Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio
(da un file della Prof.ssa Marchisio, con alcune modifiche e integrazioni)
Calcolo combinatorio
branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare, secondo date
regole, gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa
soprattutto di contare tali modi, ovvero le configurazioni e solitamente risponde a
domande quali "Quanti sono...", "In quanti modi...", "Quante possibili combinazioni..."
eccetera.
Tale calcolo trova applicazioni nella teoria della probabilità, nella statistica, nell'ambito
dei giochi matematici e nell'analisi dei problemi di scelta (frequenti nel campo
commerciale e industriale).
Contare in una situazione semplice
Devo comprare un lucchetto per la catena della mia bicicletta. E' un lucchetto a
combinazione, tipo cassaforte. Ci sono 2 rotelle e su ognuna le cifre da 1 a 5. Il
negoziante dice che è sicuro, ma io non sono molto convinto. Sarà abbastanza
sicuro o un ladro, con pochi tentativi, riuscirà a portarsi via la mia bici?
Soluzione
Proviamo a contare le possibili combinazioni con l'aiuto dei grafi ad albero
Per la prima cifra, ci sono 5 possibilità: 1 2 3 4 5
Rappresentiamo la situazione partendo dalla situazione 0 (nessuna combinazione impostata) e
rappresentiamo con 5 rami le 5 possibilità per la prima cifra
Per ogni cifra successiva, si presenta la stessa situazione: ripartendo dalla cifra selezionata, ho 5
possiblità per la cifra successiva. Globalmente la situazione si rappresenta con questo grafo.
Il grafo ha 25 diversi tragitti per andare dalla cima a una delle foglie, quindi il lucchetto ha 25
combinazioni possibili... mica tante! conviene non comprarlo
Che cosa abbiamo imparato?
Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema del lucchetto?
stiamo contando delle presentazioni ordinate, perchè la combinazione 1 2 è diversa da 2 1
sono ammesse le ripetizioni, per esempio 2 2 è una combinazione del lucchetto.
Il problema del lucchetto è un problema di disposizioni con ripetizione.
Una disposizione con ripetizioni è una presentazione ordinata di elementi di
un insieme nella quale si possono avere ripetizioni di uno stesso elemento.
Cerchiamo il numero delle possibili sequenze di k oggetti estratti dagli
elementi di un insieme di n oggetti, ognuno dei quali pu# essere preso più
volte. Si hanno n possibilità per scegliere il primo componente, n per il
secondo, altrettante per il terzo e cos$ via, sino al k-esimo che completa la
configurazione. Il numero cercato è pertanto:
Nel problema in esame cercheremo tutte le coppie (k=2) di cifre prese tra le cifre 1, 2, 3, 4, 5 (n=
5). Quindi le possibili combinazioni saranno
(1.2.1)
Maple ci aiuta (conclusione problema iniziale)
Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutte le combinazioni del lucchetto. Usiamo il pacchetto
combinat e la funzione permute dandole come argomenti l'insieme totale delle cifre da utilizzare
nella combinazione e la lunghezza della combinazione. numbperm conta il numero di
permutazioni che richiediamo (stessi argomenti di permute), oppure possiamo dare un nome alla
lista delle disposizioni con ripetizione calcolate e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con
nops
(1.3.1)
(1.3.2)
ORA PROVA TU ...
Una proposta analoga ...
Con Maple
(1.4.1.1)
(1.4.1.2)
Allo stesso risultato si arriva con la formula per determinare le disposizioni di tre cifre (k)
prese tra dieci (n) cioè
(essendo dieci le cifre tra cui scegliere (n) e 3 le posizioni da individuare (k)
Se servono 2 sec per ogni tentativo, in totale serviranno 2000 sec cioè 33 min e 20 sec dunque
....
Facciamo 13!
Quante sono le diverse colonne della schedina che si possono giocare?
Dobbiamo scegliere tra vittoria della prima squadra (1), pareggio (X) o
vittoria della seconda squadra (2) in 13 partite di calcio.
Risposta
Dobbiamo studiare le disposizioni con ripetizione di sequenze di 13 oggetti presi da un
insieme con 3 elementi. Allora il numero di diverse colonne della schedina è
1594323
(1.5.1.1)
Se volete, potete farvi scrivere da Maple tutte le colonne della schedina.....
Una situazione più delicata
Stiamo facendo dei lavori di ristrutturazione in casa. In particolare dobbiamo
allacciare i cavi telefonici che arrivano dall'esterno alla presa del telefono che
metteremo nel muro. Il cavo telefonico è composto da 3 fili: uno rosso, uno
verde, uno blu. Purtroppo non abbiamo idea di come vanno attaccati alla spina,
quindi andiamo un po' a caso..... quanti tentativi dovremo fare alla peggio?
Soluzione
Rispetto al problema del lucchetto, qui non ci sono ripetizioni (ho 3 fili di colori diversi in tutto) e
conta l'ordine in cui li attacco. Quindi devo contare i possibili modi di "ordinare" i miei 3 fili.
Anche qui posso fare un grafo ad albero. Ma: se scelgo come primo filo quello rosso, come
secondo filo potr# scegliere solo tra il verde e il blu e poi la terza scelta sarà obbligata!
(2.1.1)
Partendo dal bianco, possiamo scegliere 6 cammini diversi per arrivare a una "foglia". nel
percorso passiamo tutti i colori una sola volta, ottenendo un possibile ordinamento dei 3 fili
Totale: 6 ordinamenti, 6 tentativi per collegare il cavo telefonico!
Si pu# fare lo stesso calcolo più brevemente:
Primo filo da collegare: 3 possibilità
Secondo filo da collegare: 2 possibilità (una meno di prima, perchè un filo è già collegato)
Terzo filo da collegare: 1 possibilità (gli altri 2 sono già stati collegati)
Totale: 3*2*1=6.
Che cosa abbiamo imparato?
Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema dei fili del cavo
del telefono?
stiamo contando delle presentazioni ordinate, perchè la presentazione RVB è diversa da VBR,
in cui ogni oggetto si presenta una e una sola volta.
non sono ammesse le ripetizioni, per esempio RBB non è una presentazione ammissibile
Il problema dei fili del cavo telefonico è un problema di permutazioni.
Una permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata,
cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene
presentato una ed una sola volta.
Per contare le permutazioni di un insieme con n oggetti, notiamo che il
primo elemento pu# essere scelto in n modi diversi, il secondo in (n-1), il
terzo in (n-2) e cos$ via sino all'ultimo che potrà essere preso in un solo
modo essendo l'ultimo rimasto.
Il numero delle possibili permutazioni di un insieme di n elementi è
Questo è "n fattoriale" e si scrive come
Anche per abbastanza piccoli, otteniamo numeri molto grandi!
(2.2.1)
Maple ci aiuta
Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutte le permutazioni dei 3 fili. Usiamo il pacchetto
combinat e la funzione permute dandole come argomenti R, B e V. numbperm conta il numero di
permutazioni che richiediamo (stessi argomenti di permute), oppure possiamo dare un nome alla
lista delle permutazioni e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops
(2.3.1)
(2.3.2)
ORA PROVA TU ...
Altro esempio ...
Anche qui, come per i fili del cavo telefonico, non possiamo usare due volte la stessa carta per
"creare" con esse un numero di quattro cifre.
Dunque non avremo disposizioni con ripetizioni, ma semplici permutazioni delle quattro carte,
che identificheremo con la cifra scritta su ognuna di esse:
(2.4.1)
(2.4.2)
Questo risultato si ottiene anche usando la formula che serve a trovare tutte le permutazioni
semplici in un insieme di 4 oggetti distitnti
24
(2.4.3)
Enigmistica
A) Quanti sono gli anagrammi (inclusi quelli senza senso!!!!) della parola
LIMONE?
B) Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
Pensi che la formula da usare sia la stessa nei due casi?
Risposta per il caso A
Dobbiamo contare le permutazioni di 6 oggetti, quindi il numero di anagrammi in totale è
720
Provate con i comandi Maple a farvi scrivere TUTTI gli anagrammi!
(2.5.1.1)
Risposta per il caso B
La parola MATEMATICA, lunga 10 lettere, contiene le seguenti ripetizioni:
- la lettera M si ripete 2 volte
- la lettera A si ripete 3 volte
- la lettera T si ripete 2 volte
La forrula che ci permette di trovare quanti saranno è
151200
(2.5.2.1)
L'ordine conta.... ma a volte no!
Problema 1:
5 persone partecipano a una corsa dove vengono assegnate le medaglie d'oro,
argento e bronzo. In quanti modi diversi pu# essere il podio finale?
Problema 2:
5 persone partecipano a un colloquio di lavoro dove verranno assunte 3
persone. Quante sono le possibili terne di persone assunte?
I due problemi sono simili ma nel primo conta l'ordine nel secondo no!
Problema 1
Soluzione
In questo problema l'ordine conta! Ma non è uguale al caso delle permutazioni: prima avevo n
oggetti e altrettante posizioni in cui collocarli, qui ho più oggetti che posizioni!
Per la medaglia d'oro ci sono 5 possibili concorrenti
Per la medaglia d'argento ci sono 4 possibili concorrenti (possiamo pensare che il primo sia già
arrivato!)
Per la medaglia di bronzo restano 3 possibili concorrenti
Totale:
60
(3.1.1.1)
Che cosa abbiamo imparato?
Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema del podio
della corsa?
stiamo contando delle presentazioni ordinate, perchè il podio Alberto, Bruno, Carlo è
diverso da Bruno, Alberto, Carlo
alcuni "oggetti" compaiono, ma non compaiono tutti: se il podio è Alberto, Bruno, Carlo, ci
sono altri 2 concorrenti che non "contribuiscono" al podio
non sono ammesse le ripetizioni, per esempio Alberto, Bruno, Bruno non è un podio
ammissibile
Il problema del podio è un problema di disposizioni semplici.
Una disposizione semplice di lunghezza k di elementi di un insieme S di
ordinata di k elementi di S nella
quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto.
Per avere il numero di queste disposizioni si considera che il primo
componente di una tale sequenza pu# essere scelto in n modi diversi, il
secondo in (n-1) e cos$ via, sino al k-esimo che pu# essere scelto in (nk+1) modi diversi. Il numero di disposizioni semplici di k oggetti estratti
da un insieme di n oggetti è dato da:
Maple ci aiuta
Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutti podi possibili. Usiamo il pacchetto combinat e
la funzione permute dandole come argomenti A, B, C, D, E e 3. numbperm conta il numero di
permutazioni che richiediamo (stessi argomenti di permute), oppure possiamo dare un nome
alla lista delle disposizioni calcolate e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops
(3.1.3.1)
(3.1.3.2)
Tutto il campionato
Nel campionato di calcio di serie A ci sono 20 squadre. Durante il
campionato ogni squadra incontra tutte le altre in un girone di andata e
ritorno (equivalente a dire che si deve giocare sia Inter-Milan che MilanInter ). Quante partite si giocano in tutto nel campionato?
Risultato
Dobbiamo contare tutti i modi di disporre 20 oggetti (le squadre) a 2 a 2, e notiamo che due
Allora il numero totale di partite del campionato è
380
(3.1.4.1.1)
Se volete, potete farvi scrivere tutte le partite del campionato con i comandi Maple (ma
dovete scrivere il nome di tutte le 20 squadre!)
Problema 2
Soluzione
Qui l'ordine non conta! Dobbiamo contare il numero di diversi sottoinsiemi di 3 persone che
possiamo estrarre dalle 5 persone che fanno il colloquio.
Posso fare lo stesso conteggio di cui sopra, quindi ottenere che se c'è una "classifica" tra gli
assunti, abbiamo 60 "terne con classifica" possibili. Poi per# ci dobbiamo ricordare che la
terna di assunti
"Alberto, Bernardo, Carlo" è da contare uguale a "Bernardo, Carlo, Alberto" e cos$ via......
Devo "togliere" le possibili permutazioni di una stessa terna di assunti!
Allora faccio
10
(3.2.1.1)
Che cosa abbiamo imparato?
Quali sono le principali caratteristiche di ci# che dobbiamo contare nel problema del
colloquio?
stiamo contando delle presentazioni non ordinate, perchè la terna di assunti Alberto, Bruno,
Carlo è equivalente a Bruno, Alberto, Carlo
alcuni "oggetti" compaiono, ma non compaiono tutti: se vengono assunti Alberto, Bruno,
Carlo, ci sono altri 2 partecipanti al colloquio che non "contribuiscono" alla terna che
consideriamo
non sono ammesse le ripetizioni, per esempio Alberto, Bruno, Bruno non è una terna di
assunti ammissibile
Il problema del podio è un problema di combinazioni.
Una combinazione è una presentazione di elementi di un insieme nella
quale non ha importanza l'ordine dei componenti e non si pu# ripetere lo
stesso elemento più volte.
La collezione delle combinazioni di k elementi estratti da un insieme S di
n oggetti distinti si pu# considerare ottenuta dalla collezione delle
disposizioni semplici di lunghezza k degli elementi di S e poi
identificando (quindi contando come un solo elemento) le sequenze che
presentano lo stesso sottoinsieme di S. Identifichiamo quindi in un
elemento k! sequenze. Quindi il numero delle combinazioni semplici di n
elementi di lunghezza k si ottiene dividendo per k! il numero delle
disposizioni semplici di n elementi di lunghezza k:
Maple ci aiuta
Ecco il codice per farci scrivere da Maple tutte le terne di assunti. Usiamo il pacchetto
combinat e la funzione choose dandole come argomenti A, B, C, D, E e 3. numbcomb conta il
numero di sottoinsiemi di k (=3) oggetti estratti da un insieme di n(=5), oppure possiamo dare
un nome alla lista delle combinazioni e farci dire da Maple la lunghezza di tale lista con nops
(3.2.3.1)
(3.2.3.2)
Una partita a poker
A ogni giocatore di una partita di poker vengono date 5 carte prese da un
mazzo di 32. In quanti modi diversi si possono ricevere le carte?
Risultato
Dobbiamo contare tutti i sottoinsiemi di 5 oggetti estratti da un insieme di 32, non ci
interessa l'ordine dei 5 oggetti. Allora i modi di ricevere le carte sono
(3.2.4.1.1)
201376
Volendo, potete farvi scrivere da Maple tutti i modi, ma verrà una lista un po' lunga.....
Calcolo combinatorio nell'algebra: le potenze del binomio
Sappiamo che
per ogni
qualsiasi siano i numeri reali
,
.
Anche se di solito ci ricordiamo la formula per
, è facile avere dei dubbi per quella di
.... di solito quella di
nemmeno proviamo a impararla!
Proviamo a scoprire qual è la formula, senza sviluppare esplicitamente il prodotto
Quando espandiamo il calcolo della moltiplicazione, da ognuno dei 4 binomi prendiamo un fattore
oppure un fattore .
Chiaramente, se da un binomio scelgo , allora non prendo , e viceversa.
Allora rappresento un monomio in questo modo: se estraggo dal binomio, scrivo il "numero" del
binomio da cui l'ho estratto; se estraggo non scrivo il numero del binomio.
scrivendo
Per esempio, rappresento il monomio
ottengo lo stesso monomio come
. E cos$ via.
si ottiene scegliendo 2 elementi tra
Allora il monomio
ottenerlo?
. Ma visto che
. Quanti sono quindi i modi di
!!!!!!!
Ma allora posso ricavarmi i coefficienti dell'espansione di
Il monomio
Il monomio
Il monomio
Il monomio
Il monomio
,
si ottiene scegliendo 4 elementi tra
si ottiene scegliendo 3 elementi tra
si ottiene scegliendo 2 elementi tra
si ottiene scegliendo 1 elementi tra
:
, quindi
, quindi
, quindi
, quindi
si ottiene se non scegliamo mai il fattore , quindi
.
Si ha perci# l'espansione
(4.1)
E vale in generale che l'espansione di
è
Vediamo se il trucco ! chiaro
Aiutandovi con il calcolo combinatorio e con Maple, scrivete lo sviluppo di