1. Le equazioni di secondo grado

1. Le equazioni di secondo grado
1.1 Equazioni complete
Nelle equazioni di secondo grado, l’incognita x compare col massimo esponente pari a 2, come
nella seguente:
2 x 2  10 x  12  0
Bisogna trovare i valori delle x (se ci sono, saranno due) che soddisfino l’equazione, cioè che
rendano il primo membro uguale al secondo.
L’equazione in forma generica, che rappresenta le infinite equazioni di secondo grado che possono
esistere, si scrive in questo modo:
ax 2  bx  c  0
dove a, b e c sono numeri reali, e cioè
- a è il coefficiente del termine di secondo grado,
- b è il coefficiente del termine di primo grado,
- c è il termine noto (o coefficiente del termine di grado zero).
Per risolvere l’equazione si applicano due formule, che non dimostreremo in questo corso. Con la
prima si ricava il valore del discriminante, che serve a discriminare, cioè distinguere, tre differenti
casi, e si indica con la lettera greca  :
  b 2  4ac
I tre casi sono i seguenti:
1.   0 : le due soluzioni sono numeri reali e distinti;
2.   0 : le due soluzioni sono numeri reali e coincidenti;
3.   0 : le due soluzioni non sono numeri reali, bensì numeri complessi.
Con la seconda formula si ottengono i valori della x:
b 
x1 / 2 
2a
Il segno “  ” sta a indicare che per la prima soluzione si considera il segno più, per la seconda il
segno meno.
Se si preferisce, si può usare una unica formula:
x1 / 2 
 b  b2  4ac
2a
Esempio.
Risolvere la seguente equazione:
x 2  5x  6  0
Scriviamo i valori di a, b e c:
a=1; b=5; c=6.
  b 2  4ac  5 2  4  1  6  25  24  1
Calcoliamo il discriminante:
Poiché   0 siamo nel primo caso, quindi avremo due soluzioni reali e distinte.
 b    5  1  5 1
x1 / 2 


Scriviamo la formula risolutiva:
2a
2 1
2
 5 1  4
 5 1  6
x1 

 2
x1 

 3
da cui si ricavano:
2
2
2
2
Sono entrambe soluzioni dell’equazione. Se le sostituiamo una per volta nella traccia, al posto della
x , infatti, otterremo due identità.
1
Esempio.
Risolvere la seguente equazione:
2 x 2  8x  8  0
Scriviamo i valori di a, b e c:
a=2; b=2; c=8.
Calcoliamo il discriminante:
  b 2  4ac  8 2  4  2  8  64  64  0
Poiché   0 siamo nel secondo caso, quindi avremo due soluzioni reali e coincidenti.
b   8 0 80
Infatti scriviamo la formula risolutiva:
x1 / 2 


2a
22
4
80
80
da cui si ricavano:
x1 
 2 ,
x2 
 2
4
4
Esempio.
Risolvere la seguente equazione:
7 x 2  4x  9  0
Scriviamo i valori di a, b e c:
a=7; b  4 ;
c=8.
2
2
Calcoliamo il discriminante:
  b  4ac  (4)  4  7  9  16  252  236
Poiché   0 siamo nel terzo caso, quindi non ci saranno soluzioni reali.
Infatti, se scriviamo la formula risolutiva, otteniamo una radice quadra di un numero negativo, e
sappiamo che la radice di indice pari di un numero negativo non è un numero reale:
 b   4   236
x1 / 2 

2a
27
L’equazione, quindi, non si può risolvere nell’insieme dei numeri reali: se non ci interessa calcolare
le soluzioni complesse, concludiamo che è impossibile.
1.2 Equazioni di secondo grado incomplete pure (b=0)
Nelle equazioni di secondo grado pure la x compare solo come termine di secondo grado e non in
primo grado ( b  0 ).
Ad esempio: x 2  4  0
Notiamo che non compare il termine di primo grado. Si può risolvere sia con la regola vista prima
(con le formule del discriminante e di x1 / 2 , tenendo presente che b=0) oppure in un altro modo più
semplice che vediamo ora.
x2  4
Possiamo portare il  4 a destra del segno di uguaglianza:
Possiamo ora estrarre la radice quadrata a entrambi i membri:
da cui si ottengono le due soluzioni:
Sono le soluzioni; eseguendo la verifica, infatti, 22  4 e (2) 2  4 .
x2   4
x1  2 , x2  2
Esempio:
Risolvere la seguente equazione:
Trasportiamo tutte le x a sinistra e tutti i numeri a destra:
Sommiamo:
Dividiamo entrambi i membri per 3:
7 x 2  4  4 x 2  44
7 x 2  4 x 2  44  4
3x 2  48
x 2  16
da cui
e quindi
x 2   16
x1/ 2  4
2
 x1  4 , x2  4
Esempio:
Risolvere la seguente equazione:
7 x 2  21  0
21
7 x 2  21 ; x 2   ;
x 2  3
7
Questa equazione è impossibile, poiché un quadrato non è mai negativo.
1.3 Equazioni di secondo grado incomplete spurie (c=0)
Nelle equazioni di secondo grado spurie la x compare sia come termine di secondo grado, sia di
primo grado e non compare il termine noto ( c  0 ). Ad esempio:
2x 2  4x  0
Si può risolvere sia con la regola vista prima (con le formule del discriminante e di x1 / 2 , tenendo
conto che c=0) oppure in un altro modo più semplice che vediamo ora.
Notiamo subito che una soluzione è sicuramente 0. Raccogliamo la x, infatti, ottenendo
x(2 x  4)  0
Per la legge dell’annullamento del prodotto, tale espressione sarà nulla se almeno uno dei due fattori
è nullo; si ricava quindi la prima soluzione:
x1  0
Ponendo uguale a 0 l’altro fattore, determiniamo la seconda soluzione: 2 x  4  0
Si tratta di una equazione di primo grado che sappiamo risolvere:
2 x  4
x  2
che è la seconda soluzione: x2  2 .
b
La formula generica per ottenere x2 è x2   .
a
Esempio.
x 2  8x  5x  7 x 2
x 2  8x  5x  7 x 2  0
Portiamo tutti i termini a sinistra:
Sommiamo i monomi simili tra loro:
 6 x 2  13x  0
Dal momento che è una equazione spuria, una soluzione è sicuramente
x1  0 .
Per trovare l’altra, raccogliamo la x:
x(6 x  13)  0
si ottiene
 6 x  13  0
da cui
 6 x  13
6 x  13
13
x2 
6
1.4 Formula ridotta per la risoluzione delle equazioni di secondo grado
Se in una equazione di secondo grado il coefficiente b è pari, è possibile usare la cosiddetta formula
ridotta per la risoluzione, al fine di lavorare con numeri più piccoli. Si calcola un quarto del valore
del discriminante:
2
 b
    ac
4 2
3
e quindi le soluzioni:
b

 
4
x1 / 2  2
a
Si noti che l’ultima formula si differenzia da quella normale per il fatto che numeratore e
denominatore sono entrambi stati divisi per due. Nel caso in cui a=1, si parla di formula
ridottissima:
b

x1 / 2   
2
4
Ad esempio, per risolvere l’equazione 3x 2  10 x  4  0 , calcoliamo
2
2
 b
 10 
    ac     3  4  25  12  13
4 2
2
x1 / 2 

b


2
4   5  13
a
3
1.5 Dimostrazione della formula risolutiva
Per dimostrare la formula che utilizziamo per risolvere le equazioni di secondo grado, utilizziamo il
metodo del completamento del quadrato. Consideriamo una equazione in forma normale:
ax 2  bx  c  0
Moltiplichiamo tutti i termini per 4a :
4a 2 x 2  4abx  4ac  0
2
Sommiamo e sottraiamo a b
4a 2 x 2  4abx  4ac  b2  b2  0
Abbiamo così ottenuto un quadrato di binomio; possiamo scrivere quindi
2ax  b2  4ac  b2  0
2ax  b2  b2  4ac
Estraendo la radice quadrata ad entrambi i membri si ottiene
2ax  b   b2  4ac
e quindi
2ax  b  b2  4ac
x1 / 2
 b  b2  4ac

2a
4
2. Le equazioni monomie, binomie e trinomie
2.1 Le equazioni monomie
Nelle equazioni monomie l’incognita x può comparire con un qualunque esponente maggiore di
zero:
x n  0 con n  N *
Le soluzioni saranno in numero pari a n, tutte pari a zero. Ad esempio:
5x 3  0
dividendo entrambi i membri per 5, diventa
x3  0
Le soluzioni saranno tre, coincidenti: 0, 0 e 0.
2.2 Le equazioni binomie
Le equazioni binomie sono composte dall’incognita x , elevata a un esponente maggiore di 0, e un
termine noto:
x n  h con n  N * e h  0
I caso: esponente dispari
Se l’esponente è dispari, si estrae la radice di indice n ad entrambi i membri e si ottiene il valore
della x. Ad esempio:
x5  243
5
x 5  5  243
Estraendo la radice quinta ad entrambi i membri si ottiene
da cui x  3 .
Si noti che le soluzioni sono sempre in numero pari al grado dell’equazione; in questo caso, però, ne
esiste solo una reale, mentre le rimanenti sono numeri complessi, che non studieremo in questo
corso.
II caso: esponente pari
Se l’esponente è pari, è possibile risolverla nel campo dei numeri reali se h è positivo; si estrae
quindi la radice di indice n ad entrambi i membri, anteponendo alla radice il segno  . Ad esempio:
x 4  256
4
x 4   4 256
Estraendo la radice quarta ad entrambi i membri si ottiene
da cui x  4 , ovvero x1  4 e x2  4 .
Le soluzioni sono in questo caso quattro, ma solo due di esse sono reali, mentre le altre due sono
numeri complessi.
L’equazione x 2  64 , invece, non ha soluzioni reali, poiché non esiste nessun numero reale il cui
quadrato è negativo.
2.3 Le equazioni trinomie
La forma generica delle equazioni trinomie è la seguente:
ax 2n  bx n  c  0 con n  N * e a  0, b  0
Per risolverla è sufficiente sostituire una variabile ausiliaria y al posto di x n per ottenere così una
equazione di secondo grado, da cui si ricaveranno, se sono reali, due valori di y, che consentiranno
di ricavare i valori di x.
5
Esempio.
Risolvere la seguente equazione trinomia: x 4  13x 2  36  0 .
Questa equazione trinomia è un caso particolare ed è detta biquadratica per gli esponenti
presenti sulla x. Sostituiamo y al posto di x 2 :
(1)
x2  y
Allora, elevando al quadrato entrambi i membri della (1), sarà anche
x4  y2
L’equazione diventa di secondo grado in y:
y 2  13 y 2  36  0
Risolvendola si ottengono le soluzioni
y1  4 e y 2  9
Sostituendo questi valori nella (1), otteniamo due equazioni binomie in x, da cui possiamo calcolare
le soluzioni dell’equazione di partenza:
e
x2  4
x2  9
Le soluzioni, quindi, sono x1 / 2   4  2 e x3 / 4   9  3 . Sono quattro soluzioni reali; in
equazioni analoghe si possono avere solo due soluzioni reali o nessuna; le altre saranno complesse.
Esempio.
Risolvere la seguente equazione:
x 6  5x 3  6  0
3
Sostituiamo y al posto di x :
(2)
x3  y
Allora, elevando al quadrato entrambi i membri della (2), sarà anche
x6  y2
L’equazione diventa di secondo grado in y:
y2  5y2  6  0
Risolvendola si ottengono le soluzioni
y1  2 e y 2  3
Sostituendo questi valori nella (2), otteniamo due equazioni binomie in x, da cui possiamo calcolare
le soluzioni dell’equazione di partenza:
e
x 3  2
x 3  3
Le soluzioni, quindi, sono x1  3 2 e x2  3 3 .
Ci saranno altre quattro soluzioni complesse, che in questo corso non calcoleremo.
6
3. I sistemi di secondo grado
Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi di ciascuna equazione. Nell’esempio seguente, la
prima equazione è di secondo grado, mentre la seconda di prima; il sistema è pertanto di secondo
grado.
4 x 2  10 xy  y  0

 y  4x  0
Tali sistemi possono essere risolti agevolmente per sostituzione. È sufficiente calcolare una
incognita in funzione dell’altra a partire dall’equazione di primo grado; l’espressione trovata si
sostituisce nell’equazione di secondo grado, che darà in generale due soluzioni; ciascuna di queste
soluzione va sostituita nell’equazione di primo grado, per trovare così due coppie di soluzioni
( x1 , y1 ) e ( x2 , y2 ) . Ricaviamo quindi la y dalla seconda equazione:
"

 y  4x
Sostituiamo nella prima ed eseguiamo i calcoli:
4 x 2  10 x  4 x  4 x  0

 y  4x
4 x 2  40 x 2  4 x  0

 y  4x
44 x 2  4 x  0

 y  4x
Otteniamo una equazione di secondo grado incompleta spuria, le cui soluzioni sono
1
x1  0 e x2  .
11
Sostituendo questi valori ordinatamente nell’equazione di primo grado ( y  4 x ) si ricavano i valori
4
y1  0 e y2  .
11
Le due coppie di soluzioni sono pertanto
1 4
(0,0) e  ,  .
 11 11 
4. Equazioni di grado maggiore del secondo risolvibili mediante
sostituzione
Nelle equazioni come la seguente in cui compare una espressione ripetuta più volte, questa può
essere sostituita da una variabile ausiliaria per poter risolvere una equazione più semplice. Ad
esempio nell’equazione di quarto grado
9x 2  4  10x 2  4  1  0
possiamo sostituire l’espressione x 2  4 con y; scriviamo quindi
x2  4  y
Si ottiene pertanto l’equazione di secondo grado
9 y 2  10 y  1  0
2
7
1
. Per trovare i valori della x, richiesti dalla traccia, è
9
sufficiente sostituire ordinatamente questi due valori nell’equazione x 2  4  y , ottenendo due
equazioni:
1
e
x2  4  1
x2  4  .
9
Sono due equazioni di secondo grado incomplete pure; risolvendole si ottengono
37
x2 
x2  5
9
e quindi quattro soluzioni
37
37
, x4  
.
x1  5 , x2   5 , x3 
3
3
Le due soluzioni sono y1  1 e y2 
8