è negativa la funzione è decrescente.
10
2.3
Derivate fondamentali
Le derivate di alcune funzioni elementari devono essere conosciute per risolvere alcuni esercizi
di microeconomia che impareremo a svolgere in questo corso.
Funzione
Derivata prima
y=c
y0 = 0
y = f (x) = x
y 0 = f 0 (x) = 1
y = f (x) = xn
y 0 = f 0 (x) = n × xn−1
n∈N
y = f (x) = x2
y = f (x) = x3
y = f (x) = ln (x)
y = f (x) = ax
y 0 = f 0 (x) = 2 × x1 = 2 × x
y 0 = f 0 (x) = 3 × x2
1
x > 0 y 0 = f 0 (x) =
x
0
0
y = f (x) = ax × ln (a)
y = f (x) = ex
1
y = f (x) = = x−1
x
1
y = f (x) = 2 = x−2
x
√
1/2
y= x=x
2.4
y 0 = f 0 (x) = ex × ln (e) = ex
1
y 0 = f 0 (x) = − 2 = −x−2
x
2
y 0 = f 0 (x) = − 3 = −2 × x−3
x
1 1/2−1 1 −1/2
1
0
0
y = f (x) = x
= x
= √
2
2
2 x
Derivate di funzioni composte
Supponiamo che la funzione f (x) sia esprimibile come il prodotto di due funzioni indicate
rispettivamente da g (x) e h (x) . Quindi:
f (x) = g (x) × h (x)
La derivata di f (x) sarà data da:
dg (x)
dh (x)
df (x)
=
× h (x) + g (x) ×
dx
dx
dx
Se invece la funzione f (x) è data dal rapporto fra due funzioni indicate rispettivamente da
g (x) e h (x) , cioè,
f (x) =
g (x)
h (x)
La derivata di f (x) sarà data da:
df (x)
=
dx
dg (x)
dh (x)
× h (x) − g (x) ×
dx
dx
h (x)2
11
In generale, date due funzioni y = g (x) e z = h (y) , chiamiamo f (x) funzione composta
se esprimibile come:
f (x) = h [g (x)]
la derivata di f (x) si ottiene secondo la regola di derivazione delle funzioni composte che è la
seguente:
df (x)
dh (y) dg (x)
=
dx
dy
dx
Se per esempio y = g (x) = x2 e h (y) = 3 + 2 × y, avremo che
f (x) = h [g (x)] = 3 + 2 × x2
Per ottenere la derivata della funzione composta f (x) dobbiamo prima derivare h (y) rispetto
a y e poi moltiplicare il risultato ottenuto per la derivata di g (x) rispetto a x. Abbiamo allora:
dh (y)
d (3 + 2 × y)
=
=2
dy
dy
e
dg (x)
dx2
=
=2×x
dx
dx
Quindi:
df (x)
dh (y) dg (x)
=
=2×2×x=4×x
dx
dy
dx
2.4.1
Regole fondamentali di derivazione
Funzione
Derivata prima
y = f (x) = g (x) + h (x) y 0 = f 0 (x) = g 0 (x) + h0 (x)
y = f (x) = g (x) − h (x) y 0 = f 0 (x) = g 0 (x) − h0 (x)
y = f (x) = g (x) × h (x) y 0 = f 0 (x) = g 0 (x) × h (x) + g (x) × h0 (x)
g 0 (x) × h (x) − g (x) × h0 (x)
y = f (x) = g (x) /h (x) y 0 = f 0 (x) =
[h (x)]2
2.5
y = f (x) = 1/h (x)
y 0 = f 0 (x) = −h0 (x) / [h (x)]2 con h (x) 6= 0
y = f (x) = h [g (x)]
y 0 = f 0 (x) = h0 [g (x)] × g 0 (x)
Derivate parziali
Supponiamo ora che y dipenda da due variabili indicate da x1 e x2 . Scriviamo allora:
y = f (x1 , x2 )
12
La derivata parziale di f (x1 , x2 ) rispetto a x1 è la derivata della funzione rispetto a x1
ipotizzando che x2 è una costante. Cioè:
f 0 (x1 , x2 ) =
f (x1 + ∆x1 , x2 ) − f (x1 , x2 )
∂f (x1 , x2 )
= lim
∆x1 →0
∂x1
∆x1
mentre la derivata parziale di f (x1 , x2 ) rispetto a x2 è la derivata della funzione rispetto a
x2 ipotizzando che x1 è una costante. Cioè:
f 0 (x1 , x2 ) =
f (x1 , x2 + ∆x2 ) − f (x1 , x2 )
∂f (x1 , x2 )
= lim
∆x
→0
∂x2
∆x2
2
La derivata parziale si indica con il simbolo “∂”. Le derivate parziali godono delle stesse proprietà
delle derivate ordinarie. In particolare valgono le stesse regole delle funzioni composte anche se
con una modifica. Supponiamo che x1 e x2 sono due variabili dipendenti da una terza variabile
z. Definiamo la funzione g (z) come:
g (z) = f (x1 (z) , x2 (z))
Quindi al variare di z variano sia x1 (z) che x2 (z) e quindi la derivata parziale di g (z) rispetto
a z sarà data dalla somma delle derivate parziali di x1 (z) e x2 (z) rispetto a z. In altri termini:
∂f (x1 (z) , x2 (z))
∂f (x1 , x2 ) dx1 (z) ∂f (x1 , x2 ) dx2 (z)
dg (z)
=
=
+
dz
∂z
∂x1
dz
∂x2
dz
2.5.1
Alcuni esempi
Funzione
Der. parziale rispetto a x1 Der. parziale rispetto a x2
y = f (x1 , x2 ) = x1 + x2
fx0 1 (x1 , x2 ) = 1
fx0 2 (x1 , x2 ) = 1
y = f (x1 , x2 ) = x21 + x2
fx0 1 (x1 , x2 ) = 2 × x1
fx0 2 (x1 , x2 ) = 1
y = f (x1 , x2 ) = x21 + 2 × x2 fx0 1 (x1 , x2 ) = 2 × x1
1
1
y = f (x1 , x2 ) =
+ 2 × x2 fx0 1 (x1 , x2 ) = − 2
x1
x1
fx0 2 (x1 , x2 ) = 2
y = f (x1 , x2 ) = x1 × x2
x1
y = f (x1 , x2 ) =
x2
fx0 1 (x1 , x2 ) = x2
1
fx0 1 (x1 , x2 ) =
x2
13
fx0 2 (x1 , x2 ) = 2
fx0 2 (x1 , x2 ) = x1
fx0 2 (x1 , x2 ) = x1 × (−
1
x1
)=− 2
x22
x2
2.6
Derivate seconde
La derivata seconda di una funzione è la derivata della derivata di quella funzione. Se y = f (x),
d2 f (x)
la derivata seconda rispetto a x si scrive
o f 00 (x). Per esempio sappiamo che
dx2
se f (x) = 2x allora f 0 (x) = 2
se g (x) = x2 allora g 0 (x) = 2x
le rispettive derivate seconde sono:
d2 f (x)
dx2
2
d g (x)
dx2
= f 00 (x) = f 0 (2) = 0
= g 00 (x) = g 0 (2x) = 2
La derivata seconda misura la curvatura della funzione. Come vediamo nel paragrafo successivo.
2.7
Concavità e convessità delle funzioni
Ritorniamo a considerare una funzione in una sola variabile, y = f (x). Una funzione si dice
concava se il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione si trova sempre al di sotto
della funzione stessa. Questo vuol dire che la pendenza della curva risulta via via minore per
valori crescenti di x. La condizione di concavità può essere anche scritta come:
f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ) + f (x1 ) ≤ f (x)
x2 − x1
Graficamente abbiamo:
y
y2=5
y1=3
O
Concava
x1=1
x2=4
Figura 9
14
x
L’inclinazione della funzione in corrispondenza di x1 è maggiore dell’inclinazione della funzione in corrispondenza di x2 . Una funzione è concava nell’intorno di un punto se la derivata
seconda della funzione in quel punto è negativa (e dunque la sua derivata prima è decrescente).
Una funzione si dice convessa se il segmento che unisce due punti qualsiasi della funzione
si trova sempre al di sopra della funzione stessa. Questo vuol dire che la pendenza della curva
risulta via via maggiore per valori crescenti di x. La condizione di convessità può essere anche
scritta come:
f (x2 ) − f (x1 )
(x − x1 ) + f (x1 ) ≥ f (x)
x2 − x1
Graficamente abbiamo:
y
y2
y1
O
Convessa
x1
x2
x
Figura 10
L’inclinazione della funzione in corrispondenza di x1 è minore dell’inclinazione della funzione
in corrispondenza di x2 . Una funzione è convessa nell’intorno di un punto se la derivata seconda
della funzione in quel punto è positiva (e dunque la sua derivata prima è crescente).
3
Ottimizzazione
Se y = f (x), allora il punto di x∗ sarà detto massimo di f (x) se f (x∗ ) ≥ f (x) per qualsiasi
valore di x. Se f (x) soddisfa alcune proprietà di derivabilità, le condizioni perchè ci sia un
15
massimo in x∗ sono:
df (x∗ )
dx
d2 f (x∗ )
dx2
= 0
condizione del primo ordine
≤ 0
condizione del secondo ordine
La condizione del primo ordine stabilisce che la funzione è piatta nel punto x = x∗ . La
condizione del secondo ordine stabilisce che la funzione è concava in un intorno del punto
x = x∗ . Entrambe le proprietà devono valere perchè x∗ sia un massimo.
Se y = f (x), allora il punto di x∗ sarà detto minimo di f (x) se f (x∗ ) ≤ f (x) per qualsiasi
valore di x. Se f (x) soddisfa alcune proprietà di derivabilità, le condizioni perchè ci sia un
minimo in x∗ sono:
df (x∗ )
dx
d2 f (x∗ )
dx2
= 0
condizione del primo ordine
≥ 0
condizione del secondo ordine
La condizione del primo ordine stabilisce sempre che la funzione è piatta nel punto x = x∗ .
La condizione del secondo ordine stabilisce che la funzione è convessa in un intorno del
punto x = x∗ . Entrambe le proprietà devono valere perchè x∗ sia un minimo. Graficamente:
y
O
y
x*
x
O
x*
Minimo in x*
Massimo in x*
Figura 11
Se consideriamo una funzione in due variabili: f (x1 , x2 ) che soddisfa le condizioni di deriv16
abilità, le condizioni del primo ordine perchè ci sia un massimo o un minimo in x∗ sono:
∂f (x∗1 , x∗2 )
∂x1
∂f (x∗1 , x∗2 )
∂x2
= 0
= 0
Esistono anche condizioni del secondo ordine ma per semplicità non verranno considerate.
4
Ottimizzazione vincolata
Spesso si cerca di individuare il massimo o il minimo di una funzione per qualche insieme ristretto
di valori di x. La notazione del problema di ottimo vincolato così ottenuto è allora:
M axf (x1 , x2 )
x1 ,x2
sotto il vincolo: g (x1 , x2 ) = c
Questa formulazione significa che si cercano i valori di x1 , x2 tali che f (x∗1 , x∗2 ) ≥ f (x1 , x2 )
per tutti i valori di x1 e x2 che soddisfano l’equazione g (x1 , x2 ) = c. La funzione f (x1 , x2 ) viene
della funzione obiettivo, mentre g (x1 , x2 ) = c è il vincolo.
17