Geometria e Topologia I 10 6 aprile 2005 30 Compattezza in spazi metrici ed euclidei (10.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: (i) C è compatto ( Heine-Borel). (ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in C ( BolzanoWeierstrass). (iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in C (i.e. C è compatto per successioni). Dimostrazione. Cominciamo a dimostrare che (i) =⇒ (ii), cioè che ¬(ii) =⇒ ¬(i). Se è vero 6= (ii), esiste un insieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun punto di accumulazione in C (cioè nessun punto di C è di accumulazione per A, e quindi in particolare nessun punto di A è di accumulazione per A). Questo significa che ogni a ∈ A non è di accumulazione, e quindi per ogni a ∈ A esiste un intorno aperto Ua di a tale che Ua ∩ A non contiene altri punti oltre ad a, cioè Ua ∩ A = {a} (10.2) Si consideri ora il ricoprimento aperto di A: A⊂ [ Ua . a∈A Per la (10.2), il ricoprimento {Ua } di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che se A è infinito anche il ricoprimento è infinito, risulta che A non è compatto. Per mostrare che C non è compatto, basta osservare che A è chiuso in C (dal momento che nessun punto di C è di accumulazione per A, la chiusura di A in C è uguale a A): se C fosse compatto anche A dovrebbe essere compatto, per (9.10). Quindi C non è compatto. Ora mostriamo che (ii) =⇒ (iii). Sia {xi }i∈J una successione di punti di C e A ⊂ C l’insieme dei punti di {xi }i∈J . Se A è un insieme finito, allora c’è (in modo banale) una sottosuccessione {xi }i∈J0 con J0 ⊂ J che converge in C: basta prendere una successione costante. Altrimenti, A è un insieme infinito, e dunque per (ii) esiste un punto x̄ ∈ C che è di accumulazione per A. Per definizione, questo vuol dire che per ogni > 0 l’intersezione B (x̄) ∩ (A r {x̄}) 6= ∅. Cioè, per ogni > 0 esiste y ∈ A, y 6= x̄ per cui y ∈ B (x̄) (ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = xn per qualche n). Dato che X è uno spazio metrico, segue che per ogni > 0 B (x̄)∩A ha infiniti punti (vedi anche esercizio (5.2)). Ora, definiamo la successione {nk } per induzione: si scelga y ∈ B1 (x̄) ∩ A. Allora esiste n1 tale che xn1 = y. 1 , ed allora esistono infinite scelte per Supponiamo di aver definito nk . Definiamo k+1 = k+1 y ∈ Bk+1 (x̄) ∩ A, dunque infinite soluzioni (intere) dell’equazione xn ∈ Bk+1 (x̄). D.L. Ferrario 6 aprile 2005 30 Geometria e Topologia I 6 aprile 2005 31 Dato che sono infinite, ne esiste una per n > nk , che chiamiamo nk+1 . È facile vedere che la sottosuccessione {xnk } converge a x̄ ∈ C. Infine mostriamo che (iii) =⇒ (i). Questa è la parte più difficile della dimostrazione. Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {Ui } di C costituito esclusivamente da intorni circolari Ui = Bri (ci ) e mostriamo che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ (x) è contenuto in qualche Ui (cioè, per ogni x ∈ C esiste Ui = Bri (ci ) tale che Bδ (x) ⊂ Bri (ci )). Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere vero che per ogni δ > 0 esiste x = x(δ) ∈ C tale che per ogni i Bδ (x) 6⊂ Bi . Consideriamo la successione δn = n1 . Allora, per ogni n ≥ 1 si può definire un elemento xn ∈ C per cui ∀i : Bδn (xn ) 6⊂ Ui . (10.3) Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii) è vera, e quindi la successione {xn } ammette una sottosuccessione {xnk } che converge ad un certo y ∈ C. Dal momento che C è ricoperto dagli aperti Ui , esiste un aperto Uiy del ricoprimento che contiene y, cioè tale che lim xnk = y ∈ Uiy . k Ma per ipotesi Uiy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che Br (y) ⊂ Uiy , e se k è grande abbastanza si ha che xnk ∈ Br/2 (y) (dalla convergenza della sottosuccessione) e quindi per la disuguaglianza triangolare che Br/2 (xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uiy . Dato che per k abbastanza grande δnk < 2r , si può trovare un k per cui Bδnk (xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uiy . Ma questo contraddice la definizione degli {xn } (equazione (10.3)), per cui l’ipotesi è falsa. Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ (x) è contenuto in qualche Ui del ricoprimento aperto. Ora, mostriamo che per ogni > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito di intorni circolari di raggio . Se ciò non fosse vero, per un certo > 0, si scelga x1 ∈ C; dato che B (x1 ) non può ricoprire C (per ipotesi), esiste x2 ∈ C tale che x2 6∈ B (x1 ). Analogamente, si scelga x3 ∈ C r (B (x1 ) ∪ B (x2 )), e per induzione ! n [ xn+1 ∈ C r B (xi ) . i=1 La successione (di infiniti punti distinti) esiste perché Inoltre, se h 6= k si ha Sn i=1 B (xi ) non può mai coprire C. d(xh , xk ) ≥ , e quindi la successione {xi }i non può avere sottosuccessioni convergenti. Ma dato che stiamo assumendo (iii) vera, ogni successione in C deve avere almeno una sottosuccessione convergente, e questa proprità è contraddetta dall’esistenza della successione {xi }. Quindi l’ipotesi era falsa, e per ogni > 0 l’insieme C è ricoperto da un numero finito di intorni circolari di raggio . D.L. Ferrario 6 aprile 2005 31 Geometria e Topologia I 7 aprile 2005 32 Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari B (cj ) di raggio e {Ui } il ricoprimento di C di intorni circolari definito sopra, con < δ. Dato che < δ, ogni per ogni intorno B (cj ) (nell’insieme finito di intorni che ricopre C) esiste un intorno Ui = Ui(j) tale che B (cj ) ⊂ Ui(j) . L’insieme finito di intorni {Ui(j) }j ricopre C, dato che B (cj ) ricopre C, ed è quindi un sottoricoprimento finito di {Ui }. Per concludere la dimostrazione, bisogna trovare sottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici, e non solo per ricoprimenti di intorni della base di intorni circolari. Ma questo segue da (9.9). q.e.d. (10.4) Esempio. L’intervallo [0, 1] di Q non è compatto. Per (10.1), basta trovare una successione in [0, 1] che converge a un numero irrazionale. (10.5) Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Se C è compatto, allora C è chiuso e limitato. Dimostrazione. Ogni spazio metrico è di Hausdorff (vedi esercizio (5.3)), e ogni compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso (vedi (9.11)), per cui se C è compatto di X allora C è chiuso. Dobbiamo quindi mostrare che C è limitato. Sia x0 un punto di X e Bn (x0 ) la successione crescente di intorni circolari di raggio n ∈ N. Dato che {Bn (x0 )}n è un ricoprimento aperto di C, deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioè deve esistere n0 ∈ N per cui C ⊂ Bn0 (x0 ), cioè C è limitato. q.e.d. (10.6) Teorema (Heine-Borel). L’intervallo unitario [0, 1] ⊂ R è compatto. Prima dimostrazione. Sia {Ui }i∈J un ricoprimento di [0, 1] e definiamo F = {t ∈ I : [0, t] è coperto da una famiglia finita di intervalli di {Ui }i∈J . Si vede che 0 ∈ F (e quindi F non è vuoto) e che t ∈ F, 0 ≤ s < t =⇒ s ∈ F . Si consideri m = sup F (l’estremo superiore di F , che esiste per gli assiomi (9.1)). Allora t < m =⇒ t ∈ F e t > m =⇒ t 6∈ F . Vediamo se m ∈ F oppure no. Dato che m ∈ [0, 1] e {Ui } ricopre [0, 1], esiste im ∈ J per cui m ∈ Uim . Ma Uim è aperto, e dunque esiste un intorno circolare di raggio tale che B (m) ⊂ Uim . Visto che m − ∈ F , l’intervallo [0, m − ] è ricoperto da un numero finito di aperti Ui , che uniti ad Uim costituiscono un numero finito di aperti che copre [0, m], e dunque m ∈ F , cioè F = [0, m]. Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0, m] sarebbe anche ricoprimento finito di [0, m + ] per un certo abbastanza piccolo, per cui deve essere m = 1, cioè F = [0, 1] (in altre parole, abbiamo trovato il ricoprimento finito di [0, 1]). q.e.d. Seconda dimostrazione. Sia {Ui }i∈J un ricoprimento aperto di I0 = [0, 1]. Supponiamo per assurdo che non ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I0 nelle due metà di lunghezza 1 : 2 1 1 [0, 1] = [0, ] ∪ [ , 1]. 2 2 Se entrambe le metà fossero ricoperte da un numero finito di Ui , cadremmo in contraddizione, per cui almeno una delle due non lo è, e la chiamiamo I1 . Dividendo I1 in due metà, possiamo di nuovo applicare lo stesso argomento per definire I2 , e cosı̀ via una successione In di intervalli D.L. Ferrario 7 aprile 2005 32 Geometria e Topologia I 7 aprile 2005 33 chiusi non ricopribili da un numero finito di aperti Ui , di lunghezza 2−n , e con la proprietà In ⊂ In−1 per ogni n ≥ 1. I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . . Ora, se definiamo I∞ = ∞ \ In , i=0 osserviamo che I∞ non può avere più di un punto (infatti, x, y ∈ I∞ =⇒ ∀n ≥ 0, x, y ∈ In =⇒ ∀n ≥ 0, |x − y| ≤ 2−n , che implica |x − y| = 0). Come conseguenza dell’esistenza dell’estremo superiore in R, si può mostrare (vedi esercizio (5.4)) che I∞ non è vuoto, e che I∞ = {inf(max In ) = sup(min In )}. Sia p ∈ I∞ . Dato che p ∈ I, esiste ip ∈ J per cui p ∈ Uip , e quindi esiste un > 0 tale che B (p) ⊂ Uip . Ma se n è abbastanza grande, In ⊂ B (p), e dunque esiste un n per cui In ⊂ B (p) ⊂ Uip : ciò contraddice l’ipotesi che ogni In non si può coprire con un insieme finito di Ui (un solo Uip è sufficiente!). q.e.d. (10.7) Corollario. Per ogni a < b ∈ R, l’intervallo [a, b] è compatto. Dimostrazione. Dato che l’intervallo [a, b] è omeomorfo all’intervallo [0, 1], segue immediatamente da (10.6). q.e.d. (10.8) Teorema (Heine-Borel II). Se X = Rn con la metrica euclidea, allora C è compatto se e solo se chiuso e limitato. Dimostrazione. La proposizione (10.5) è la parte “solo se”. Viceversa, se C ⊂ Rn è limitato, allora è contenuto nel parallelepipedo del tipo C ⊂ [a, b]n ⊂ Rn , che è compatto per il corollario (10.7) unito al teorema (9.15). Quindi, se C è chiuso in X, è chiuso anche in [a, b]n e quindi è un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto, e quindi è compatto per la proposizione (9.10). q.e.d. (10.9) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato in Rn ha almeno un punto di accumulazione. Dimostrazione. Un insieme infinito e limitato in Rn è anche, come sopra, un sottoinsieme infinito di del compatto [a, b]n per qualche a, b. Per (10.1), (ii), esiste quindi un punto di accumulazione. q.e.d. (10.10) Teorema. Una funzione continua f : X → R definita su un dominio compatto X ha massimo e minimo. Dimostrazione. Dato che X è compatto, f (X) è compatto e quindi chiuso e limitato in R. Dato che è limitato, sia l’estremo superiore M = sup(f (X)) che l’estremo inferiore m = inf(f (X)) esistono finiti. Gli estremi m e M appartengono alla chiusura f (X) (vedi esercizio (4.2)), che coincide con f (X) dato che f (X) è chiuso, quindi m ∈ f (X), M ∈ f (X), e quindi sia m che M sono assunti in X, cioè m = minx∈X f (x), M = maxx∈X f (x). q.e.d. D.L. Ferrario 7 aprile 2005 33