Approfondimenti
Spazi normati
(1.1) Definizione
Sia V uno spazio vettoriale su R. Una norma su V è una
funzione k · k : V → R che soddisfa le seguenti proprietà:
a) kvk ≥ 0 per ogni v ∈ V ;
b) kvk = 0 se e solo se v = 0;
c) kλvk = |λ|kvk per ogni λ ∈ R e v ∈ V ;
d) kv + wk ≤ kvk + kwk per ogni v, w ∈ V . (Disuguaglianza triangolare)
Per ogni v ∈ V il numero reale kvk è detto norma di v. Lo spazio vettoriale V
munito della norma k · k è detto spazio normato.
(1.2) Esempio La funzione modulo di Rn definita da
∀x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn :
|x| =
q
x21 + · · · + x2n
è una norma su Rn .
(1.3) Esempio Sia Ω ⊆ Rm non vuoto. Denotiamo con B(Ω) l’insieme delle funzioni
f : Ω → R limitate. Osserviamo che B(Ω) è uno spazio vettoriale su R.
La funzione k · k∞ : B(Ω) → R definita da
∀f ∈ B(Ω) :
kf k∞ = sup |f (x)|
x∈Ω
è una norma in B(Ω). È detta norma infinito (o norma del sup) di f .
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S. Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica II
(1.4) Definizione
Siano V uno spazio normato munito della norma k · k e (vn )
una successione in V .
Diciamo che (vn ) è di Cauchy in V se per ogni ε > 0 esiste n0 ∈ N tale che per
ogni n, m ≥ n0 si ha kvn − vm k < ε.
(1.5) Definizione
Siano V uno spazio normato munito della norma k · k, (vn )
una successione in V e v ∈ V .
Diciamo che (vn ) converge a v in V (o che (vn ) è convergente a v in V ) se
lim kvn − vk = 0.
n
In tal caso diciamo che v è il limite di (vn ) e scriviamo lim vn = v.
n
(1.6) Proposizione
Siano V uno spazio normato munito della norma k · k e
(vn ) una successione in V convergente a v ∈ V .
Allora (vn ) è di Cauchy in V .
Dimostrazione. Sia ε > 0. Poiché lim kvn − vk = 0, allora esiste n0 ∈ N tale che per
n
ogni n ≥ n0 si ha kvn − vk < 2ε . Quindi per ogni n, m ≥ n0 si ha
kvn − vm k ≤ kvn − vk + kv − vm k <
(1.7) Definizione
ε ε
+ = ε.
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Sia V uno spazio normato.
Diciamo che V è completo (o di Banach) se ogni successione di Cauchy in V è
convergente in V .
(1.8) Esempio Ogni spazio normato di dimensione finita è completo. In particolare
per ogni n ∈ N, n ≥ 1, lo spazio Rn è completo.
Lo spazio normato B(Ω) dell’Esempio (1.3), che è di dimensione infinita, munito
della norma k · k∞ è completo.
