La matematica dell’evoluzione naturale
(Proposta di considerare la sezione aurea nella
simulazione informatica del DNA
e nella futura dimostrazione matematica
della teoria evoluzionistica)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show some connections between aura section ,
DNA and theory of natural evolution (Darwin)
Riassunto
In questo lavoro approfondiremo l’ancora non ben definita
matematica dell’evoluzione (teoria di Darwin) non tanto in
base ad un software artificiale come pensa Chaitin (articolo di
Le SCIENZE febbraio 2013 “”Matematica
dell’evoluzione”vedi Nota 1), ma con il software naturale , il
DNA, connesso con la serie di Fibonacci e il numero aureo
1,618… coinvolto, insieme al numero e = 2,718… anch’esso in
tutti i fenomeni di crescita e decrescita ( la vita è un fenomeno
di crescita di esseri viventi, ecc. Entrambi sono legati anche al
TNP e la crescita logaritmica dei numeri primi fino ad N).
Per cui proponiamo ai simulatori informatici della selezione
naturale, qualora non ci avessero già pensato, di fare largo uso
della sezione aurea nei loro tentativi di dimostrazioni
matematiche inerenti la teoria di Darwin.
Premessa
Dalla voce “Evoluzione” di Wikipedia, riportiamo il paragrafo
sulle prove matematiche, che ci potrebbe essere utile per
eventuali approfondimenti:
“Prove matematico/informatiche
Gli algoritmi genetici sono delle metaeuristiche per la ricerca della soluzione ottimale di un
problema basate sulla logica del modello evoluzionistico. Studiando questo metodo si è visto
come, partendo dalle ipotesi del modello evoluzionistico, si può arrivare all'evoluzione di più
specie.
Sono stati realizzati molti programmi per computer che simulano un ecosistema per diversi
scopi (divertimento, studio dei meccanismi evolutivi naturali, studio degli algoritmi genetici).
Anche questi hanno dimostrato la plausibilità del modello evoluzionistico. Inoltre, gli
algoritmi genetici sono stati applicati in campi lontani dalla biologia, come i problemi di
ottimizzazione di funzioni matematiche, in cui le soluzioni vengono fatte "competere" e
"incrociare" tra di loro con particolari metodi….”
Dalla voce “Algoritmo evolutivo” riportiamo invece la
definizione, seguita da un brano che riporta alcune formule in
cui compare il numero e =2,718… , notoriamente connesso a
processi di crescita (come nei fenomeni biologici) e decrescita,
a sua volta connesso alla sezione aurea e al numero aureo Φ
=1,617, frequentissimo in natura, dalla fisica al DNA.
Un algoritmo genetico è un algoritmo euristico ispirato al principio della selezione naturale ed
evoluzione biologica teorizzato nel 1859 da Charles Darwin. L'aggettivo "genetico" deriva dal
fatto che il modello evolutivo darwiniano trova spiegazioni nella branca della biologia detta
genetica e dal fatto che gli algoritmi genetici attuano dei meccanismi concettualmente simili a
quelli dei processi biochimici scoperti da questa scienza.
In sintesi si può dire che gli algoritmi genetici consistono in algoritmi che permettono di
valutare delle soluzioni di partenza e che ricombinandole ed introducendo elementi di
disordine sono in grado di crearne di nuove nel tentativo di convergere a soluzioni ottime.
Queste tecniche vengono di norma utilizzate per tentare di risolvere problemi di
ottimizzazione per i quali non si conoscono altri algoritmi efficienti di complessità lineare o
polinomiale. Nonostante questo utilizzo, data la natura intrinseca di un algoritmo genetico,
non vi è modo di sapere a priori se sarà effettivamente in grado di trovare una soluzione
accettabile al problema considerato.
Gli algoritmi genetici fanno parte dell'evolutionary computing, vengono studiati e sviluppati
all'interno del campo dell'intelligenza artificiale e delle tecniche di soft computing ma trovano
applicazione in un'ampia varietà di problemi afferenti a diversi contesti quali l'elettronica[1],
la biologia[2] e l'economia[3].
…
La logica di selezione
A causa di complessi fenomeni di interazione non lineare (epistaticità), non è dato per
scontato né che da due soluzioni promettenti ne nasca una terza più promettente né che da
due soluzioni con valori di fitness basso ne venga generata una terza con valore di fitness più
basso. Per ovviare a questi problemi, durante la scelta delle soluzioni candidate all'evoluzione,
oltre che sul parametro ottenuto dalla funzione di fitness ci si basa anche su particolari
tecniche di "selezione". Le più comuni sono:
•
•
•
Selezione a roulette: la probabilità che una soluzione venga scelta per farla evolvere è
direttamente proporzionale al valore restituito dalla funzione di fitness. Questa tecnica
presenta dei problemi nel caso in cui ci siano delle grosse differenze di valori perché le
soluzioni peggiori verrebbero selezionate troppo raramente.
Selezione per categoria: simile alla selezione per roulette ma la valutazione è effettuata
in maniera proporzionale alla somma del valore della funzione di fitness per ogni
coppia possibile di soluzioni. Il problema presentato da questa tecnica di scelta è
rappresentato dalla lentezza di convergenza nel caso in cui ci siano delle differenze
troppo piccole tra coppie di soluzioni candidate.
Selezione a torneo: le soluzioni vengono raggruppate e si procede a valutarle con un
algoritmo come quello presentato nelle righe successive.
o A.Scegliere in maniera casuale I individui appartenenti alla popolazione.
o B.Scegliere l'individuo migliore e impostare la sua probabilità di scelta a .
o C.Scegliere il secondo individuo migliore e impostare la probabilità di scelta a
o
•
.
D.Scegliere il terzo individuo migliore e impostare la sua probabilità di scelta a
.
o ...proseguire fino ad esaurire le soluzioni scelte.
Selezione di Boltzmann: le soluzioni vengono scelte con un grado di probabilità che, agli
inizi dell'algoritmo, favorisce l'esplorazione e che poi tende a stabilizzarsi. I parametri
utilizzati dalla selezione di Boltzmann sono:
o
o
con
e
o
…
Infatti, per fare un esempio prettamente matematico, ma
riguardante un fenomeno di crescita (del numero di numeri
primi fino a 10^n, e cioè π(10^n), e e numeri di Fibonacci,
connessi al numero aureo Φ =1,618… , sono strettamente
collegati, con la formula e ^N ≈ F(n)
TABELLA 1 ( e^N , ^N*Ф )
N
N
e
≈
Fi
1
2,718
3
2
7,389
8
3
20,085
21
4
54,598
55
5
148,336
144
6
403,177
377
7
1095,837 987
8
2978,486 2584
…
…
…
13
441817 514229
…
…
…
N
e · Ф
≈ Fi + 1
2,718 · 1,618 = 4,39
5
… …
11,95
13
… …
32,49
34
… …
88,33
89
… … 240,00
233
… … 652,34
610
… … 1773,06 1597
… … 4819,19
4181
…
…
…
…
… … 714860,66 832040
…
…
Per esempio, per 10^3, con logaritmo 6,90 prossimo a 7,389 a
sua volta prossimo a 8 numero di Fibonacci, dividendo 1000/8
= 125 numeri primi fino a 1000, mentre il valore reale è 168;
ma un valore migliore si ottiene con 1000/6,90 =144, e ancora
meglio con 1000/6 = 166.6 ≈ 168 , con 6 = log (1000) frequenza
media dei numeri primi fino a 1000. Ma qui ci interessa la
vicinanza tra ln (10^3) = 6,90, e^2 = 7,389 e il numero di
Fibonacci 8 per collegare la distribuzione dei numeri primi,
con la loro crescita logaritmica, alle potenze N di e ed i numeri
di Fibonacci. Qualcosa di simile accadrebbe in tutti i
fenomeni di crescita (specie se logaritmica), compresi gli esseri
viventi e quindi connessi con l’evoluzione e la selezione
naturale.
La selezione di Boltzmann, in cui figura e, connesso con Φ,
potrebbe esserci quindi utile al nostro scopo di suggerire
l’introduzione della sezione aurea nella eventuale futura
dimostrazione matematica della teoria evolutiva di Darwin,
tramite simulazioni matematiche dei processi evolutivi di
selezione ecc.
Introduzione
Dal suddetto articolo riportiamo il seguente brano,
interessante per la nostra proposta di prendere seriamente in
considerazione la sezione aurea e i numeri di Fibonacci nella
simulazione matematica del software per simulare l’evoluzione,
poiché la sezione aurea è presente in molti fenomeni fisici (per
esempio nelle orbite dei pianeti), chimici (per esempio nei
numeri atomici degli elementi chimici più stabili), da qui passa
anche ai fenomeni biochimici e quindi al DNA naturale
“…Certo, la matematica è ampiamente usata nei vari studi che partendo
da misurazioni e osservazioni sia in natura sia in laboratorio verificano
puntualmente le idee del naturalista inglese Ma ancora oggi non è stata
sviluppata una teoria matematica generale e astratta dell’evoluzione che
catturi l’essenza della teoria di Darwin e la sviluppi matematicamente,
come spiega Gregory Chaitin con il suo nuovo libro Dimostrare
Darwin…
L’approccio al problema della matematica dell’evoluzione sviluppato da
Chaitin parte dalla trasmissione dell’informazione. Nel campo della
biologia questo sostanzialmente equivale a mettere al centro
dell’attenzione il DNA, in cui sono codificate tutte le informazioni che
possono decretare vita, morte e capacità riproduttive di un determinato
organismo. Ma l’ambito puramente biologico risulterebbe complicato,
forse troppo, per i primi
passi di una sfida come quella affrontata da Chaitin, che dunque ha
inaugurato un apposito ambito di ricerca: la metabiologia, definita << un
campo parallelo alla biologia che si occupa dell’evoluzione causale del
software artificiale (i programmi per computer) invece del software
naturale il DNA) >>”
In questo lavoro riporteremo solo alcuni nostri e altrui link
sulla frequente presenza nella sezione aurea in fisica, chmica,
DNA ecc, e i commenti del caso, secondo il seguente schema
generale , con particolare attenzione al percorso segnato in
blu:
Sezione aurea
↓
fenomeni fisici
fenomeni chimici
→
fenomeni biologici
fenomeni biochimici
(orbite dei pianeti, ,ecc.
↓
(Tavola periodica,
elementi più stabili, ecc. )
(Fiori di margherita, ecc.)
DNA
Cristallografia)
Visto anche l’approccio informatico di Chaitin (software
artificiali per simulare l’evoluzione naturale)), ricordiamo che
la sezione aurea emerge anche nell’informatica artificiale :
sul sito
www.atuttoportale.it/didattica/botanica/OltreBotanica/OltreB
otanica-06-Informatica.pdf
“ Numero 6
La sezione aurea in informatica
Dal quale riportiamo un solo brano:
“L’informatica è lo studio dei fondamenti teorici dell’informazione e della
logica computazionale applicati a sistemi elettronci automatizzati. Come
abbiamo visto nei numeri precedenti, molte espressioni naturali sono
riconducibili alla sezione aurea, ma come vedremo in questo numero la
sezione aurea si presenta anche in ambito informatico. In particolare ci
occuperemo di:
1. Fibonacci Heap
2. Web design
Fibonacci Heap
Come sappiamo, la successione di Fibonacci è una delle rappresentazioni
della Sezione Aurea. Su Wikipedia, alla voce “Successione di Fibonacci”
troviamo un paragrafo relativo all’ informatica:
I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di
molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su
tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore
Pentium della Intel per la risoluzione di particolari algoritmi.
In informatica, le strutture dati sono entità utilizzate dai microprocessori
per organizzare un insieme di dati all'interno della memoria del computer.
Tra le strutture dati utilizzate dal processore Pentium della Intel troviamo
un tipo denominato “Fibonacci Heap”….
Cominciamo dai fenomeni fisici, specie se quantistici
“La serie di Fibonacci nel microcosmo(effetto Hall
quantistico, cariche frazionarie ,
masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare)”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
dal quale riportiamo qualche tabella.
a) Sulle masse dei quark
Nome
Carica Massa stimata (MeV/c2)
Up (u)
+2/3
da 1,5 a 3,3 1[13]
Down (d)
−1/3
da 3,5 a 6 1[13]
Strange / Sideways (s)
−1/3
da 80 a 130
Charm / Centre (c)
+2/3
da 1 150 a 1 350
Bottom / Beauty (b)
−1/3
da 4 100 a 4 400
Top / Truth (t)
+2/3
173 100 ± 1 300
E a proposito delle masse delle particelle, notiamo che i loro
rapporti tra un valore e il precedente “costeggiano”da vicino
la serie di Fibonacci, a ulteriore riprova che i numeri (in
questo caso quelli di Fibonacci, vedi Rif. 2 e 4) sono molto
importanti in fisica, in questo caso sub-atomica:
TABELLA 2
Valori
minim
i
massa
stimat
a dei
quark
1,5
3,5/1,5
= 2,33
3,5
22,85
80
14,37
≈
numeri
di
Fibonac
ci o loro
medie
Valori
massimi
massa
stimata
dei
quark
Rapporti
successivi
≈
numeri
di
Fibonac
ci o loro
medie
3
3,3
6/3,3=1,81
2
21
13
6
130
130/6 =21,6
10,38
4 400/1 350
=3,25
21
10,5
media
tra 8 e
13
3
1 150
3,56
3
1 350
4 100
42,21
44,5
media
tra 34 e
55
4 400
173 100
-1 300=
171 700
173100+13 172600/4400=39,
00 =172600 22
34
La corrispondenza approssimativa è molto evidente.E cosi
pure per i rapporti orizzontali tra la stima massima e quella
minima, molto vicini o connessi al numero 1,618 = numero
aureo.
TABELLA 3
Stima massima M
Stima minima m
Rapporto M/m
≈ 1,618
3,3
6
130
1 350
1,5
3,5
80
1 150
2,2
1,71
1,625
1,17
2,6 = 1,618^2
≈ 1,618
≈ 1,618
≈1,22
media tra 1,27=
√1,618 e
1,12 =√1,27=
4
√1,618
4400
4100
1,073
173 100+1 300
=174 400
173100 - 1300 =
171 800
1,01513
8
≈1,061=√1,618
≈ 1,01515=
32
√1.618
Anche qui, l’evidenza della connessione dei rapporti
orizzontali tra stime massime e stime minime con il numero
aureo 1,618, il suo quadrato e le sue radici quadrate è
fortissima, assolutamente non imputabile al caso.
E quindi a sostegno della presenza del numero aureo nei
numeri espressione delle probabili masse dei quark,
considerando le stime massime e quelle minime delle masse
dei quark.
b) Sui numeri quantici
Vediamo ora analoga connessione con i numeri quantici negli
atomi connessa ai loro livelli energetici
Dalla voce “Configurazione elettronica”paragrafo “numero
quantico principale (n)” :
“…Numero quantico principale (n)
Il primo numero quantico n, detto numero quantico principale, determina la distanza media
dal nucleo (dimensione dell'orbitale), che aumenta al crescere di n, e la maggior parte
dell'energia dell'elettrone (livello energetico=periodo). Elettroni (e orbitali) che condividono n
appartengono dunque allo stesso livello di energia.
Il numero quantico principale assume tutti i valori interi positivi in ordine crescente anche se
le orbite stazionarie definite della condizione quantistica m*v*r=n*h/(2π) (dove l'unica
variabile è n, essendo le altre costanti) sono solamente le prime sette.
I vari livelli correlati ai differenti valori di n vengono a volte detti "gusci" e (principalmente
per ragioni storiche) vengono anche indicati da lettere, come elencato di seguito:[1]
Valore di n Lettera Massimo numero di elettroni nel livello (pari a 2 x n2)
1
K
2
2
L
8
3
M
18
4
N
32
5
O
50
6
P
72
7
Q
98
…
…
…
Stati con valori di n superiori a quelli mostrati nella tabella sono perfettamente ammissibili in
teoria ma relativi ad atomi che non sono stati ancora scoperti (il valore n=8, ad esempio, si
inizierà a utilizzare con elementi aventi numero atomico superiore a 119)…. “
Come si nota facilmente, i numeri della terza colonna
(massimo numero di elettroni…) costeggiano da vicino i
numeri di Fibonacci o loro medie aritmetiche:
TABELLA 4
Massimo numero di
elettroni (e)
Numeri di Fibonacci
(f)
2
8
2
8
Differenza f – e
Anche queste numeri
di Fibonacci
0
0
18
32
50
72
98
17 media tra 13 e 21
34
55
72 media tra 55 e 89
99,5
1
2
5
0
1,5 media tra 1 e 2
Media tra 55 e 144
sebbene non consecutivi
(119)
116,5 (media tra 89 e
144)
-2,5 media tra 2 e 3
…
…
…
Anche qui, anche per il numero 119 non riportato in tabella da
Wikipedia, ma solo accennato poiché si riferisce ad atomi non
ancora scoperti o non esistenti in natura, l’evidenza della
connessione tra i due tipi di numeri è forte, e cioè difficilmente
frutto del caso.
c) Sui numeri “magici” e gli atomi più stabili:
Veniamo ora alla maggiore stabilità nucleare di alcuni
elementi, tramite “i numeri magici” dei loro pesi atomici.
Dal nostro lavoro “La sezione aurea in chimica” sul sito
www.atuttoportale.it/didattica/botanica/OltreBotanica/OltreBotanica-05Chimica.pdf,
riportiamo:
“ Stabilità nucleare
Alcuni elementi chimici sono più stabili di altri, e tale maggiore stabilità chimica è
connessa, tramite i numeri magici, alla serie di Fibonacci (Vedi Rif. 1 e 2). La
stabilità nucleare è stata già introdotta nel terzo numero (Fisica Aurea) di questa
rubrica in cui viene definito numero magico, il numero di nucleoni per cui all'interno
del nucleo atomico si formano livelli energetici completi. Tali numeri sono: 2, 8, 20,
28, 50, 82, 126. I nuclei formati da un numero di nucleoni pari ad uno dei numeri
magici detti nuclei magici. Gli atomi aventi nuclei magici risultano particolarmente
stabili e ancora più stabili sono gli atomi aventi nuclei doppiamente magici nei quali
sia il numero di protoni che di neutroni corrispondono ad uno dei numeri magici.
Come si può notare questi numeri sono vicini ai Numeri di Fibonacci, in merito alle
loro differenze e somme consecutive. Infatti, tali numeri magici sono prossimi ai
numeri primi 2, 7, 19, 29, 47, 79, che sono numeri primi naturali, cioè di forma 6f + 1:
2=
6×0+2
7=
6×1+1
19 = 6 × 3 + 1
29 = 6 × 5 – 1
47 = 6 × 8 – 1
79 = 6 × 13 + 1
127 = 6 × 21 + 1
…
Z = 2 → Elio
Z = 8 → Ossigeno
Z = 20 → Calcio
Z = 28 → Nichel
Z = 50 → Stagno
Z = 82 → Piombo
Z = 126 → Inesistente “
d)Tavola periodica degli elementi (stesso lavoro precedente)
“Tavola periodica degli elementi Nella tavola periodica che segue, gli elementi i cui
numeri atomici corrispondono a numeri magici sono evidenziati in rosso per
individuarli meglio.
Si rimanda all’articolo per l’immagine della Tavola
Di seguito un brano dell’articolo
“Ma la connessione di tutti questi numeri compresi nella Tavola periodica
e la serie di Fibonacci non finisce qui, infatti, nella Tavola, abbiamo: a) 2
elementi nella prima riga (Idrogeno ed Elio); b) 8 elementi nella seconda
nella terza riga; c) 18 =17 + 1 elementi nelle successive quattro righe; d)
14 = 13 +1 nelle ultime due righe relative ai Lantanoidi e agli Attinoidi.
Notiamo facilmente che 2, 8 e 13 sono numeri di Fibonacci, mentre 17 è la
media aritmetica tra 13 e 21, poiché (13 + 21)/2 =34 / 2 = 17 dove anche il
34 è un numero di Fibonacci.
La tavola periodica sembra quindi regolata, nel suo complesso (numeri di
elementi nelle righe successive), dalla serie di Fibonacci, limitatamente e
direttamente ai numeri 1, 2, 8, 13, (mancano il 3 e il 5) e indirettamente
anche dai numeri 21 e 34.
Questa possibile connessione potrebbe essere interessante per ulteriori
studi in questa nuova direzione Fibonacci/Chimica.”
e) Orbite dei pianeti
E, a proposito di orbite, oltre a quelle degli elettroni negli
atomi viste in questo lavoro, anche le orbite dei pianeti del
nostro sistema solare sono connesse alla sezione aurea, tramite
le distanze dei pianeti dal sole espresse sia in Unità
astronomiche sia in milioni di chilometri (Rif. 1) dal quale
riportiamo: (la legge astronomica di Blode esprime le distanze
dei pianeti dal Sole in Unità astronomiche. Nd.A.A.)
“ Nostre osservazioni e tabelle
“La serie numerica empirica 0 3 6 12 24 si potrebbe
benissimo completare con 1,5 compreso tra 0 e 3 e 48, 92 e
188 dopo 24, in modo da avere una serie (che poi è una
progressione geometrica con numero fisso 2)
0 1,5 3 6 12
24 48
92 184
Notiamo anzitutto che essa rispecchia grosso modo la
successione di Fibonacci:
TABELLA 1
Serie di Bode più
completa
Serie di Fibonacci
Differenza
Bode – Fibonacci
Prossima a numeri di
Fibonacci
0
1,5
3
6
12
24
48
0
1
3
5
13
21
34
92
184
≈ 44, 5 media tra
34 e 55
89
≈ 188,5 media tra
144 e 2332
…
…
2
0
0,5 ≈ 0
0
1
-1
3
14 ≈ 13
3,5 ≈ 3
3
-4,5 ≈ 5
…
Una leggera connessione quindi c’è, tra le due serie numeriche:
la prima progressione geometrica con numero fisso 2, la
seconda progressione geometrica con numero fisso 1,618…non
molto lontano da 2.
La correzione apportata da Bode ( aggiungendo 4 alla
progressione iniziale e dividendo per 10), avvicina ancora di
più le due progressioni:
TABELLA 2
Bode
≈ Fibonacci
0
0,55
0,7
0
1
1
1,0
1,6
2,8
5,2
10,0
19,6
38,8
77,2
1
2
3
5
8
21
34
≈ 72 media tra 55 e
89
Rapporti successivi
nella serie di Bode
(nella serie di
Fibonacci è ≈ 1,618
0,7/0,55 = 1,2727
≈ √1,618 = 1,2720
1/0,7 = 1,4285…
1,6/1 =1,6 ≈ 1,618
2,8/ 1,6 =1,75≈ 1,618
5,2/2,8 = 1,857
10,0/5,2= 1,9230
19,6/10=1,96
38,8/19,6=1,97
77,2/19,6=1,98
Come si nota, la vicinanza con i numeri di Fibonacci è più
marcata, ma ora manca il 13 e il 55.
Con i rapporti successivi, essi sono minori di 2, quindi
mediamente più vicini a 1,618 = rapporto aureo, e questo
spiega la maggiore vicinanza della seconda serie con i numeri
di Fibonacci.
Infine ricordiamo che, a livello microcosmico, per esempio
nelle cariche frazionarie, nei numeri quantici, nei pesi atomici
degli elementi più stabili, è fortemente presente la sezione
aurea; e sia a livello microcosmico che a livello macrocosmico,
i numeri di Fibonacci (e i loro cugini numeri di Lie e partizioni
di numeri) sono, secondo noi, lo strumento numerico della
Natura per regolare e stabilizzare i suoi fenomeni, che tramite
esso possono crescere sempre uguali a se stessi a scale
superiori, tramite i frattali, ma solo entro certi limiti; abbiamo
infatti notato che i numeri di Fibonacci, ma anche i loro cugini,
pur essendo infiniti, non superano mai le 300 unità nei vari
fenomeni in cui sono coinvolti. Per questo non troviamo mai
fiori connessi al numero 277, ma al massimo 144 (nei girasoli)
e così via: la natura sembra accontentarsi di questi numeri
fino a circa 300, e se la cava benissimo lo stesso.
Probabilmente, dopo tale limite, i fenomeni coinvolti con tali
numeri diventano caotici, instabili e/o non più gestibili, e la
natura non insiste oltre. Per questo pensiamo che la fisica è un
sottoinsieme della matematica per quanto riguarda la
componente numerica. La matematica mette a disposizione
numeri enormi, ma la natura usa i più piccoli (fino a 300 o giù
di lì), come in questo caso di Fibonacci ecc., e anche loro medie
aritmetiche (riscontrate in parecchi fenomeni da noi studiati
sotto questo aspetto). I numeri più grandi usati per motivi
pratici dai matematici sono i numeri RSA, prodotti di due
numeri primi di centinaia di cifre nella crittografia RSA, ma
questa non è fisica, è solo matematica applicata. La fisica e la
natura in genere si accontentano di molto meno, forse per i
motivi sopra accennati (è una nostra supposizione,
probabilmente e fondamentalmente corretta). La sezione
aurea è quindi presente, oltre che nel macrocosmo (fiori,
conigli, conchiglie ecc.) anche nel microcosmo quantistico e
chimico, come sopra mostrato. E, a proposito di orbite, oltre a
quelle degli elettroni negli atomi viste in questo lavoro, anche
le orbite dei pianeti del nostro sistema solare sono connesse
alla sezione aurea, tramite le distanze dei pianeti dal Sole
espresse sia in Unità astronomiche sia in milioni di chilometri
(Rif. 1) dal quale riportiamo:
(la legge astronomica di Blode esprime le distanze dei pianeti
dal Sole in Unità astronomiche. Nd.A.A.)
Da “La sezione aurea in astronomia” sul sito
www.attuttoportale.it sezione OLTRE LA BOTANICA LA SEZIONE
AUREA -DAGLI ATOMI
ALLE STELLE, Rubrica curata da Francesco Di Noto e Eugenio
Amitrano
http://www.atuttoportale.it/ riportiamo la parte iniziale, con le
distanze in milioni di km anziché in U.A., e rispunta anche qui
la serie di Fibonacci :
“ Di seguito sono riportate le distanze medie dal Sole in milioni di km:
Pianeti interni (pianeti terrestri)
Mercurio 58
Venere 108
Terra 150
Marte 228
Fascia degli asteroidi 420
Pianeti esterni (pianeti gioviani, giganti gassosi)
Giove 778
Saturno 1426
Urano 2870
Nettuno 4497
Se dividiamo tutti i numeri per 50 otteniamo la seguente sequenza che risulta essere
molto vicina alla Successione di Fibonacci:
Mercurio: 1,16 ≈ 1;
Venere: 2,16 ≈ 2;
Terra: 3,00 = 3;
Marte: 4,56 ≈ 5;
Asteroidi: 8,40 ≈ 8;
Giove: 15,56 ≈ 13;
Saturno: 28,52 ≈ 27,5 = (21 + 34) / 2;
Urano: 57,40 ≈ 55;
Nettuno: 89,94 = 89 “
Qui però mancano il 21 e il 34, ma sono indirettamente
coinvolti nel numero 28,52 molto vicino alla media 27,5 =
(21+34)/2.
Come diceva l’antico filosofo Ermete Trimegisto, “come in
alto, così in basso”, e aveva ragione, almeno in questo caso
(orbite degli elettroni come le orbite dei pianeti , entrambe
connesse alla sezione aurea e quindi alla serie di Fibonacci).
Possiamo vedere che la sezione aurea è presente, oltre che nel
macrocosmo (fiori, conigli – in questo caso si tratta di crescita
di popolazione invece di individui singoli - conchiglie ecc.)
anche nel microcosmo quantistico e chimico, come sopra
mostrato.
Da quanto sopra, si vede benissimo la presenza della sezione
aurea e dei numeri di Fibonacci in tutti i fenomeni considerati.
f) Cristallografia
Dal lavoro “Fibonacci e la botanica” sul sito
www.mat.uniroma1.it/didattica/ssis/laboratorio-di
informatica/0809/BrunoBrunottiCrocenziLama/file_html/scienze_naturali.
html - 24k
riportiamo il paragrafo dedicato ai quasi cristalli:
Autori:
Laboratorio di Informatica - SSIS IX Ciclo - LAZIO.
Sito realizzato dagli specializzandi:
Bruno Tiziana, Brunotti Gino, Crocenzi Antonio, Lama Federico.
“Scienze Naturali
La ricorrenza dei numeri di Fibonacci in natura era già nota nell’antichità e ad
esse si fa spesso riferimento come “rapporto aureo” o “divino”, a significare
che durante i millenni si radicò la convinzione che tali proporzioni
esprimessero qualche regola universale o legge di natura. Gli antichi greci
erano profondamente convinti dell’armonia geometrica dell’universo.
…
FIBONACCI E LA CHIMICA
La successione di Fibonacci è legata anche alla struttura di alcuni cristalli
particolari, detti quasi-cristalli, tali cristalli possono essere “affettati” in modo
tale che gli atomi della superficie seguono esattamente lo schema di una
tassellatura
di
Roger
Penrose.
Essa è la più semplice tassellatura aperiodica che mostri simmetria di
rotazione di quinto grado: la tassellatura non ha simmetria di traslazione,
ovvero non si ripete mai uguale a sé stessa, ma ruotandola di 1/5 di giro si
ottiene una tassellatura identica. Ma qual è la relazione tra Tassellatura di
Penrose e φ ?
E’ presto detto: i “tasselli” di Penrose altro non sono che “pezzi” presi da un
pentagono con inscritto un pentagramma, per cui tutte le strette correlazioni tra
queste figure e φ si riflettono sulla tassellatura di Penrose. I due tasselli
fondamentali si ottengono dai triangoli rossi e da quelli gialli. Questi poi possono
essere a loro volta combinati per formare dei rombi, oppure utilizzati direttamente
ed accostati secondo certe regole per formare la tassellatura. Oltre alle proprietà più
ovvie derivate dalla natura dei tasselli, come le numerose apparizioni del numero φ
nelle proporzioni della figura e la comparsa, nelle tassellature, di decagoni e
pentagoni formati dall’accostamento dei tasselli, ci sono altre proprietà meno ovvie.
Sembra, ad esempio, che il rapporto tra il numero di tasselli di un tipo e il numero di
tasselli dell’altro tenda a φ. Sembra inoltre che all’interno della figura tendano a
formarsi spirali auree e altre disposizioni particolari e che la frequenza di queste
disposizioni segua la sequenza di Fibonacci. Non è però chiaro se tali proprietà
dipendano squisitamente dalla natura della tassellatura oppure dal modo specifico
che si usa per tassellare (ricordiamo infatti che la tassellatura di Penrose non è un
metodo univoco, ma esistono numerosi modi per realizzarla).
Riportiamo come esempio una tassellatura che mostra le proprietà classiche della
tassellatura di Penrose, ma ha tanti tasselli di un tipo quanti dell’altro. La figura
gode di simmetria di rotazione di 5° grado, ovvero ruotandola di 72° ritorna uguale a
sè stessa
L’articolo procede con la presenza della sezione aurea in altri
fenomeni biologici, riportiamo soltanto la margherita, con una
bella immagine. Per il resto rimandiamo al sito di cui sopra.
•
“Margherita
Esaminando la disposizione dei capolini di una margherita si osservano due
famiglie di spirali, composte la prima da curve ruotanti in senso antiorario, l’altra da
curve ruotanti in senso orario. Ebbene, in moltissimi casi i numeri di curve che
compongono le due famiglie sono due numeri di Fibonacci consecutivi! Per
esempio, in figura, si distinguono 34 spirali che ruotano in senso orario e 21 spirali
che ruotano in senso orario
Proseguiamo con i
g) Fenomeni biologici e il corpo umano
Dal nostro lavoro:
“Numero 1
La sezione aurea nel corpo umano
Rubrica curata da
Francesco Di Noto e Eugenio Amitrano
http://www.atuttoportale.it/
riportiamo
Anatomia Aurea
Nell’anatomia aurea, osserveremo le proporzioni tra le varie parti del corpo umano.
“Che proporzioni!” verrebbe istintivo ad un uomo da dire quando osserva una donna
molto attraente. Non è un caso, ma le donne più attraenti hanno un rapporto della
misura fianchi/vita prossimo al numero aureo. Molti studi hanno dimostrato che la
preferenza per le donne con tale rapporto fianchi/vita, non dipende da canoni sociali e
culturali ma bensì da fattori di tipo biologico. È l’istinto a ritenere che tale rapporto
identifichi nella donna un maggiore equilibrio ormonale e una maggiore fertilità,
quindi una maggiore capacità di procreare individui sani e forti. Questo rapporto è
stato riscontrato nelle miss elette nei principali concorsi di bellezza, tipo miss
America e miss Universo, e persino nelle conigliette di Playboy. Foto di diverse
donne sono state mostrate a uomini di tribù amazzoniche, i quali sono privi di ogni
forma di condizionamento mediatico, e anche loro gradivano le donne con rapporto
fianchi/vita prossimo alla sezione aurea.
…
Quindi, il rapporto tra la misura dei fianchi e quello della vita prossimo a 1,618 è un
buon indizio di bellezza e salute, molto apprezzato dai maschi della nostra specie e lo
accenna anche Mario Livio nel suo libro “L’equazione impossibile”. Si legge a
pagina 306 di questo libro:
“...Nella scelta del partner intervengono anche fattori legati a indicatori di fertilità,
risorse, capacità e disponibilità a fornire cure parentali. Gli studi condotti dallo
psicologo Davendra Singh, ad esempio, dimostrano che quasi universalmente gli
uomini preferiscono le donne con la classica forma a << clessidra >>, caratterizzata
da un rapporto vita/fianchi di 0,67. La ragione adattativa di questa preferenza può
essere il fatto che, come si è scoperto, questo rapporto è un buon indice di fertilità.”
Le famose misure “perfette” 90–60–90 delle attrici e delle donne più belle
rispecchiano molto bene questa caratteristica, il rapporto 90/60 è uguale a 1,50 che è
una buona approssimazione di 1,618. La sezione aurea porterebbe le misure a 97–60–
97 presumibilmente ancora più belle (97≈60 ×1,618). Un “disastro” invece
apparirebbe, agli occhi dei più, il perfetto contrario 60–97–60, o anche 60–90–60 “.
…
Fisiologia Aurea
“Davvero la cosiddetta SEZIONE AUREA non finisce mai di stupire.”, con questa
frase viene introdotto un interessantissimo articolo dal titolo “Anche la pressione
sanguigna ideale, che assicura longevità, corrisponde al rapporto della sezione aurea.”.
Link:
http://mysterium.blogosfere.it/2009/12/anche-la-pressione-sanguigna-ideale-cheassicura-longevita-corrisponde-al-rapporto-della-sezione-aur.html
... È di questi giorni la notizia che una serissima università austriaca ha compiuto uno
studio che dimostrerebbe che vive molto più a lungo chi, nella misura della pressione
arteriosa sistemica, ha un rapporto tra pressione sistolica (massima) e pressione
diastolica (minima) pari a 1,618.
Insomma, per intenderci, sta un gran bene chi fa 74 di minima e 120 di massima
oppure chi fa 77 di minima e 125 di massima. Guarda caso il loro rapporto è proprio
quel numerino che corrisponde alle proporzioni dell’uomo leonardesco e alle ricerche
che, dai pitagorici in poi, hanno portato sino alla dottrina degli gnostici del
rinascimento.
Non solo, come è stato già accennato nell’articolo, “il magico 1,618 compare nei
rapporti che determinano la struttura di tutti gli esseri viventi, per così dire, detta la
regola logaritmica che spiega la crescita del guscio dei molluschi o delle chiocciole o
anche il modo in cui le piante «scelgono» quanti petali avere, ecc. …”
Quindi, non solo in anatomia ma anche in fisiologia umana
emerge in modo evidente la sezione aurea, ragione di più per
prenderla in seria considerazione, come noi proponiamo, in
qualsiasi simulazione biologica di un essere vivente, allo scopo
di dimostrare matematicamente la teoria di Darwin,
l’evoluzione delle specie tramite la selezione naturale. Gli
organismi simulati al computer dovranno quindi evolversi e
selezionarsi in modo il più possibile analogo a quello naturale,
e quindi, matematicamente, il ruolo della sezione aurea (e di
conseguenza anche i numeri di Fibonacci) potrebbe avere
sicuramente un ruolo molto importante, come nella selezione
naturale studiata da Darwin. In tal modo la dimostrazione
della teoria di Darwin cercata per via matematica, sarebbe più
facile da trovare che trascurando la sezione aurea a favore di
altri eventuali algoritmi genetici o di altri principi
matematici , ecc.
Concludiamo con i nostri due lavori sul DNA, argomento
importante per la simulazione informatica dell’evoluzione per
dimostrare matematicamente la teoria di Darwin e la selezione
naturale, poiché anche nel DNA è presente la sezione aurea,
soprattutto per quanto riguarda la sua disposizione spaziale
del DNA e altro.
1) “Il triangolo aureo nel DNA e nel dodecaedro” dal quale
riportiamo solo la parte finale:
“I numeri e le parole evidenziate in rosso indicano le connessioni con il triangolo aureo e con
la sezione aurea. Il numero 144 di 144° è un numero di Fibonacci, mentre 72 è la media
aritmetica tra i due numeri di Fibonacci 55 e 89, poiché (55+89)/2= 72, oltre che ad essere
anche 72 = 144/2. Quindi, c’è già abbastanza matematica sulle connessioni tra geometria del
DNA e sezione aurea.
Ma anche tra corpo umano e sezione aurea ci sono connessioni matematiche (Rif. 2, al quale
rimandiamo); per non parlare di molti altri fenomeni naturali, regolati dal fenomeno della
ricorsività matematica, che comprende anche i numeri di Fibonacci, oltre che i numeri di Lie
(simmetrie) e le partizioni di numeri, tutti presenti in Natura (Rif. 3, 4 e 5 ).
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che tra i tanti fenomeni naturali regolati dai numeri di
Fibonacci e quindi dalla sezione aurea, possiamo includere ora anche la geometria del DNA,
per le stesse ragioni matematiche indicate nei vari riferimenti finali.”
2) “La sezione aurea nel DNA
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli ,
dal quale riportiamo:
Riassunto
In questa seconda parte di un nostro lavoro precedente (Rif.1) mostriamo altri lavori
sulla sezione aurea nel DNA In Rif. 1, abbiamo parlato del triangolo aureo e della
sezione aurea nel DNA.
In questa seconda parte riportiamo un lavoro di Reginald Brooks, in inglese, sullo
stesso argomento, nell’ambito di un progetto di divulgazione sulla presenza della
sezione aurea in diversi fenomeni naturali, e d in particolare in quelli biologici, DNA
compreso. Dal sito:
http://www.brooksdesign-ps.com/Code/Html/godna2.htm
Reginald Brooks.
art theory 101~
GoDNA: The Geometry of DNA
(axial view)
GoDNA: THE GEOMETRY OF DNA
© 2001, Reginald Brooks. All rights reserved.
…al quale rimandiamo, per le importanti figure geometriche e
le tabelle numeriche sul DNA, con alla fine le nostre modifiche
migliorative ( abbiamo trovato i numeri di Fibonacci più
piccoli come medie di numeri riportati nella tavola numerica
finale dell’Autore).
Tutti i lavori citati in questo lavoro riepilogativo sulla sezione
aurea in vari fenomeni naturali, sono già pubblicati sul nostro
sito, salvo diversa indicazione.
Conclusione
Possiamo concludere questo parziale riepilogo delle numerose
presenze della sezione aurea in molti fenomeni fisici, chimici,
biologici e genetici, proponendo il coinvolgimento della sezione
aurea e dei relativi numeri di Fibonacci in qualsiasi futura
simulazione informatica della selezione naturale come la
intendeva Darwin, poiché pensiamo che senza tale
indispensabile coinvolgimento qualsiasi simulazione non farà
sicuramente molta strada nella dimostrazione matematica
della teoria di Darwin, dimostrazione necessaria a sgombrare
il campo da interpretazioni irrazionali di qualsiasi tipo,
fideistico o ideologico in particolare, che ancora circolano in
ambienti poco avvezzi allo spirito scientifico; l’unico ad avere
una solida logica, basata sui numeri e quindi sulla matematica
(e quindi anche informatica), e ovviamente il solo abilitato a
descrivere meglio di tutti gli altri il mondo e la realtà che ci
circonda, che ci piaccia o no.
Riferimenti
Tutti gli articoli su Fibonacci e di fisica già pubblicati o di
prossima pubblicazione sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
Nota 1
Dalla rivista LE SCIENZE di febbraio 2013:
