Corso di Analisi Matematica T-B
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Anno Accademico 2012/13
Esercizi
A) Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
√
3−i
3 + i)3
(2
1.
√
6.
4−i
3−i
2+i
2.
2i − 3
7. e−2+3i
3.
(3 + i)2
1−i
8. e(2+i)
4.
2−i
2+i
9. e(1−i)
5.
4 − 3i
(2 + i)2
10.
3
6
e2+i
e3−2i
B) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:
√
1−i
1. 3 − i
9. √
( 3 − i)4
2. −1 − 3i
3. −1 + 3i
4.
10.
1
√
−1 + 3 i
11. 3e2−4i
−1 + 2i
5.
4i
√
6. (− 3 + i)7
12. e3−2i
7. (1 + 4i)6
8.
(1 + 2i)(1 + i)8
(4i)2
2
2
13. e(3−2i)
(1 + i)5
√
(1 − 3 i)3
14. (1 − i)e2+i
C) Calcolare le radici quadrate e cubiche dei seguenti numeri complessi:
1. −3
4. 1 − i
2. −i
5. −1 − 2i
3. 1 −
√
6. 2 + i
3i
1
D) Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso:
2
1
1. z 2 + z + 8 = 0
11. z +
= (1 − i)4
z
2. z 2 + iz − 2 = 0
√
3
3 1
2
2
3. z + 2z + 1 + 2i = 0
− i = −i
12. z +
2
2
√
2
4. (3 + 3i)z + 5(2 − 2i)z + 1 + i = 0
13. ez = −4i
√
√
5. 2z 2 + 2( 3 + 3i)z − 1 + 3 i = 0
14. ez = −3 + 2i
√
6. z 2 + 2 2 iz − 1 − i = 0
15. eiz = 2 − 2i
7. z 3 + iz = 0
16. e(2+i)z = 1
8. z 6 − 7z 3 − 8 = 0
17. e2z + 6ez + 9 + 2i = 0
9.
10.
z−i
2z + i
2
z 2 + 3iz
z2 + 2
18. eiz + 4e−iz = −2
= 8i
2
19. ez + e−z = ie−z + i − 2
=1
20. e2z + 4
2
3
= e2z − 4
3
Soluzioni
A)
√
19 53 3
+
i
6.
4
4
1
13
−
i
1.
17 17
2. −
4
7
−
i
13 13
7. e−2 cos 3 + i e−2 sin 3
8. e2 cos 11 + i e2 sin 11
3. 1 + 7i
4.
3 4
− i
5 5
9. cos 8 + i sin 8
10. e−1 cos 3 + i e−1 sin 3
5. −i
B)
π
π
1 8. √ cos + i sin
4
4
2
11 11 1. 2 cos
π + i sin
π
6
6
√
2. 10 cos(arctan 3+π)+i sin(arctan 3+π)
3.
4.
5.
6.
7.
C)
√
10 cos(π−arctan 3)+i sin(π−arctan 3)
2 2 1
cos − π + i sin − π
2
3
3
√ 5
1
1
cos arctan
+ i sin arctan
4
2
2
π
π 128 cos −
+ i sin −
6
6
173 cos(6 arctan 4) + i sin(6 arctan 4)
1
9. √
8 2
10.
√
5 5 cos
π + i sin
π
12
12
5 cos(π+arctan 2)+i sin(π+arctan 2)
11. 3e2 cos(−4) + i sin(−4)
12. e6 cos(−4) + i sin(−4)
13. e5 cos(−12) + i sin(−12)
√ π
π 14. e 2 cos 1 −
+ i sin 1 −
4
4
2
√
1. ± 3 i ;
√
√
3
3
√
3 35/6
3 35/6
3
+
i, − 3,
−
i
2
2
2
2
1
1 2. ± √ − √ i ;
2
2√
√
3 1
3 1
− i, i, −
− i
2
2
2
2
r
3
1 3. ±
−√ i ;
2
2
5 + 6k √
5 + 6k 3
2 cos
π + i sin
π
,
9
9
k = 0, 1, 2
7 7
4. ±2 cos π + i sin π
;
8
8
7 1
7 6
π + i sin
π
,
2 cos
12
12
1
1
−√
−√
i,
3
3
2
2
23 1
23 6
π + i sin
π
2 cos
12
12
1
4
arctan 2 + π arctan 2 + π
5. ±5 cos
;
+i sin
2
2
1
arctan 2 + kπ
arctan 2 + kπ
,
+ i sin
5 6 cos
3
3
k = 1, 3, 5
1
4
3
arctan 21 arctan 21
;
+ i sin
6. ±5 cos
2
2
arctan 12 + 2kπ arctan 12 + 2kπ
5 cos
,
+i sin
3
3
k = 0, 1, 2
1
6
1
4
D)
√
√
31
31
1
1
1. − −
i, − +
i
2
2
2
2
√
√
7 1
7 1
2.
− i, −
− i
2
2
2
2
11. ±
√
2+1 i, ± 2−1 i
√
1/4
4
3
33/4
3
12. 0 , ± √ i , ±
+
i
2
2
2
3. −2 + i , −i
√
√
√
√
5+2 2
5−2 2
i,
i
4.
3
3
√
√
√
2− 3
6−3
5.
+
i,
√ 2√
√ 2
2+ 3
6+3
−
−
i
2
2
3 3 √
1/4
1/4
,
6. 2 cos π + i − 2 + 2 sin π
8
8
3 3 √
1/4
1/4
−2 cos π + i − 2 − 2 sin π
8
8
1
13. log 4 + 2k −
πi , k ∈ Z
2
log 13 2
14.
+ (2k + 1)π − arctan i , k ∈ Z
2
3
15.
log 8
1
π−
i, k ∈ Z
2k −
4
2
16.
2k
4k
π+
πi , k ∈ Z
5
5
1
log 5 + arctan + (2k + 1)π i ,
2
2
1
log 17 + − arctan + (2k + 1)π i , k ∈ Z
2
4
17.
1
1
1
1
7. 0 , √ − √ i , − √ + √ i
2
2
2
2
√
√
1
1
3
3
i, −
i, 2,
8. −1 , +
2 √2
2
√ 2
−1 + 3 i , −1 − 3 i
2
2
π +2kπ −log 2 i , − π +2kπ −log 2 i ,
3
3
k∈Z
18.
19. (2k + 1)π i ,
13
6
17
6
−
i, −
−
i
9.
41 41
25 25
10. −2i ,
√
2
1
i, − i
2
3
20.
4
log 2 3
+
+ 2k π i , k ∈ Z
2
4
4
1
1 + 2k
log √ +
πi, k ∈ Z
2
4
3
