1 SPAZI METRICI LOCALMENTE COMPATTI Definizione 1 Uno spazio metrico X si dice localmente compatto se ogni punto ammette un intorno compatto. Proposizione 2 Sia x un punto di uno spazio metrico X e sia U un intorno di x. Assumiamo che X sia uno spazio metrico localmente compatto. Esiste allora una palla chiusa e compatta di centro x e contenuta in U , cioè esiste δ > 0 tale che B(x, δ] ⊆ U e inoltre B(x, δ] è compatta. Dimostrazione. Poiché X è localmente compatto, esiste un compatto K tale che K è un intorno di x. Allora U ∩ K è un intorno di x. Pertanto esiste un numero δ > 0 tale che B(x, δ] ⊆ U ∩ K. La palla B(x, δ] è compatta perché sottoinsieme chiuso del compatto K (ricordiamo che le palle chiuse sono sottoinsiemi chiusi per la topologia). Esempio 3 (Esempi.) Ogni spazio compatto è localmente compatto. Con la topologia euclidea, R e R2 sono spazi localmente ompatti. Infatti ogni palla chiusa è compatta, essendo un sottoinsieme chiuso e limitato. Invece Q non è localmente compatto. Infatti ogni palla di Q è del tipo I ∩ Q, ove I è un intervallo di R. Se un insieme di questa forma fosse compatto, esso sarebbe chiuso in R, cosa falsa perché ogni irrazionale di I è di accumulazione per I ∩ Q. Lemma 4 Sia (X, d) uno spazio metrico privo di punti isolati. Siano B una palla chiusa e p un punto di X. Esiste una palla chiusa D tale che D ⊆ B \ {p}. Dimostrazione. La palla chiusa B è del tipo B = B(c, r] ove c ∈ X e r > 0 è un numero reale. Poiché la palla aperta B(c, r[ contiene infiniti punti, esiste q ∈ B(c, r[\{p}. Sia ε < min{d(q, p), r − d(q, c)}. Posto D = B(q, ε] si ha p ̸∈ D. Inoltre una facile conseguenza della disuguaglianza triangolare mostra che D ⊆ B. Teorema 5 Sia X uno spazio metrico localmente compatto e privo di punti isolati. Sia E un sottoinsieme numerabile di X. Allora X \ E è denso in X. Dimostrazione. Sia E = {p1 , . . . , pn , . . .} una numerazione di E. Dobbiamo dimostrare che se U è un aperto non vuoto di X, allora U ∩ (X \ E) ̸= ∅. Poiché U è intorno di un qualsiasi suo punto, esiste una palla chiusa e compatta B1 tale che B1 ⊆ U , v. prop. (2). Per il lemma (4) esiste una palla chiusa B2 tale che B2 ⊆ B1 \ {p1 }. Arrivati a Bn ⊆ Bn−1 \ pn−1 , sempre applicando il lemma (4), esiste una palla chiusa Bn+1 tale che Bn+1 ⊆ Bn \ {pn }. Poiché B1 è compatto e ogni palla chiusa è non vuota, per il principio di Cantor si ottiene che la successione di chiusi ∩ inscatolati B1 ⊇ B2 ⊇ . . . ⊇ Bn ⊇ . . . ha intersezione non vuota, cioè esiste un punto q ∈ n Bn . Di conseguenza q ∈ Bn+1 ⊆ Bn \ {pn } ∀n e quindi q ̸= pn ∀n. Pertanto: q ∈ B1 \ E ⊆ U \ E = U ∩ (X \ E) Allora X \ E risulta denso perché ogni aperto non vuoto contiene punti di X \ E. Corollario 6 Uno spazio metrico localmente compatto privo di punti isolati non può essere numerabile.