spazi metrici localmente compatti

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SPAZI METRICI LOCALMENTE COMPATTI
Definizione 1 Uno spazio metrico X si dice localmente compatto se ogni punto ammette
un intorno compatto.
Proposizione 2 Sia x un punto di uno spazio metrico X e sia U un intorno di x. Assumiamo che X sia uno spazio metrico localmente compatto. Esiste allora una palla chiusa
e compatta di centro x e contenuta in U , cioè esiste δ > 0 tale che B(x, δ] ⊆ U e inoltre
B(x, δ] è compatta.
Dimostrazione. Poiché X è localmente compatto, esiste un compatto K tale che K è
un intorno di x. Allora U ∩ K è un intorno di x. Pertanto esiste un numero δ > 0 tale che
B(x, δ] ⊆ U ∩ K. La palla B(x, δ] è compatta perché sottoinsieme chiuso del compatto K
(ricordiamo che le palle chiuse sono sottoinsiemi chiusi per la topologia).
Esempio 3 (Esempi.) Ogni spazio compatto è localmente compatto.
Con la topologia euclidea, R e R2 sono spazi localmente ompatti. Infatti ogni palla chiusa è
compatta, essendo un sottoinsieme chiuso e limitato. Invece Q non è localmente compatto.
Infatti ogni palla di Q è del tipo I ∩ Q, ove I è un intervallo di R. Se un insieme di questa
forma fosse compatto, esso sarebbe chiuso in R, cosa falsa perché ogni irrazionale di I è
di accumulazione per I ∩ Q.
Lemma 4 Sia (X, d) uno spazio metrico privo di punti isolati. Siano B una palla chiusa
e p un punto di X. Esiste una palla chiusa D tale che D ⊆ B \ {p}.
Dimostrazione. La palla chiusa B è del tipo B = B(c, r] ove c ∈ X e r > 0 è un numero
reale. Poiché la palla aperta B(c, r[ contiene infiniti punti, esiste q ∈ B(c, r[\{p}. Sia
ε < min{d(q, p), r − d(q, c)}. Posto D = B(q, ε] si ha p ̸∈ D. Inoltre una facile conseguenza
della disuguaglianza triangolare mostra che D ⊆ B.
Teorema 5 Sia X uno spazio metrico localmente compatto e privo di punti isolati. Sia
E un sottoinsieme numerabile di X. Allora X \ E è denso in X.
Dimostrazione. Sia E = {p1 , . . . , pn , . . .} una numerazione di E. Dobbiamo dimostrare
che se U è un aperto non vuoto di X, allora U ∩ (X \ E) ̸= ∅.
Poiché U è intorno di un qualsiasi suo punto, esiste una palla chiusa e compatta B1
tale che B1 ⊆ U , v. prop. (2). Per il lemma (4) esiste una palla chiusa B2 tale che
B2 ⊆ B1 \ {p1 }. Arrivati a Bn ⊆ Bn−1 \ pn−1 , sempre applicando il lemma (4), esiste una
palla chiusa Bn+1 tale che Bn+1 ⊆ Bn \ {pn }. Poiché B1 è compatto e ogni palla chiusa
è non vuota, per il principio di Cantor si ottiene che la successione di chiusi ∩
inscatolati
B1 ⊇ B2 ⊇ . . . ⊇ Bn ⊇ . . . ha intersezione non vuota, cioè esiste un punto q ∈ n Bn . Di
conseguenza q ∈ Bn+1 ⊆ Bn \ {pn } ∀n e quindi q ̸= pn ∀n. Pertanto:
q ∈ B1 \ E ⊆ U \ E = U ∩ (X \ E)
Allora X \ E risulta denso perché ogni aperto non vuoto contiene punti di X \ E.
Corollario 6 Uno spazio metrico localmente compatto privo di punti isolati non può
essere numerabile.