Corso di Laurea triennale in Matematica
a.a. 2016-17 (06.01.2017)
Programma del corso di Analisi Matematica 2
La struttura topologica di IRn .
Richiami sulla struttura di spazio vettoriale, di spazio affine e sul prodotto scalare. Struttura di spazio
metrico; palle aperte. Struttura di spazio topologico: insiemi aperti; insiemi chiusi; interno, frontiera,
derivato e chiusura di un sottoinsieme di IRn ; il teorema di Bolzano-Weierstrass (cd); compattezza (per
ricoprimenti); il teorema di Heine-Borel. Successioni in IRn , convergenza, legame con le successioni
componenti (cd), comportamento rispetto alle combinazioni lineari e al prodotto scalare (cd), sottosuccessioni, successioni di Cauchy e loro convergenza, successioni e chiusura di un insieme (teorema 4.4
pag. 218/194), compattezza per successioni e legame con la compattezza (per ricoprimenti); aperti
connessi (ndd sui massimi e i minimi vincolati).
PS1 prima edizione: 117-123, 125-130, 134-141, 144-146, 216-219.
PS1 seconda edizione: 103-115, 118-125, 128-129, 193-195.
Funzioni da un sottoinsieme di IRn in IRm .
Funzioni componenti, grafico di una funzione, insiemi di livello (linee e superfici di livello) nel caso
m = 1. Definizione di limite, legame con le funzioni componenti (cd), comportamento rispetto alle
operazioni elementari, unicità e permanenza del segno; come studiare il limite nel caso n = 2 e m = 1
mediante le coordinate polari. Definizione di continuità, legame con le funzioni componenti, comportamento rispetto alle operazioni elementari e al prodotto scalare, continuità della composizione. Funzioni
continue su un compatto, i teoremi di Heine-Cantor e di Weierstrass. Esempi di funzioni continue: le
funzioni affini e le funzioni elementari.
PS1 prima edizione: 210-215, 235-240, 408, 425.
PS1 seconda edizione: 187-192, 211-215, 365, 380.
Derivate e differenziali.
Funzioni a valori in IR: derivate direzionali, derivate parziali e gradiente; differenziabilità, legame tra le
derivate direzionali e il gradiente (formula del gradiente), iperpiano tangente al grafico di una funzione;
legami tra continuità, derivabilità e differenziabilità (cd); condizione sufficiente per la differenziabilità
(cd); direzione di massima crescita di una funzione; differenziale di una funzione. Derivate parziali
seconde, teorema di Schwarz, differenziale secondo, matrice Hessiana.
Funzioni a valori in IRm : derivate direzionali e parziali, differenziabilità e sua equivalenza con la differenziabilità le funzioni componenti, matrice Jacobiana e determinante Jacobiano. Differenziale di
funzioni composte (regola della catena). Esempi: parametrizzazioni di curve e superfici, trasformazioni
di coordinate (coordinate polari, cilindriche e sferiche) e campi vettoriali.
Il teorema del valor medio di Lagrange (ndd, cd) e la formula di Taylor sino al differenziale secondo
(ndd), caratterizzazione delle funzioni costanti in un aperto connesso (ndd, cd).
PS1 prima edizione: 349-363, 378-387; nota del docente.
PS1 seconda edizione: 313-325, 338-346; nota del docente.
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Corso di Laurea triennale in Matematica
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I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita.
Il teorema della funzione inversa, il teorema della funzione implicita (cd); retta (risp. piano) tangente
ad una curva (risp. superficie) definita implicitamente; ortogonalità del gradiente rispetto alle linee
(risp. superfici) di livello (cd).
PS1 prima edizione: 391-393, 401-411, 423-426.
PS1 seconda edizione: 349-352, 359-367, 377-380.
Massimi e minimi.
Definizioni di punto di: minimo assoluto, massimo assoluto, minimo relativo, massimo relativo; definizione di punto stazionario e legame con i punti di estremo relativo (cd); definizione di punto di sella; matrici
simmetriche e autovalori (definizione 4 e proposizione 1 in ndd), test delle derivate seconde (teorema
2 in ndd, cd).
Nota del docente.
Massimi e minimi vincolati.
Definizioni di punto di: minimo assoluto vincolato, massimo assoluto vincolato, minimo relativo vincolato, massimo relativo vincolato; definizione di punto stazionario vincolato e legame con i punti di
estremo relativo vincolato (cd), il metodo dei moltiplicatori di Lagrange in due e tre variabili.
Nota del docente.
Integrali doppi e tripli.
Definizione di integrabilità secondo Riemann, misurabilità e misura secondo Peano-Jordan, classi di
funzioni integrabili (ndd) e proprietà dell’integrale; formule di riduzione in un rettangolo (teorema 1.4),
regioni semplici nel piano, formule di riduzione nelle regioni semplici del piano (proposizione 1.9), formule di riduzione in un parallelepipedo (proposizione 3 in ndd), regioni semplici nello spazio, integrazione
per segmenti e per strati nello spazio (ndd); formula per il cambiamento di coordinate (in particolare
in coordinate affini, polari, cilindriche e sferiche).
PS2 prima edizione: 325-332, 334-335, 337-349, 355-360, 362-365; nota del docente.
PS2 seconda edizione: 295-301, 303-304, 306-316, 321-326, 328-330; nota del docente.
Integrali su curve e superfici.
Curve regolari, regolari a tratti, semplici e chiuse; vettore velocità, velocità scalare, versore tangente;
orientazione; lunghezza di una curva regolare a tratti, integrale di una funzione definita su una curva
regolare a tratti (integrale curvilineo di prima specie).
Esempi: rette, circonferenze e grafici di funzioni.
Superfici regolari, regolari a pezzi, semplici; vettori tangenti alle linee coordinate sulla superficie, versore
normale, orientabilità e orientazione; bordo e superfici chiuse (cenni); area di una superficie regolare o
regolare a pezzi, integrale di una funzione definita su una superficie regolare a pezzi (integrale superficiale di prima specie).
Esempi: sfera e grafici di funzioni.
PS2 prima edizione: 6-13, 18, 20, 37-39, 437-444, 446-448, 451-455, 459-463.
PS2 seconda edizione: 6-12, 16, 18, 33-34, 399-405, 407-408, 411-414, 418-421.
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Forme differenziali lineari in IR2 e in IR3 .
Base negli spazi vettoriali duali (IR2 )∗ e (IR3 )∗ , campi vettoriali e forme differenziali lineari, legame
con il differenziale di una funzione; lavoro di un campo vettoriale e integrale di una forma differenziale lineare (integrale curvilineo di seconda specie), dipendenza dall’orientazione della curva, proprietà
dell’integrale di una forma forme differenziali lineari (risp. campi vettoriali) esatte (risp. conservativi),
primitive (risp. funzioni potenziale), caratterizzazione delle forme differenziali esatte (teorema 1 in ndd,
cd), forme chiuse (risp. campi irrotazionali, rotore di un campo in IR3 ) e legame con le forme esatte
(cd); insiemi aperti semplicemente connessi nel piano e nello spazio, esattezza di una forma chiusa in
un aperto semplicemente connesso (cd); calcolo delle primitive.
Nota del docente.
I teoremi di Gauss-Green, della divergenza e di Stokes.
Il teorema di Gauss-Green (cd), insiemi semplicemente decomponibili.
Il flusso di un campo vettoriale; divergenza di un campo vettoriale; il teorema della divergenza.
Il teorema di Stokes (cd).
PS2 prima edizione: 491-494, 499-503, 509-513.
PS2 seconda edizione: 446-449, 454-457, 462-465.
PS1 : Analisi Matematica, Volume 1, C.D. Pagani, S. Salsa. Zanichelli (prima o seconda edizione)
PS2 : Analisi Matematica, Volume 2, C.D. Pagani, S. Salsa. Zanichelli (prima o seconda edizione)
ndd : nota del docente
cd : con dimostrazione
Docente: Fabrizio Cuccu,
Dipartimento di Matematica e Informatica,
Palazzo delle Scienze, via Ospedale 72, 09124 Cagliari, email: [email protected], tel. 0706758510
http://people.unica.it/fabriziocuccu/didattica/analisi-matematica-2/
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