Geometria euclidea dello spazio
Presentazione n. 5
Poliedri
Prof. Daniele Ippolito
Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia
Poliedri
Un poliedro è un solido delimitato da una superficie formata da
un numero finito di poligoni convessi situati in piani diversi,
in modo che ogni lato sia comune a due di essi.
I poligoni che delimitano il poliedro sono detti facce.
I lati delle facce sono detti spigoli.
I vertici delle facce sono vertici del poliedro.
Nella maggior parte dei casi, ci occuperemo di poliedri
convessi.
Teorema di Eulero
In ogni poliedro convesso, detti F il numero di facce, V il
numero di vertici e S il numero di spigoli,
F+V–S=2
F = 6, V = 8, S = 12
F = 5, V = 6, S = 9
F = 5, V = 5, S = 8
Prisma
Dato un poligono convesso, si considera un insieme di rette
parallele, incidenti al piano del poligono e passanti per i suoi
vertici. Tali rette, prese a coppie, definiscono un insieme di
facce piane, detto superficie prismatica indefinita.
Si dice prisma indefinito il poliedro
delimitato da una superficie
prismatica indefinita.
Si dice prisma (finito) una parte di
prisma indefinito delimitata da due
piani paralleli al poligono di
partenza.
h
Le facce parallele al poligono di
partenza si dicono basi del prisma.
Le altre facce sono dette facce
laterali (sono parallelogrammi).
La distanza tra le due basi è detta
altezza del prisma.
Si chiamano diagonali del prisma i segmenti che uniscono due
vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Un prisma si dice retto se le sue facce
laterali sono perpendicolari alle basi
(sono rettangoli).
Un prisma si dice regolare se è retto e
se le sue basi sono poligoni regolari.
Parallelepipedi
Il parallelepipedo è un prisma avente
per basi due parallelogrammi.
Il parallelepipedo rettangolo è un
parallelepipedo avente facce
rettangolari.
Il cubo è un parallelepipedo
rettangolo avente facce quadrate.
d
l
d
Angoloide
Dato un poligono convesso, si considera un insieme di
semirette aventi origine in un medesimo punto, esterno al
piano del poligono, e passanti per i suoi vertici. Tali semirette,
prese a coppie, definiscono un insieme di facce piane, detto
angoloide.
L’origine delle semirette è detto
vertice dell’angoloide.
Le semirette
dell’angoloide.
sono
gli
spigoli
Gli angoli definiti da una coppia di
spigoli consecutivi sono detti facce
dell’angoloide.
Proprietà delle facce di un angoloide:
1) In un angoloide, ogni faccia (angolo) è
minore della somma delle rimanenti.
2) In un angoloide, la somma delle facce è
minore di un angolo giro.
Un angoloide a tre spigoli si dice triedro.
Per un triedro, la prima proprietà delle
facce è l’equivalente nello spazio della
diseguaglianza tra i lati di un triangolo.
Piramide
Si dice piramide un
poliedro delimitato da una
parte
di
angoloide
compresa tra il vertice e
un piano che interseca
tutti gli spigoli.
La faccia parallela al poligono di partenza si dice base della
piramide. Le altre facce sono dette facce laterali.
L’origine delle semirette è detto vertice della piramide.
La distanza tra il vertice e la base è detta altezza della piramide.
Piramidi rette
Se nella base è inscrivibile una
circonferenza, una piramide si dice retta
se la perpendicolare dal vertice alla base
passa per il centro della circonferenza.
Per il teorema delle tre perpendicolari, VK
è perpendicolare ad AB, quindi è l’altezza
della faccia laterale VAB.
V
H
A
K
B
Ripetendo il ragionamento per le altre facce, si dimostra che le
altezze delle facce laterali sono congruenti.
In una piramide retta, l’altezza di ciascuna faccia laterale è detta
apotema della piramide (o apotema laterale).
Piramidi regolari
Una piramide si dice regolare se è retta
e la sua base è un poligono regolare.
Il raggio della circonferenza inscritta
nella base è detta apotema di base.
Vale la relazione pitagorica: h2 + r2 = a2
Si può dimostrare facilmente che gli spigoli laterali e le facce
laterali di una piramide regolare sono congruenti.
Tronco di piramide
Un tronco di piramide
si ottiene sezionando
una piramide con un
piano parallelo alla
base.
Le facce laterali del tronco di piramide sono trapezi.
La distanza tra le due basi è detta altezza del tronco.
Se la piramide originaria del tronco è retta, le altezze dei trapezi
sono congruenti e sono dette apotema del tronco.
Richiamo di geometria piana: poligoni regolari
Un poligono si dice regolare se ha angoli e lati congruenti.
Esistono infiniti poligoni regolari.
Poliedri regolari
Un poliedro convesso si dice poliedro regolare (solido
platonico) se ha per facce poligoni convessi regolari congruenti
e se in ogni vertice concorre lo stesso numero di facce.
Esistono cinque poliedri regolari:
Tetraedro
Esaedro
Dodecaedro
Ottaedro
Icosaedro
Perché sono possibili solo cinque poliedri regolari?
Tipo di facce
concorrenti
in un vertice
Ampiezza
di ogni
faccia
Condizione
sulla somma
delle
ampiezze
delle facce
Valori
possibili per
il numero n
di facce
concorrenti
in un vertice
Solido
platonico
Tetraedro
Ottaedro
Icosaedro
Triangoli
equilateri
60°
n ∙ 60° < 360°
n=3
n=4
n=5
Quadrati
90°
n ∙ 90° < 360°
n=3
Cubo
Pentagoni
regolari
108°
n ∙ 108° < 360°
n=3
Dodecaedro
Esagoni
regolari
120°
n ∙ 120° < 360°
nessuno
Solido
platonico
Figura
F
S
V
Tetraedro
4
6
4
Cubo
6
12
8
Ottaedro
8
12
6
Dodecaedro
12
30
20
Icosaedro
20
30
12
Proprietà dei poliedri regolari:
1) Un poliedro regolare ha
angoloidi e diedri congruenti.
2) Un poliedro regolare è
inscrivibile e circoscrivibile ad
una sfera. Sfera inscritta e
sfera circoscritta hanno lo
stesso centro, detto centro del
poliedro regolare.
Disegno di Keplero nel Mysterium
Cosmographicum (1596)
3) Congiungendo i baricentri di ciascuna faccia di ogni poliedro
regolare, si ottiene un altro poliedro regolare, detto duale
dell’originario.
