Lezione n° 12

METODI E TECNOLOGIE PER
L’INSEGNAMENTO DELLA
MATEMATICA
Lezione n° 12
Le azioni del fare
matematica
Ciascuno di noi ragiona per sua
natura.
Ognuno
spontaneamente
sa
mettere in atto inferenze, che
riconosce errate o corrette alla luce
dell’esperienza.
Spesso i bambini ragionano particolarmente
bene; ci stupiscono con le loro deduzioni
fulminee, con la stringente coerenza delle loro
conclusioni.
Non sempre però sanno rendere conto dei
procedimenti fatti, non sempre riescono ad
esplicitare completamente sul piano verbale e a
rendere coscienti, e quindi comunicabili, i
percorsi inferenziali che hanno spontaneamente
seguito.
Ma questo non vale solo per i
bambini:
prendere coscienza del proprio
ragionamento, riflettere sul proprio
pensiero
per
orientarlo
ed
organizzarlo non è facile e non è
spontaneo.
(Basta pensare ai problemi che si
incontrano
nell’organizzazione
delle
dimostrazioni di geometria sintetica)
In questo senso, la capacità di
ragionamento, che riconosciamo
innata in tutti, può essere coltivata
e approfondirsi.
Al contrario, se viene esercitata
solo in modo inconsapevole, può
addirittura affievolirsi
Si può quindi insegnare a
ragionare, nel senso cioè di
aiutare a sviluppare la
consapevolezza dei propri
ragionamenti.
In tal senso l’utilità di quella che viene
chiamata logica formale sta nel
fornire uno strumento che favorisce la
visione esplicita dei procedimenti
mentali, permette eventualmente di
correggerli e può aiutare in generale
ad organizzare la facoltà di ragionare.
ALCUNI CENNI
Una forma corretta del ragionamento è
una relazione tra implicazioni che conduce
da premesse vere a conclusioni vere e che
viene perciò accettata come regola di
procedimento corretto.
Forme di argomentazione
• Induzione: dal particolare al
generale
• Abduzione: dalle conseguenze
alle cause
• Deduzione: dal generale al
particolare
CONFRONTIAMO
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi
-questi fagioli sono bianchi
-questi fagioli vengono da questo sacchetto
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi
-questi fagioli vengono da questo sacchetto
-questi fagioli sono bianchi
-da questo sacchetto vengono questi fagioli
-i fagioli estratti sono bianchi
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi
INDUZIONE
Il ragionamento induttivo, dal verificarsi di esperienze particolari,
porta a formulazioni di carattere generale
Es.
-da questo sacchetto vengono questi fagioli ( fatto particolare)
-i fagioli estratti sono bianchi (fatto particolare)
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi (conseguenza
generale)
L’induzione è il ragionamento base delle scienze empiriche; più
grande è il numero delle prove fatte, più attendibile è la previsione
formulata
ABDUZIONE
È la forma di argomentazione che costituisce gran parte delle
nostre riflessioni: ricercare le cause, risalire alle spiegazioni degli
indizi….
Es.:
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi(premessa
generale)
-questi fagioli sono bianchi (fatto particolare)
-questi fagioli vengono da questo sacchetto (conseguenza)
Non è possibile stabilire il grado di validità di questo
ragionamento, senza ulteriori elementi relativi al contesto
L’abduzione è la struttura tipica dell’investigazione
DEDUZIONE
La matematica richiede di garantire le proprie affermazioni
attraverso dimostrazioni, cioè usando ragionamenti deduttivi.
Es.:
- tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi(premessa
generale)
- questi fagioli vengono da questo sacchetto (fatto particolare)
- questi fagioli sono bianchi (conseguenza particolare)
In questa forma di ragionamento, se sono vere le premesse, la
conclusione è necessariamente vera.
La deduzione è l’unico schema argomentativo in cui la verità
delle conclusioni è contenuta necessariamente nella verità delle
premesse.
Si può insegnare a ragionare:
cioè aiutare a sviluppare la
consapevolezza dei propri
ragionamenti.
COME?
ALCUNI SUGGERIMENTI
• La forma privilegiata è il dialogo:
Perché hai fatto così? Spiegami!!!
• Proporre di scrivere il perché.
• Far spiegare ai compagni e ascoltare con
attenzione il dialogo tra i bambini
• Valorizzare i progressi.
• Scegliere esercizi non banali.
Problema
Sulle caselle di una scacchiera 4 × 4 vengono collocati
dei granelli di riso, con le seguenti regole: 1 granello
sulle caselle corrispondenti a colonna dispari e riga
dispari, 2 granelli nelle caselle che hanno colonna e riga
una pari e una dispari, 3 granelli se colonna e riga sono
entrambe pari. Quanti granelli in totale si mettono sulla
scacchiera?
Risolvere e spiegare il procedimento utilizzato
Geometria
parte seconda
Geometria solida
Una premessa
Diversi esperti di Didattica della Matematica ritengono
che l’approccio migliore, per la scuola dell’infanzia e per
quella primaria, sia quello di partire dalla geometria
dello spazio, per rispettare l’intuizione del bambino che
è prevalentemente tridimensionale, cioè spaziale, per
poi affrontare in un secondo momento la geometria
piana, che è ambientata in uno spazio di due sole
dimensioni e quindi è di per sé un’astrazione che il
bambino potrebbe non cogliere appieno, se non dopo
un accurato lavoro preparatorio.
Un esempio di ciò è costituito dalla attività didattica
allegata alla lezione 10
I solidi
Un solido è una parte di spazio delimitata
da una superficie chiusa.
I solidi delimitati da
poligoni vengono
chiamati poliedri.
I solidi che hanno superfici
curve vengono chiamati
solidi rotondi.
I poliedri
I poligoni si dicono
facce del poliedro;
i loro lati si dicono
spigoli del poliedro.
i loro vertici si dicono
vertici del poliedro;
due facce
con uno
spigolo
comune si
dicono facce
adiacenti.
1. I POLIEDRI
DEFINIZIONE
Poliedro
Un poliedro è una figura solida limitata da un
numero finito di poligoni appartenenti a piani
diversi e tali che il piano di ogni poligono non
attraversi il solido.
Prisma
La distanza fra il vertice (o la base superiore) e
il piano della base (inferiore) si chiama altezza.
L’altezza delle facce laterali di una piramide
retta è detta apotema.
Piramide
/15
I prismi
Si chiama prisma un
poliedro delimitato da
due poligoni congruenti,
detti basi, situati su piani
paralleli e da tanti
parallelogrammi quanti
sono i lati di ciascuno
dei due poligoni.
Un prisma prende il
nome dal numero dei lati
del poligono
di base.
TRIANGOLARE
QUADRANGOLARE
PENTAGONALE
I prismi retti
Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono
perpendicolari ai piani delle basi.
Un prisma si dice regolare se è retto
e ha per basi due poligoni regolari.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
ESAGONO
REGOLARE
Se un prisma ha base rettangolare, il solido
ottenuto si chiama parallelepipedo
rettangolo
a, b, c sono
parallelepipedo.
le
dimensioni
del
Il particolare parallelepipedo per il quale a
= b = c si chiama cubo
Apriamo… un prisma
Consideriamo il modello in cartone di
un prisma retto a base triangolare.
Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in
modo da poterlo distendere su un piano,
otteniamo una figura piana che si chiama
sviluppo della superficie del prisma.
La superficie di tutte le facce
di un solido è detta
superficie totale, mentre
quella delle sole facce laterali
è detta superficie laterale.
Alcuni esempi
Il solido P è un prisma quadrangolare
regolare, quindi è retto, le facce laterali
sono 4 rettangoli R congruenti e le
sue basi sono due quadrati Q congruenti.
P
Qui sotto è disegnato lo sviluppo della
superficie del solido P.
Prova tu
Disegna lo sviluppo della superficie
di un prisma triangolare regolare.
Le piramidi
Si dice piramide un
poliedro limitato da un
poligono qualunque,
detto base, e da tanti
triangoli quanti sono i
lati del poligono, aventi
tutti un vertice comune.
faccia
laterale
Una piramide prende il
nome dal numero di lati
del poligono di base.
PIRAMIDE
TRIANGOLARE
PIRAMIDE
QUADRANGOLARE
PIRAMIDE
PENTAGONALE
Piramidi rette e regolari
Una piramide si dice retta se ha per
base un poligono circoscrittibile
a una circonferenza, il cui centro
coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare
se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
PENTAGONO
REGOLARE
Alcuni esempi
Il solido P è una piramide quadrangolare
regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza
coincide con il centro della circonferenza
inscritta nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono
quattro triangoli T isosceli congruenti,
la sua base è un quadrato Q.
Prova tu
• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare
esagonale? …….
Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?
……………………..
Poliedri regolari
Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce
sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri,
formati da facce adiacenti, sono congruenti.
Tetraedro regolare
4 facce
(triangoli equilateri)
4 vertici, 6 spigoli
Dodecaedro regolare
12 facce (pentagoni regolari)
20 vertici, 30 spigoli
Cubo
(esaedro regolare)
6 facce (quadrati)
8 vertici, 12 spigoli
Ottaedro regolare
8 facce
(triangoli equilateri)
6 vertici, 12 spigoli
Icosaedro regolare
20 facce (triangoli equilateri)
12 vertici, 30 spigoli
Perché solo 5?
Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e
il pentagono regolare possono essere facce di
poliedri regolari; infatti in un vertice di
un poliedro devono convergere almeno 3 facce
che non stiano sullo stesso piano; quindi la
somma dei loro angoli deve essere inferiore a
360°.
Ogni angolo di un triangolo
equilatero misura 60°:
è quindi possibile far incontrare in un
vertice 3 facce (3 x 60 = 180)
ottenendo un tetraedro regolare,
Perché solo 5?
• in un vertice possono
convergere 4 facce
(4 x 60 = 240) ottenendo
un ottaedro regolare
• in un vertice possono
convergere 5 facce
(5 x 60 = 300) ottenendo
un icosaedro regolare.
Perché solo 5?
• Ogni angolo di
un quadrato misura 90°: è
quindi possibile far
incontrare in un vertice 3
facce
(3 x 90 = 270) ottenendo
un esaedro o cubo
• Ogni angolo di un pentagono
regolare misura 108°. È
quindi possibile far
incontrare in un vertice 3
facce (3 x 108 = 324)
ottenendo
un dodecaedro regolare.
Ogni
angolo
di
un
esagono
regolare misura 120° e quindi 3 facce che
si
incontrassero
in
un
vertice
risulterebbero sullo stesso piano :
(3 x 120 = 360).
È quindi impossibile costruire un poliedro
regolare con esagoni
Relazione di Eulero per i poliedri
Osserviamo il poliedro della figura a fianco.
Indichiamo con:
• V il numero dei vertici
• F il numero delle facce
• S il numero degli spigoli
Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione:
RELAZIONE DI EULERO
V+F−S=2
o anche V + F = S + 2
Alcuni esempi
• Quanti spigoli ha il poliedro a fianco?
I vertici sono 12 e le facce 8.
Sostituiamo i numeri che conosciamo
nella relazione di Eulero:
V+F=S+2
12 + 8 = S + 2
Il numero degli spigoli è:
S = 12 + 8 − 2 = 18
Prova tu
• Quanti spigoli ha un poliedro con
6 facce e 8 vertici?
…………………………….
V+F=S+2
S=V+F−2
S = 8 + 6 − 2 = 12
Il poliedro ha 12 spigoli
I solidi rotondi
Alcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la
loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio:
CILINDRI
Facendo ruotare di 360° una
figura piana intorno a una
retta (detta asse di rotazione)
otteniamo i solidi di rotazione.
Non tutti i solidi rotondi sono
solidi di rotazione.
CONO
SFERA
SOLIDI DI ROTAZIONE
SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 3600,
INTORNO AD UN SUO LATO
Solidi di rotazione
Ruotando di 360° un
rettangolo attorno a un
suo lato, si genera un
cilindro retto.
Ruotando di 360° un
triangolo rettangolo attorno
a uno dei suoi cateti, si
genera un cono retto.
Ruotando di 360° un
semicerchio attorno
al suo diametro, si
genera una sfera.
UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE
CILINDRO RETTO
ASSE DI ROTAZIONE
RAGGIO DI BASE
UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UN CATETO
CONO
APOTEMA
ASSE DI ROTAZIONE
RAGGIO DI
BASE
Apriamo… un solido di rotazione
È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie
di un cilindro o di un cono.
CILINDRO
RETTO
CONO
RETTO
QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI ROTAZIONE?
INTORNO A QUALE LATO E’ AVVENUTA LA ROTAZIONE?
N.B.1: Se si fa ruotare un quadrato attorno all’asse di simmetria passante per
i punti medi di due lati opposti si ottiene un cilindro equilatero, che ha
quindi il diametro di base congruente alla sua altezza
N.B.2: Se si fa ruotare un triangolo equilatero attorno ad un suo asse di
simmetria si ottiene un cono equilatero, che ha quindi il diametro di base
congruente al suo apotema
Parti della sfera
La superficie
del segmento
sferico ad una
base è la
calotta
Segmento sferico
ad una base
Segmento sferico a due
basi
Strumenti didattici per la geometria
 Carta, forbici, colla, scotch….
Stecchini, cannucce, pongo,….
Geomag
Software didattici (es. geogebra)
Il geopiano
……….
Nello spazio
L’argomento “simmetrie” può essere esteso alle figure solide, purché
lo si limiti al centro di simmetria ed ai piani di simmetria. La ricerca di
assi di simmetria in generale è molto impegnativa e non alla portata
dei bambini della scuola primaria. L’argomento, ad ogni buon conto,
non dovrebbe essere affrontato prima della IV classe.
Esempi:
 Lo specchio è un piano di simmetria
 Il nostro corpo ha un piano di simmetria?
 Un cubo ha piani di simmetria, quanti?
 E un cono?
 …………….
ESERCIZI
1) Un prisma retto ha per base un poligono regolare ed ha 5 facce. Qual è la
sua base? Verificare per tale solido la relazione di Eulero e disegnare uno
sviluppo piano del prisma in questione.
2) La figura qui di fianco riportata
è lo sviluppo piano di una figura
solida? Quale? Spiegare
3) Che solido si ottiene ruotando un trapezio rettangolo intorno alla sua base
minore? E attorno al suo lato perpendicolare alle basi?
4) Una piramide che ha per base un rettangolo può essere retta? Giustificare la
risposta
5) Le facce del solido a fianco che tipo
di poligoni sono?
6) Il poligono ABCD rappresenta in scala la pianta del salone di un ristorante; si sa che ogni
quadretto ha lato di misura 2 cm e che nella realtà il lato BC misura 24 m
•
•
Calcolare la scala
Calcolare l’area del poligono e l’area del salone; in che rapporto stanno?
7) I due triangoli in figura si corrispondono in una rotazione. Qual è il centro? Il senso è orario o
antiorario? Quanto vale l’angolo di rotazione? Se l’angolo ABC misura 111°30’ quanto misura
l’angolo ABE? Perché?
8) Disegnare il simmetrico di ABCD rispetto al punto E; se l’angolo BAD
misura 71°30’ quanto misurano gli altri angoli del parallelogramma? Perché?
9) Una piramide retta ha per base un poligono regolare ed ha 6 facce. Qual è
la sua base?
a) Verificare per tale solido la relazione di Eulero
b) disegnare uno sviluppo piano del solido in questione.
10) Nella figura quadrettata è rappresentato il poligono ABCDE; si sa che ogni
quadretto ha lato di misura 20 cm
a) Il poligono è concavo o convesso? Spiegare
b)calcolare l’area del poligono ed esprimerla in m2.
c) calcolare il perimetro di un quadrato equivalente ai
2
9
del poligono
11) La maestra vuole realizzare con i suoi alunni la piantina della classe, che è lunga
6 m e larga 8 m. I fogli che ha a disposizione sono dei fogli a quadretti di
dimensioni 25𝑐𝑚 × 32𝑐𝑚.
a)Quale scala deve essere utilizzata per occupare quanto più possibile il foglio?
b)Se i banchi di scuola hanno dimensioni 50𝑐𝑚 × 70𝑐𝑚 quale area occupano sulla
piantina?