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4.5 Teoremi di trigonometria
Per i teoremi dei paragrafi precedenti è possibile fornire rapide dimostrazioni utilizzando lo strumento della
trigonometria, ma in generale si preferisce dare dimostrazioni che non utilizzano la trigonometria in quanto le
dimostrazioni che non ne fanno uso sono più formative nell'apprendimento di un metodo di ragionamento. E' per questa
ragione che abbiamo lasciato per ultimo il paragrafo che tratta i risultati di trigonometria.
Si presentano per iniziare alcune brevissime nozioni di base di trigonometria.
Data la circonferenza di centro l'origine O e raggio 1, detta circonferenza goniometrica, si tracci una semiretta avente
origine in O. Tale semiretta interseca la circonferenza goniometrica in un punto B.
L'angolo che essa forma con l'asse `x` è un angolo `alpha`, la misura del segmento CB perpendicolare all'asse `x` è il
seno di `alpha`, la misura del segmento AB perpendicolare all'asse `y` è il coseno di `alpha`. Si consideri poi il segmento
verticale avente un estremo in F(1,0) e G appartenente alla semiretta; la misura di FG è la tangente di `alpha`. Infine sia
D(0,1) e DE il segmento orizzontale con E sulla semiretta; la misura di DE è la cotangente di `alpha`.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OBC si ottiene `cos^2alpha+sin^2alpha=1`, detta I relazione
fondamentale della trigonometria. Per le similitudini dei triangoli OBC e OGF si ottiene `tanalpha=sinalpha/cosalpha`,
detta II relazione fondamentale della trigonometria. Analogamente si ottiene `text(cotan)alpha=cosalpha/sinalpha`.
Teoremi dei triangoli rettangoli
I teoremi dei triangoli rettangoli sono quattro, e se ne dimostra solamente uno perché le dimostrazioni sono pressoché
identiche e banali.
4.5.1 Teorema
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al segmento.
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Dimostrazione
Si considerino i triangoli OBC, con OB=1 in quanto B appartiene alla circonferenza goniometrica, e OHI. E' facile
mostrare che essi sono simili, e pertanto hanno i lati proporzionali. In particolare BC:OB=HI:HO.
Da ciò segue che HI=BC·HO, dunque `HI=HO·sinalpha`.
4.5.2 Teorema
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente.
4.5.3 Teorema
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto.
4.5.4 Teorema
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'altro cateto per la cotangente dell'angolo adiacente.
I teoremi successivi si riferiscono invece a triangoli qualunque. E' necessario dimostrare prima il teorema della corda in
quanto se ne fa uso nella dimostrazione del teorema dei seni.
4.5.5 Teorema della corda
Data una circonferenza di raggio r e centro O e una corda AB sia `alpha` l'angolo `OhatAB`. Vale la seguente
relazione: `AB=2r·sin(alpha/2)`.
Dimostrazione
Per il primo teorema dei triangoli rettangoli vale `AH=AO·sin(alpha/2)`. AB è il doppio di AH e AO=r, da cui segue la
tesi `AB=2r·sin(alpha/2)`.
4.5.6 Teorema dei seni
In un triangolo ABC sia `alpha` l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C. I lati
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sono in proporzione con i seni degli angoli opposti, ossia `(AB)/(singamma)=(BC)/(sinalpha)=(AC)/(sinbeta)`.
Dimostrazione
Ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza, quindi ABC è inscrivibile in una circonferenza di raggio r.
Per il teorema della corda vale la seguente relazione:
`BC=2r·sin(alpha^'/2)`.
L'angolo al centro è il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza, per cui `BC=2r·sinalpha`. Analogamente si
ha `AB=2r·singamma` e `AC=2r·sinbeta`. Da ciò segue che `2r=(AB)/(singamma)=(BC)/(sinalpha)=(AC)/(sinbeta)`.
Il successivo teorema era già noto ai temi di Euclide, come detto nel primo paragrafo di questo capitolo, anche se non
nella forma attuale perché non erano state ancora definite le funzioni goniometriche. La dimostrazione che mostriamo fa
uso del teorema di Pitagora.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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