5. COMPATTEZZA

5. C OMPATTEZZA
5.1 Definizioni. Il concetto di compattezza è collegato alla possibilità di affermare
l’esistenza di punti limiti. In particolare, se W è un sottoinsieme infinito di uno
spazio metrico compatto, vedremo che W 0 6= ∅. Ma la definizione è fatta in termini
di ricoprimento.
Sia (X, TX ) uno spazio topologico. Diciamo che una famiglia di sottoinsiemi ricopre
X se la sua unione è uguale a tutto X.
Definizione. Un ricoprimento aperto di X è una famiglia V = {Vα : α ∈ A} ⊆ TX tale
che
[
X=
Vα ,
α∈A
cioè: ∀x ∈ X ∃α ∈ A con x ∈ Vα .
D’ora in poi, con la parola ‘ricoprimento’ intendiamo sempre ‘ricoprimento aperto’.
Spesso non servono tutti gli elementi di V : in particolare, diciamo che V ammette
un sottoricoprimento finito (scriviamo srcf ) se esiste una sottofamiglia finita V 0 di V
che ricopre X:
k
[
V 0 = {V1 , . . . , Vk },
X=
Vi ,
Vi ∈ V .
i=1
Attenzione: ogni spazio X ammette un ricoprimento finito, ad esempio {X} che
consiste solo di X stesso, ma quello che vogliamo sapere è se un dato ricoprimento
ne contiene uno finito. Questo è il punto della
Definizione. Lo spazio (X, TX ) si dice compatto se ogni ricoprimento di X ammette
un sottoricoprimento finito.
Possiamo applicare questa definizione ad un sottinsieme Y di X, con la topologia
indotta TY = {V ∩ Y : V ∈ TX }. In questo contesto, un ricoprimento di Y può essere
pensato come una famiglia V ⊆ TX tale che
[
Y ⊆
V.
V ∈V
(Se facciamo le intersezioni dei V con Y abbiamo la stessa definizione di sopra, ma
lavorando in X, l’unione può essere più grande.) Quindi, Y sarà compatto se ogni
ricoprimento siffatto contiene una sottofamiglia finita con la stessa proprietà.
Esempi. 1. Sia X un insieme finito con n elementi. Allora TX contiene al massimo
2n elementi. Ogni ricoprimento V contiene al massimo questo numero di aperti,
quindi V è già finito. Segue che X è compatto.
2. Con la solita topologia, R non è compatto perché
V = {(−n, n) : n = 1, 2, 3, . . .}
è un ricoprimento senza srcf.
3. Il sottospazio (0, 1) di R (con la solita topologia) non è compatto perché
V = {( n1 , 1) : n = 3, 4, 5, . . .}
è un ricoprimento senza srcf.
(1)
Supponiamo che W sia un sottoinsieme compatto di R. Allora (1) deve contenere
un scrf di W, cioè deve esistere n tale che W ⊆ (−n, n). Quindi W è limitato.
Possiamo dire che Y ⊆ Rn è limitato se esiste R > 0 tale che Y ⊆ SR (0). Essere
‘limitato’ ha senso anche in uno spazio metrico (quale sarebbe la definizione?), ma
non in uno spazio topologico in generale.
Comunque uno scopo di §5 sarà di dimostrare la maggior parte del
Teorema (di Heine–Borel). Un sottoinsieme Y di Rn (Y con la topologia indotta da
quella solita di Rn ) è compatto se e solo se Y è chiuso e limitato.
Un motivo per adottare una definizione apparentemente artificiale di compattezza
è che fornisce il seguente risultato.
Proposizione. Sia f : X → Y un’applicazione continua tra due spazi topologici. Se
W è un sottospazio compatto di X allora f(W) è compatto.
Dimostrazione. Sia V = {Vα } un ricoprimento di f(W):
[
Vα .
f(W) ⊆
Prendendo le controimmagini,
W ⊆
[
f −1 (Vα ),
e {f −1 (Vα )} è un ricoprimento (sempre aperto) di W. Quindi abbiamo un srcf, cioè
esistono V1 , . . . , Vk ∈ V tali che
W ⊆ f −1 (V1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Vk ).
Ne segue che
f(W) ⊆ V1 ∪ · · · ∪ Vk ,
e {V1 , . . . , Vk } è il srcf che vogliamo.
Corollario (di Heine–Borel). Se f : [a, b] → R è continua, allora esistono c, d ∈ [a, b]
tali che
f(c) 6 f(x) 6 f(d),
a 6 x 6 b.
A parole: una funzione continua definita su un intervallo limitato e chiuso è limitata,
e i suoi estremi sono assunti.
(In realtà, in questa situazione, f([a, b]) = [c, d], ma questa è un’affermazione più
forte che vedremo solo in seguito.)
Dimostrazione. X = [a, b] è compatto, quindi (dalla Proposizione)
f(X) = {f(x) : a 6 x 6 b}
anche lo è. Dal teorema di Heine–Borel, f(X) è limitato, quindi i = inf f(X) e
s = sup f(X) sono entrambi numeri finiti. Per quanto riguarda l’ultimo, esiste una
successione {yn } ⊂ f(X) tale che yn → s per n → ∞ (se s ∈ f(X) basta prendere
yn = s per ogni n). Visto che f(X) è chiuso, abbiamo s ∈ f(X) in ogni caso, ed esiste
s = f(d) per qualche d ∈ [a, b]. Analogamente per i = f(c).