Lezione n° 12
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METODI E TECNOLOGIE PER L’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n° 12 Le azioni del fare matematica Ciascuno di noi ragiona per sua natura. Ognuno spontaneamente sa mettere in atto inferenze, che riconosce errate o corrette alla luce dell’esperienza. Spesso i bambini ragionano particolarmente bene; ci stupiscono con le loro deduzioni fulminee, con la stringente coerenza delle loro conclusioni. Non sempre però sanno rendere conto dei procedimenti fatti, non sempre riescono ad esplicitare completamente sul piano verbale e a rendere coscienti, e quindi comunicabili, i percorsi inferenziali che hanno spontaneamente seguito. Ma questo non vale solo per i bambini: prendere coscienza del proprio ragionamento, riflettere sul proprio pensiero per orientarlo ed organizzarlo non è facile e non è spontaneo. (Basta pensare ai problemi che si incontrano nell’organizzazione delle dimostrazioni di geometria sintetica) In questo senso, la capacità di ragionamento, che riconosciamo innata in tutti, può essere coltivata e approfondirsi. Al contrario, se viene esercitata solo in modo inconsapevole, può addirittura affievolirsi Si può quindi insegnare a ragionare, nel senso cioè di aiutare a sviluppare la consapevolezza dei propri ragionamenti. In tal senso l’utilità di quella che viene chiamata logica formale sta nel fornire uno strumento che favorisce la visione esplicita dei procedimenti mentali, permette eventualmente di correggerli e può aiutare in generale ad organizzare la facoltà di ragionare. ALCUNI CENNI Una forma corretta del ragionamento è una relazione tra implicazioni che conduce da premesse vere a conclusioni vere e che viene perciò accettata come regola di procedimento corretto. Forme di argomentazione • Induzione: dal particolare al generale • Abduzione: dalle conseguenze alle cause • Deduzione: dal generale al particolare CONFRONTIAMO -tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi -questi fagioli sono bianchi -questi fagioli vengono da questo sacchetto -tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi -questi fagioli vengono da questo sacchetto -questi fagioli sono bianchi -da questo sacchetto vengono questi fagioli -i fagioli estratti sono bianchi -tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi INDUZIONE Il ragionamento induttivo, dal verificarsi di esperienze particolari, porta a formulazioni di carattere generale Es. -da questo sacchetto vengono questi fagioli ( fatto particolare) -i fagioli estratti sono bianchi (fatto particolare) -tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi (conseguenza generale) L’induzione è il ragionamento base delle scienze empiriche; più grande è il numero delle prove fatte, più attendibile è la previsione formulata ABDUZIONE È la forma di argomentazione che costituisce gran parte delle nostre riflessioni: ricercare le cause, risalire alle spiegazioni degli indizi…. Es.: -tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi(premessa generale) -questi fagioli sono bianchi (fatto particolare) -questi fagioli vengono da questo sacchetto (conseguenza) Non è possibile stabilire il grado di validità di questo ragionamento, senza ulteriori elementi relativi al contesto L’abduzione è la struttura tipica dell’investigazione DEDUZIONE La matematica richiede di garantire le proprie affermazioni attraverso dimostrazioni, cioè usando ragionamenti deduttivi. Es.: - tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi(premessa generale) - questi fagioli vengono da questo sacchetto (fatto particolare) - questi fagioli sono bianchi (conseguenza particolare) In questa forma di ragionamento, se sono vere le premesse, la conclusione è necessariamente vera. La deduzione è l’unico schema argomentativo in cui la verità delle conclusioni è contenuta necessariamente nella verità delle premesse. Si può insegnare a ragionare: cioè aiutare a sviluppare la consapevolezza dei propri ragionamenti. COME? ALCUNI SUGGERIMENTI • La forma privilegiata è il dialogo: Perché hai fatto così? Spiegami!!! • Proporre di scrivere il perché. • Far spiegare ai compagni e ascoltare con attenzione il dialogo tra i bambini • Valorizzare i progressi. • Scegliere esercizi non banali. Problema Sulle caselle di una scacchiera 4 × 4 vengono collocati dei granelli di riso, con le seguenti regole: 1 granello sulle caselle corrispondenti a colonna dispari e riga dispari, 2 granelli nelle caselle che hanno colonna e riga una pari e una dispari, 3 granelli se colonna e riga sono entrambe pari. Quanti granelli in totale si mettono sulla scacchiera? Risolvere e spiegare il procedimento utilizzato Geometria parte seconda Geometria solida Una premessa Diversi esperti di Didattica della Matematica ritengono che l’approccio migliore, per la scuola dell’infanzia e per quella primaria, sia quello di partire dalla geometria dello spazio, per rispettare l’intuizione del bambino che è prevalentemente tridimensionale, cioè spaziale, per poi affrontare in un secondo momento la geometria piana, che è ambientata in uno spazio di due sole dimensioni e quindi è di per sé un’astrazione che il bambino potrebbe non cogliere appieno, se non dopo un accurato lavoro preparatorio. Un esempio di ciò è costituito dalla attività didattica allegata alla lezione 10 I solidi Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati solidi rotondi. I poliedri I poligoni si dicono facce del poliedro; i loro lati si dicono spigoli del poliedro. i loro vertici si dicono vertici del poliedro; due facce con uno spigolo comune si dicono facce adiacenti. 1. I POLIEDRI DEFINIZIONE Poliedro Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. Prisma La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza. L’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema. Piramide /15 I prismi Si chiama prisma un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, detti basi, situati su piani paralleli e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni. Un prisma prende il nome dal numero dei lati del poligono di base. TRIANGOLARE QUADRANGOLARE PENTAGONALE I prismi retti Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO ESAGONO REGOLARE Se un prisma ha base rettangolare, il solido ottenuto si chiama parallelepipedo rettangolo a, b, c sono parallelepipedo. le dimensioni del Il particolare parallelepipedo per il quale a = b = c si chiama cubo Apriamo… un prisma Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare. Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma. La superficie di tutte le facce di un solido è detta superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale. Alcuni esempi Il solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti. P Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P. Prova tu Disegna lo sviluppo della superficie di un prisma triangolare regolare. Le piramidi Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. faccia laterale Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE Piramidi rette e regolari Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE Alcuni esempi Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Prova tu • Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? ……. Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? …………………….. Poliedri regolari Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri, formati da facce adiacenti, sono congruenti. Tetraedro regolare 4 facce (triangoli equilateri) 4 vertici, 6 spigoli Dodecaedro regolare 12 facce (pentagoni regolari) 20 vertici, 30 spigoli Cubo (esaedro regolare) 6 facce (quadrati) 8 vertici, 12 spigoli Ottaedro regolare 8 facce (triangoli equilateri) 6 vertici, 12 spigoli Icosaedro regolare 20 facce (triangoli equilateri) 12 vertici, 30 spigoli Perché solo 5? Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari; infatti in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano; quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 60 = 180) ottenendo un tetraedro regolare, Perché solo 5? • in un vertice possono convergere 4 facce (4 x 60 = 240) ottenendo un ottaedro regolare • in un vertice possono convergere 5 facce (5 x 60 = 300) ottenendo un icosaedro regolare. Perché solo 5? • Ogni angolo di un quadrato misura 90°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90 = 270) ottenendo un esaedro o cubo • Ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. È quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108 = 324) ottenendo un dodecaedro regolare. Ogni angolo di un esagono regolare misura 120° e quindi 3 facce che si incontrassero in un vertice risulterebbero sullo stesso piano : (3 x 120 = 360). È quindi impossibile costruire un poliedro regolare con esagoni Relazione di Eulero per i poliedri Osserviamo il poliedro della figura a fianco. Indichiamo con: • V il numero dei vertici • F il numero delle facce • S il numero degli spigoli Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione: RELAZIONE DI EULERO V+F−S=2 o anche V + F = S + 2 Alcuni esempi • Quanti spigoli ha il poliedro a fianco? I vertici sono 12 e le facce 8. Sostituiamo i numeri che conosciamo nella relazione di Eulero: V+F=S+2 12 + 8 = S + 2 Il numero degli spigoli è: S = 12 + 8 − 2 = 18 Prova tu • Quanti spigoli ha un poliedro con 6 facce e 8 vertici? ……………………………. V+F=S+2 S=V+F−2 S = 8 + 6 − 2 = 12 Il poliedro ha 12 spigoli I solidi rotondi Alcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio: CILINDRI Facendo ruotare di 360° una figura piana intorno a una retta (detta asse di rotazione) otteniamo i solidi di rotazione. Non tutti i solidi rotondi sono solidi di rotazione. CONO SFERA SOLIDI DI ROTAZIONE SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 3600, INTORNO AD UN SUO LATO Solidi di rotazione Ruotando di 360° un rettangolo attorno a un suo lato, si genera un cilindro retto. Ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, si genera un cono retto. Ruotando di 360° un semicerchio attorno al suo diametro, si genera una sfera. UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE CILINDRO RETTO ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UN CATETO CONO APOTEMA ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE Apriamo… un solido di rotazione È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro o di un cono. CILINDRO RETTO CONO RETTO QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI ROTAZIONE? INTORNO A QUALE LATO E’ AVVENUTA LA ROTAZIONE? N.B.1: Se si fa ruotare un quadrato attorno all’asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti si ottiene un cilindro equilatero, che ha quindi il diametro di base congruente alla sua altezza N.B.2: Se si fa ruotare un triangolo equilatero attorno ad un suo asse di simmetria si ottiene un cono equilatero, che ha quindi il diametro di base congruente al suo apotema Parti della sfera La superficie del segmento sferico ad una base è la calotta Segmento sferico ad una base Segmento sferico a due basi Strumenti didattici per la geometria Carta, forbici, colla, scotch…. Stecchini, cannucce, pongo,…. Geomag Software didattici (es. geogebra) Il geopiano ………. Nello spazio L’argomento “simmetrie” può essere esteso alle figure solide, purché lo si limiti al centro di simmetria ed ai piani di simmetria. La ricerca di assi di simmetria in generale è molto impegnativa e non alla portata dei bambini della scuola primaria. L’argomento, ad ogni buon conto, non dovrebbe essere affrontato prima della IV classe. Esempi: Lo specchio è un piano di simmetria Il nostro corpo ha un piano di simmetria? Un cubo ha piani di simmetria, quanti? E un cono? ……………. ESERCIZI 1) Un prisma retto ha per base un poligono regolare ed ha 5 facce. Qual è la sua base? Verificare per tale solido la relazione di Eulero e disegnare uno sviluppo piano del prisma in questione. 2) La figura qui di fianco riportata è lo sviluppo piano di una figura solida? Quale? Spiegare 3) Che solido si ottiene ruotando un trapezio rettangolo intorno alla sua base minore? E attorno al suo lato perpendicolare alle basi? 4) Una piramide che ha per base un rettangolo può essere retta? Giustificare la risposta 5) Le facce del solido a fianco che tipo di poligoni sono? 6) Il poligono ABCD rappresenta in scala la pianta del salone di un ristorante; si sa che ogni quadretto ha lato di misura 2 cm e che nella realtà il lato BC misura 24 m • • Calcolare la scala Calcolare l’area del poligono e l’area del salone; in che rapporto stanno? 7) I due triangoli in figura si corrispondono in una rotazione. Qual è il centro? Il senso è orario o antiorario? Quanto vale l’angolo di rotazione? Se l’angolo ABC misura 111°30’ quanto misura l’angolo ABE? Perché? 8) Disegnare il simmetrico di ABCD rispetto al punto E; se l’angolo BAD misura 71°30’ quanto misurano gli altri angoli del parallelogramma? Perché? 9) Una piramide retta ha per base un poligono regolare ed ha 6 facce. Qual è la sua base? a) Verificare per tale solido la relazione di Eulero b) disegnare uno sviluppo piano del solido in questione. 10) Nella figura quadrettata è rappresentato il poligono ABCDE; si sa che ogni quadretto ha lato di misura 20 cm a) Il poligono è concavo o convesso? Spiegare b)calcolare l’area del poligono ed esprimerla in m2. c) calcolare il perimetro di un quadrato equivalente ai 2 9 del poligono 11) La maestra vuole realizzare con i suoi alunni la piantina della classe, che è lunga 6 m e larga 8 m. I fogli che ha a disposizione sono dei fogli a quadretti di dimensioni 25𝑐𝑚 × 32𝑐𝑚. a)Quale scala deve essere utilizzata per occupare quanto più possibile il foglio? b)Se i banchi di scuola hanno dimensioni 50𝑐𝑚 × 70𝑐𝑚 quale area occupano sulla piantina?
