Esercizi di Geometria - A.A. 2015/2016 1. Sull`insieme X = R 2 − {(0

Esercizi di Geometria - A.A. 2015/2016
1. Sull’insieme X = R2 − {(0, 0)} si consideri la relazione R definita da
(x, y) R (x0 , y 0 ) ⇔ ∃t ∈ R∗ tale che x = tx0 e y = ty 0 .
Si provi che R è una relazione di equivalenza su X e si determini l’insieme quoziente X/R.
2. Sull’insieme C dei numeri complessi si consideri la relazione R definita da
z R z 0 ⇔ |z| = |z 0 |.
Si provi che R è una relazione di equivalenza su C e si determini l’insieme quoziente C/R.
3. Si consideri la legge di composizione ∗ : Z × Z → Z definita da
x ∗ y = (x + 1)y.
Si dica se ∗ è associativa e commutativa. Stabilire se esiste elemento neutro per ∗ e, in caso positivo,
si determinino gli elementi di Z simmetrizzabili per ∗.
4. Si consideri la legge di composizione ∗ : Z × Z → Z definita da
x ∗ y = x + 3y.
Si dica se ∗ è associativa e commutativa. Stabilire se esiste elemento neutro per ∗ e, in caso positivo,
si determinino gli elementi di Z simmetrizzabili per ∗.
5. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
z1 =
1 + 2i
,
i−1
z2 = i +
i
,
2+i
z¯1 ,
z1 · z2 .
6. Considerato lo spazio vettoriale complesso C3 , si verifichi che i vettori
v1 = (1, 0, i),
v2 = (i, 0, 1),
v3 = (0, 1, i)
sono linearmente indipendenti. Si determinino quindi le componenti del vettore v = (1, 0, 0) nella
base B = {v1 , v2 , v3 }.
7. Si verifichi che
V = {(x, y, z) ∈ R3 | x − z = 0}
è un sottospazio vettoriale di R3 e si provi che R3 = V ⊕ U , con U = h(1, 1, 0)i. Si determinino un
supplementare di U diverso da V e un supplementare di V diverso da U .
8. Si verifichi che l’insieme
X = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 = 0}
non è sottospazio vettoriale di R2 . Si determinino U e V sottospazi vettoriali di R2 tali che X =
U ∪ V . Si determinino quindi U ∩ V e U + V .
9. Sia V uno spazio vettoriale su R di dimensione 5. Sia B = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } base di V . Si considerino
i vettori
v1 = 2e1 + e3 , v2 = e1 − e2 + e4 , v3 = 2e1 + e5 , v4 = e3 − e5 .
e sia U = hv1 , v2 , v3 , v4 i.
a) Si determini la dimensione e una base di U e un supplementare di U in V .
b) Posto W = he1 , e3 i, si determinino la dimensione e una base per U + W e U ∩ W .
10. Sia
V = {p(x) ∈ Rn [x] | p(0) = 0},
n ≥ 0.
Si provi che V è un sottospazio vettoriale di Rn [x]. Si determini la dimensione, una base e un
supplementare di V in Rn [x].
1 1
11. Sia A =
. Si considerino gli spazi
2 2
V1 = {X ∈ M2 (R) | AX = 0}
V2 = {X ∈ M2 (R) | XA = 0}.
Determinare le dimensioni di V1 e V2 , una base di V1 ∩ V2 e una base di V1 + V2 .
12. Si considerino i seguenti vettori di R4 : v1 = (1, 0, −1, 0), v2 = (0, 3, 2, 0), v3 = (−1, 0, 1, 1).
Determinare
- la matrice associata ai vettori v1 , v2 , v3 rispetto alla base canonica di R4 ;
- la matrice associata ai vettori v1 , v2 , v3 rispetto alla base
B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, −1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
13. Nello spazio vettoriale R2 [x] si determini la matrice associata ai polinomi p1 (x) = 1+x2 , p2 (x) = 2x,
rispetto alla base B = {1 − x, x2 , 1 + x}.
14. Sia A la matrice di passaggio dalla base canonica B di R3 alla base B 0 = {(1, 0, 1), (0, 1, 2), (−1, 0, 3)}.
Si determinino A e la matrice inversa di A come matrice di passaggio da B 0 a B.
15. Sia f : R2 → R3 l’applicazione lineare definita da
f (x, y) = (x + 2y, x − y, y).
Determinare
- la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche di R2 e di R3 ;
- la matrice associata a f rispetto alla base B = {(1, 1), (0, −1)} di R2 e alla base canonica di
R3 ;
- la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R2 e alla base B 0 = {(−1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 2, 0)};
- la matrice associata a f rispetto alle basi B e B 0 ;
- il nucleo e l’immagine di f , stabilendo l’ingettività e la surgettività di f .
16. Sia f : R3 → R4 l’applicazione lineare tale che
f (1, 1, 0) = (1, 0, 2, 0),
f (1, 0, −1) = (0, 0, 0, 1),
f (0, 0, 1) = (0, 1, −1, 2).
Si determini la matrice di f rispetto alla base B = {(1, 1, 0), (1, 0, −1), (0, 0, 1)} di R3 e alla base
canonica di R4 . Si determini f (x, y, z) per ogni (x, y, z) ∈ R3 e si stabilisca se f è ingettiva e se è
surgettiva.
17. Sia f : R3 → R2 l’applicazione lineare associata alla matrice
1 3 0
A=
0 1 −2
rispetto alle basi canoniche di R2 e di R3 . Determinare nucleo e immagine di f e stabilire l’ingettività
e la surgettività di f .
18. Sia f : M2 (R) → R2 l’applicazione lineare definita da
a b
f
= (a + d, c − b).
c d
1 0
0 1
0 0
0 0
Determinare la matrice associata a f rispetto alla base B =
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0 1
e alla base canonica di R2 . Determinare nucleo e immagine di f .
Considerato il sottospazio vettoriale V = h(1, 1)i di R2 , determinare la dimensione e una base di
f −1 (V ).
19. Sia f : R3 → R2 [x] l’applicazione lineare definita da
f (a, b, c) = c + (a − b)x + (b + c)x2 .
Determinare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di R3 e alla base {1, x, x2 } di R2 [x].
Verificare che f è un isomorfismo e determinare la matrice associata a f −1 : R2 [x] → R3 rispetto
alle stesse basi.
20. Per ciascuna delle seguenti
matrice inversa:

1
1 2
2
∈ M2 (R)
−3 0
1
21. Calcolare il rango delle

k
k

0
0
matrici si dica se è invertibile e, in caso positivo, se ne determini la
0
0
1

−1
−3 ∈ M3 (R)
0
seguenti matrici al


1
1 1
k
2 2


1
1 k
0
−1 1

1
1
−1
−2
0
3

0
2 ∈ M3 (R)
1
variare del parametro k:


k 0
1
1 1

0 0 −1
1 k
0 −1 0 
k 1
1 0
2k
k
1
1

i
1
0
0
i
−1

0
2 ∈ M3 (C)
i

4
−2
−2
22. Si considerino la base B = {1, x, x2 , x3 , x4 } dello spazio vettoriale R4 [x] e i polinomi
p1 = 1 + x4 ,
p2 = x + 2x2 − x3 ,
p3 = x − x3 − 2x4 ,
p4 = −1 + x2 .
Determinare la matrice A associata ai polinomi p1 , p2 , p3 , p4 rispetto alla base B. Calcolato il rango
di A, se ne deduca la dimensione e una base dello spazio vettoriale V = hp1 , p2 , p3 , p4 i.