compattezza - Math Unipd

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COMPATTEZZA
Sia X un sottoinsieme
∪di R. Una famiglia A di sottoinsiemi aperti di R si dice ricoprimento
aperto di X se X ⊆ A, cioè se X è contenuto nell’unione degli elementi di A.
Una sottofamiglia di un ricoprimento aperto di X che sia essa stessa un ricoprimento si
chiama sottoricoprimento aperto di X.
Il sottoinsieme X si dice compatto se da ogni suo ricoprimento aperto si può estrarre un
sottoricoprimento finito.
Si dice che una famiglia F di chiusi di R ha la proprietà dell’intersezione finita in X se,
comunque preso un numero finito F1 , . . . , Fn di elementi di F, esiste un punto b ∈ X tale
che b ∈ F1 ∩ . . . ∩ Fn , ovvero F1 ∩ . . . ∩ Fn ∩ X ̸= ∅.
∩
Si dice che F ha intersezione non vuota in X se ( F) ∩ X ̸= ∅.
Proposizione 1 Sia X un sottoinsieme di R. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) X è compatto, cioè ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
ii) se una famiglia di chiusi ha intersezione vuota in X, allora essa non può avere la
proprietà dell’intersezione finita in X.
iii) ogni famiglia di chiusi con la proprietà dell’intersezione finita in X ha intersezione
non vuota in X.
Dimostrazione. i) ⇒ ii) Sia F ∩
una famiglia di chiusi ∩non vuoti di R che ha intersezione vuota in X, cioè tale che (∪ F) ∩ X = ∅. Allora {F : F ∈ F} ⊆ R \ X. Passando ai complementari si ottiene {R \ F : F ∈ F} ⊇ X. Dunque la famiglia di aperti
A = {R \ F : F ∈ F} è un ricoprimento aperto di X. Per la compattezza, A ammette un
sottoricoprimento aperto finito, diciamo:
{R \ F1 , R \ F2 , . . . , R \ Fn : Fi ∈ F per i = 1, . . . , n}
Dunque:
(R \ F1 ) ∪ (R \ F2 ) ∪ . . . ∪ (R \ Fn ) ⊇ X
Passando ai complementari otteniamo:
F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fn ⊆ R \ X
Perciò la famiglia di chiusi F, che aveva intersezione vuota in X, non può avere la proprietà
dell’intersezione finita in X.
ii) ⇒ i) Sia A un ricoprimento aperto di X. Allora la famiglia di chiusi
F = {R \ A : A ∈ A}
è una famiglia di chiusi che ha intersezione vuota in X. Infatti:
∩
∩
∪
( F) ∩ X = {R \ A : A ∈ A} ∩ X = (R \
A) ∩ X = ∅
∪
perché A ⊇ X. Per la ii), la famiglia F non può avere la proprietà dell’intersezione
finita in X, e quindi esistono R \ A1 , . . . , R \ An con Ai ∈ A ∀i, tale che:
(R \ A1 ) ∩ (R \ A2 ) ∩ . . . ∩ (R \ An ) ∩ X = ∅
2
Dunque (R \ A1 ) ∩ (R \ A2 ) ∩ . . . ∩ (R \ An ) ⊆ R \ X. Passando ai complementari si ottiene:
A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ⊇ X
Dunque {A1 , . . . , An } è il sottoricoprimento finito cercato.
ii) ⇔ iii) Ovvio.
Nota 2 La prop. 1 sussiste pari pari per un sottoinsieme X di uno spazio topologico Y .
Teorema 3 Sia X ⊆ R. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) X è chiuso e limitato.
ii) X è compatto.
Dimostrazione. i) ⇒ ii) Per la iii) della prop. 1 basta dimostrare che ogni famiglia di
chiusi con la proprietà dell’intersezione finita in X ha intersezione non vuota in X.
Sia F una famiglia di chiusi con la proprietà dell’intersezione finita in X; vogliamo dimostrare che esiste b tale che b ∈ F ∩ X per ogni F ∈ F. Consideriamo la famiglia di
chiusi:
G = {F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fn ∩ X : Fi ∈ F, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N}
La famiglia G è costituita dalle intersezioni finite degli elementi di F con X.
Si osservi che G è una famiglia di chiusi limitati e non vuoti e inoltre G è chiusa per
l’intersezione finita, cioè se G1 , G2 ∈ G allora G1 ∩ G2 ∈ G.
Per ogni F ∈ G si ponga bF = max F . Si osservi che se F1 , F2 ∈ G ed F2 ⊆ F1 allora
max F2 ≤ max F1 , cioè bF2 ≤ bF1 .
Poiché gli elementi di G sono sottoinsiemi di X, che è limitato, il sottoinsieme {bF : F ∈ G}
è inferiormente limitato. Sia b = inf{bF : F ∈ G}. Vogliamo dimostrare che b ∈ G per ogni
G ∈ G, da cui si ottiene in particolare che b ∈ F ∩ X ∀F ∈ F.
Se per assurdo esistesse G0 ∈ G tale che b ̸∈ G0 , poiché G0 è chiuso (ovvero R \ G0 è
aperto), esisterebbe un intervallo [b − δ, b + δ] di centro b e disgiunto da G0 , cioè con:
[b − δ, b + δ] ∩ G0 = ∅
Preso F ∈ G si ha bF ∩G0 ≤ bF . Ma bF ∩G0 ∈ F ∩ G0 ⊆ G0 .
Poiché b ≤ bF ∩G0 e [b, b + δ] ∩ G0 = ∅ si ottiene b + δ ≤ bF ∩G0 ≤ bF .
Ma allora b + δ ≤ bF ∀ F ∈ G, in contraddizione con la seconda proprietà dell’estremo
inferiore.
ii) ⇒ i) Consideriamo il ricoprimento aperto di R costituito dalla famiglia di tutti gli
intervalli aperti limitati:
I = {I : I è un intervallo aperto limitato di R}
∪
Poiché X ⊆ R = I abbiamo che I è un ricoprimento aperto di X. Poiché X è compatto, da I si può estrarre un sottoricoprimento aperto finito, diciamo {I1 , . . . , In }. Pertanto
X ⊆ I1 ∪ . . . ∪ In . Poiché una unione finita di insiemi limitati è un insieme limitato, si
ottiene che X è limitato.
Per vedere che X è chiuso, dimostriamo che R \ X è aperto.
Sia c ∈ R \ X. Siccome R è di Hausdorff, per ogni x ∈ X esistono un intorno aperto Vx
di c e un intorno aperto Ux di x tali che Ux ∩ Vx = ∅.
La famiglia U = {Ux : x ∈ X} è un ricoprimento aperto di X e quindi essa ammette un
3
sottoricoprimento finito {Ux1 , . . . , Uxn : x1 , . . . , xn ∈ X}. Per definizione di sottoricoprimento si ha X ⊆ Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn . Posto W = Vx1 ∩ . . . ∩ Vxn , l’insieme W è intorno aperto
di c perché intersezione finita di intorni aperti. Dalle precedenti considerazioni si ottiene:
W ∩X ⊆ W ∩(Ux1 ∪. . .∪Uxn ) = (W ∩Ux1 )∪. . .∪(W ∩Uxn ) ⊆ (Vx1 ∩Ux1 )∪. . .∪(Vxn ∩Uxn ) = ∅
Pertanto per ogni c ∈ R \ X esiste un intorno aperto Wc di c disgiunto da X. Ciò significa
che R \ X è unione di aperti, e quindi è aperto.
Nel teor. 3, quando in ii) ⇒ i) abbiamo dimostrato che se X è compatto in R allora X è
chiuso, abbiamo usato solo il fatto che R è di Hausdorff. Scriviamo questo fatto in generale
nella seguente proposizione.
Proposizione 4 Se Y è uno spazio di Hausdorff e X è un sottoinsieme compatto di Y
allora X è chiuso.
Vale anche una specie di viceversa.
Proposizione 5 Se Y è uno spazio compatto e X è un sottoinsieme chiuso allora anche
X è compatto.
Dimostrazione. Sia A un ricoprimento aperto di X, formato da sottoinsiemi aperti di Y .
Siccome Y \ X è aperto, la famiglia di aperti
B = A ∪ {Y \ X}
è un ricoprimento aperto di Y . Poiché Y è compatto, il ricoprimento B ammette un
sottoricoprimento finito di Y , diciamo:
{A1 , . . . , An : A1 , . . . , An ∈ A} ∪ {Y \ X}
dove se Y \ X non ci stava lo abbiamo aggiunto. Poiché Y \ X è disgiunto da X, si ottiene
che {A1 , . . . , An } è la sottofamiglia finita di A che serve per coprire X.
Esercizio. Dimostrare che R̃ è compatto, cioè che ogni ricoprimento aperto di R̃ ammette
un sottoricoprimento finito.
Il seguente corollario si chiama principio di Cantor.
Corollario 6 Sia F1 ⊇ F2 ⊇ . . . ⊇ Fn ⊇ Fn+1 ⊇ . . . una successione decrescente di chiusi
non vuoti di R. Se F1 è limitato, allora:
∞
∩
Fn ̸= ∅
n=1
Dimostrazione. F1 è compatto e la famiglia F = {Fn : n ∈ N≥1 } ha la proprietà
dell’intersezione finita in F1 , perché ogni intersezione finita è l’elemento di indice massimo.
Esercizio. Dimostrare che nel principio di Cantor è essenziale che almeno uno dei chiusi
sia limitato.
Esercizio.
Nelle ipotesi del principio di Cantor si ponga αn = min Fn e βn = max Fn .
∞
∩
Dimostrare che se inf n (βn − αn ) = 0, allora
Fn si riduce a un singoletto.
n=1
Esercizio. Dare un esempio di una successione decrescente di aperti non vuoti limitati
la cui intersezione sia vuota.
4
Teorema 7 (Teorema di Bolzano) Sia X un sottoinsieme compatto di uno spazio di
Hausdorff Y e sia E un sottoinsieme infinito di X. Allora esiste un punto p ∈ X tale che
p è di accumulazione per E.
Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo, supponendo che E non abbia punti di accumulazione in X. Allora per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto Ux di x tale che Ux ∩ E
è finito. La famiglia di aperti {Ux : x ∈ X} è un ricoprimento aperto di X; per la compattezza essa ammette un sottoricoprimento finito di X, diciamo {Ux1 , . . . , Uxn }.. Allora
X ⊆ Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn . Poiché E ⊆ X si ha:
E = E ∩ X ⊆ E ∩ (Ux1 ∪ . . . ∪ Uxn ) = (E ∩ Ux1 ) ∪ . . . ∪ (E ∩ Uxn ) = finito ∪ . . . ∪ finito,
contraddizione perché E è infinito.
Corollario 8 Se E è un sottoinsieme infinito e limitato di R, allora E ammette un punto
di accumulazione in R.
Dimostrazione. Essendo E limitato, esiste un intervallo compatto [a, b] per cui E ⊆ [a, b].
Per il teorema (7) E ammette un punto di accumulazione in [a, b].
Esercizio. Dimostrare che ogni sottoinsieme infinito di R ammette un punto di accumulazione in R̃.
Teorema 9 Sia X ⊆ R. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) X è chiuso e limitato.
ii) X è compatto.
iii) X è numerabilmente compatto, cioè ogni sottoinsieme infinito di X ammette un
punto di accumulazione in X.
iv) X è sequenzialmente compatto, cioè ogni successione a valori in X ammette una
sottosuccessione convergente a un punto di X.
Dimostrazione. i) ⇒ ii) V. teorema (3).
ii) ⇒ iii) V. teorema (7).
iii) ⇒ iv) Sia (pj )j≥1 una successione di punti di X. Consideriamo l’insieme dei valori:
E = {p1 , p2 , . . . , pj , . . . : j ∈ N≥1 }
Se E è finito, detto m il numero di elementi, si avrà E = {q1 , . . . , qm }. Poniamo:
N1 = {j ≥ 1 : pj = q1 }
N2 = {j ≥ 1 : pj = q2 }
... = ...
Nm = {j ≥ 1 : pj = qm }
Uno dei sottoinsiemi N1 , N2 , . . . , Nm deve essere infinito, per esempio N1 . Gli indici di N1
possono essere scritti in successione crescente N1 = {n1 < n2 < . . . < nj < nj+1 < . . .}.
Poiché pnj = q1 ∀j, si ottiene che la sottosuccessione costante (pnj )j≥1 converge al punto
q1 ∈ X.
Se E è infinito, per la iii) esiste un punto c ∈ X tale che c è di accumulazione per E.
5
Allora la palla chiusa B(c, 1] contiene un punto di E, diciamo pn1 . Poiché la palla chiusa
di centro c e raggio 21 contiene infiniti punti di E, esiste un punto appartenente a
1
(E \ {pj : j ≤ n1 }) ∩ B(c, ]
2
Chiamiamo pn2 questo punto; per la scelta fatta, deve essere n2 > n1 . Procedendo per
induzione, se siamo arrivati fino all’indice k, possiamo scegliere un punto appartenente a:
(E \ {pj : j ≤ nk }) ∩ B(c,
1
]
k+1
Chiamiamo pnk+1 questo punto; per la scelta fatta deve essere nk+1 > nk . Poiché la successione di indici nk è crescente, la successione (pnk )k≥1 è una sottosuccessione della successione (pj )j≥1 . Poiché |pnk − c| ≤ k1 passando al limite si ottiene che la sottosuccessione
(pnk )k≥1 converge al punto c ∈ X.
iv) ⇒ i) V. [GDM, 10.5.2, necessità] o anche iv) ⇒ i) nella prossima dimostrazione.
Corollario 10 Ogni successione limitata di numeri reali ammette una sottosuccessione
convergente.
Dimostrazione. Sia E l’insieme dei valori della successione. Poiché E è limitato esso è
contenuto in un intervallo compatto [a, b] . . .
Il teorema (9) si estende anche agli spazi euclidei Rn . Enunciamolo e dimostriamolo per R2 .
Teorema 11 (Fondamentale) Sia X ⊆ R2 . Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) X è chiuso e limitato.
ii) X è compatto.
iii) X è numerabilmente compatto, cioè ogni sottoinsieme infinito di X ammette un
punto di accumulazione in X.
iv) X è sequenzialmente compatto, cioè ogni successione a valori in X ammette una
sottosuccessione convergente a un punto di X.
Dimostrazione. i) ⇒ ii) Siccome X è limitato, esso è contenuto in una palla quadrata
chiusa Y = [a, b] × [a, b]. Poiché l’invervallo chiuso e limitato [a, b] è compatto, per il
teorema di Tychonoff si ha che Y è compatto perché prodotto di compatti. Poiché X è
chiuso in R2 , si ha che X è chiuso in Y . Essendo Y compatto, per la prop. (5) si ottiene
che X è compatto perché sottoinsieme chiuso di un compatto.
ii) ⇒ iii) V. teorema (7).
iii) ⇒ iv) È una carbon copy di iii) ⇒ iv) nel teor. (9); l’unica differenza è che in R le
palle sono intervalli e in R2 le palle sono dischi.
iv) ⇒ i) Sia p ∈ X. Esiste allora una successione di punti di X convergente a p. Per la
compattezza sequenziale questa successione ammette una sottosuccessione convergente a
un punto q ∈ X. Poiché ogni sottosuccessione di una successione convergente ha lo stesso
limite, si ottiene p = q ∈ X e dunque X = X.
Se X non fosse limitato, per ogni j ∈ N esisterebbe pj ∈ X tale che |pj | > j. Ma allora
la successione (pj )j∈N non potrebbe avere sottosuccessioni limitate, e quindi nemmeno
sottosuccessioni convergenti, contraddizione.
Corollario 12 Ogni successione limitata di punti del piano R2 ammette una sottosuccessione convergente. Ogni sottoinsieme infinito e limitato di punti di R2 ammette un punto
di accumulazione.
6
Dimostrazione. Sia E l’insieme dei valori della successione, oppure il sottoinsieme
infinito e limitato. Poiché E è limitato, esso è contenuto in una palla quadrata chiusa Y = [a, b] × [a, b]. Essendo Y compatto, esso è anche sequenzialmente compatto e
numerabilmente compatto . . .
Teorema 13 Sia X uno spazio metrico. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) X è compatto.
ii) X è numerabilmente compatto.
iii) X è sequenzialmente compatto.
Dimostrazione. i) ⇒ ii) È il teorema di Bolzano (7).
ii) ⇒ iii) È una carbon copy di iii) ⇒ iv) del teorema (9), con l’unica differenza che qui
abbiamo palle di un generico spazio metrico.
iii) ⇒ i) Difficile, omesso.
Il seguente teorema si chiama “teorema di ricoprimento di Lebesgue.
Teorema 14 Ogni ricoprimento aperto A di uno spazio metrico compatto (X, d) ammette
un numero di Lebesgue, cioè un numero δ > 0 tale che ogni sottoinsieme di diametro
minore di δ è contenuto in qualche elemento di A.
Dimostrazione. Per ogni x ∈ X esiste un numero δx > 0 tale che la palla B(x, δx [
è contenuta in qualche elemento di A. Siccome X è compatto, il ricoprimento aperto
{B(x, 21 δx [: x ∈ X} ammette un sottoricoprimento finito, cioè esiste un insieme finito
{x1 , . . . , xk } ⊆ X tale che:
1
1
X = B(x1 , δx1 [∪ . . . ∪ B(xk , δxk [
2
2
Allora δ = min{ 12 δx1 , . . . , 21 δxk } è il numero di Lebesgue cercato. Infatti supponiamo
diam E < δ. Fissato p ∈ E, esiste xj tale che p ∈ B(xj , 21 δxj [, cioè d(p, xj ) < 12 δxj . Allora
per ogni y ∈ E si ha:
1
1
d(y, xj ) ≤ d(y, p) + d(p, xj ) < δ + δxj ≤ 2 δxj
2
2
Pertanto E è contenuto nella palla B(xj , δxj [, che è contenuta in qualche elemento di A.
Definizione 15 Siano (X, d), (Y, ρ) spazi metrici. Una funzione f : X → Y si dice
uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che ogni qualvolta d(x1 , x2 ) < δ
si ha ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ε.
Corollario 16 Siano (X, d), (Y, ρ) spazi metrici. Se X è compatto, allora ogni funzione
continua f : X → Y è uniformemente continua.
Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto Ux di x
tale che per ogni z ∈ Ux si ha ρ(f (z), f (x)) < 12 ε. Di conseguenza per ogni x1 , x2 ∈ Ux
si ha ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ε. Sia δ > 0 un numero di Lebesgue per il ricoprimento aperto
{Ux : x ∈ X}. Consegue che se d(x1 , x2 ) < δ, allora {x1 , x2 } è contenuto in qualche
elemento Ux e quindi ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ε.
Esercizio. Dimostrare che ogni funzione lipschitziana è uniformemente continua. Dare
un esempio di una funzione uniformemente continua che non sia Lipschitziana.