Esercizi su paracompattezza e partizione dell`unità File

Geometria Superiore – Esercizi 1
(da consegnare entro . . . )
In questi esercizi analizziamo il concetto di paracompattezza per uno spazio
topologico e vediamo come questo implichi l’esistenza di partizioni dell’unità
subordinate a un ricoprimento di una varietà.
Gli esercizi da svolgere sono: 1.5, 2.5, 2.8, 2.9, 2.10, 3.7, e le dimostrazioni
del lemma 3.3 e del teorema 3.8.
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Assiomi di numerabilità
Sia X uno spazio topologico. Ricordiamo le definizioni di base di intorni e base
di aperti.
Definizione 1.1. Sia p ∈ X. Una base di intorni per p è una collezione Np =
{Nα }α∈A di intorni di p tale che per ogni intorno N di p esiste α ∈ A tale che
Nα ⊆ N .
Notiamo che l’insieme degli indici A può essere infinito (in generale lo è).
Definizione 1.2. Una collezione U = {Uβ }β∈B di aperti di X è una base per
la topologia di X se ogni sottoinsieme aperto di X è unione di aperti della
collezione.
Anche in questo caso l’insieme degli indici B può essere infinito.
Enunciamo subito i due assiomi di numerabilità:
Definizione 1.3. Sia X uno spazio topologico. X soddisfa il primo assioma di
numerabilità (in inglese: “X is first countable”) se ogni punto ha una base di
intorni numerabile.
Definizione 1.4. Sia X uno spazio topologico. X soddisfa il secondo assioma di
numerabilità (in inglese: “X is second countable”) se esiste una base numerabile
per la topologia di X.
Esercizio 1.5. Dimostrare che:
1. Se X soddisfa il secondo assioma, allora soddisfa anche il primo.
2. Ogni spazio metrico soddisfa il primo assioma.
3. Rn soddisfa il secondo assioma. In particolare, dimostrare che la collezione
di palle aperte con centro a coordinate razionali e raggio razionale è una
base per la topologia di Rn .
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2
PARACOMPATTEZZA
2
4. Più in generale, uno spazio metrico separabile soddisfa il secondo assioma
(ricordiamo che X è separabile se esiste un sottoinsieme numerabile denso).
5. Dare un esempio di spazio topologico che soddisfa il primo assioma ma
non il secondo.
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Paracompattezza
Sia X uno spazio topologico. Ricordiamo alcune definizioni:
Definizione 2.1. Una collezione
∪ U = {Uα }α∈A di sottoinsiemi di X è un ricoprimento di W ⊆ X se W ⊆ α∈A Uα . Si dice un ricoprimento aperto se gli
insiemi Uα sono aperti. Una sottocollezione è un sottoricoprimento se è ancora
un ricoprimento.
Definizione 2.2. Una collezione V = {Vβ }β∈B di sottoinsiemi di X è un raffinamento di un ricoprimento U se è ancora un ricoprimento e per ogni β ∈ B
esiste α ∈ A tale che Vβ ⊆ Uα .
Definizione 2.3. Una collezione U = {Uα }α∈A di sottoinsiemi di X è detta
localmente finita se per ogni x ∈ X esiste un intorno Wx di x tale che Wx ∩Uα ̸=
∅ solo per un numero finito di indici α.
Definizione 2.4. Uno spazio topologico X è localmente compatto se ogni punto
ha un intorno compatto.
Esercizio 2.5. Dimostrare che se X è di Hausdorff, X è localmente compatto
se e solo se ogni punto ha un intorno la cui chiusura è compatta.
Definizione 2.6. Uno spazio topologico X si dice paracompatto se ogni ricoprimento aperto ha un raffinamento localmente finito.
La paracompattezza è una proprietà importante in quanto garantisce l’esistenza di una partizione dell’unità. Per prima cosa diamo una condizione
sufficiente per la paracompattezza.
Teorema 2.7. Sia X uno spazio topologico di Hausdorff, localmente compatto
e che soddisfa il secondo assioma di numerabilità. Allora X è paracompatto.
In effetti, ogni ricoprimento aperto di X ha un raffinamento numerabile,
localmente finito di aperti a chiusura compatta.
Dimostrazione. Il primo passo è dimostrare che esiste una successione {Gi },
i = 1, 2, . . . di aperti tali che
1. Gi è compatto
2. Gi ⊆ Gi+1
3. X =
∞
∪
Gi
i=1
Esercizio 2.8. Presa una qualunque base numerabile di aperti, dimostrare che
la collezione che si ottiene considerando solo quelli a chiusura compatta è ancora
una base (evidentemente numerabile).
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PARTIZIONE DELL’UNITÀ
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Sia dunque {Ui }, i = 1, 2, . . . una base numerabile di aperti a chiusura
compatta. Poniamo G1 = U1 e supponiamo che
Gk = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Ujk
Sia jk+1 il più piccolo intero maggiore di jk tale che
∪
jk+1
Gk ⊆
Ui
i=1
e definiamo
∪
jk+1
Gk+1 =
Ui
i=1
Esercizio 2.9. Dimostrare che gli insiemi Gi cosı̀ definiti hanno le proprietà 1.,
2. e 3. richieste.
Sia ora V = {Vα }α∈A un qualunque ricoprimento aperto. L’insieme Gi −Gi−1
è compatto e contenuto nell’insieme Gi+1 − Gi−2 . Per ogni i ≥ 3 scegliamo un
sottoricoprimento aperto finito del ricoprimento
(
)
{Uα ∩ Gi − Gi−1 , α ∈ A}
di Gi − Gi−1 e un sottoricoprimento aperto finito del ricoprimento
{Uα ∩ G3 , α ∈ A}
di G2 .
Esercizio 2.10. Dimostrare che gli insiemi cosı̀ determinati formano un raffinamento numerabile, localmente finito del ricoprimento V e sono tutti a chiusura
compatta.
Questo conclude la dimostrazione del teorema 2.7
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Partizione dell’unità
Definizione 3.1. Uno spazio topologico X è una varietà topologica di dimensione n se
1. X è di Hausdorff
2. X è localmente euclideo, cioè esiste un ricoprimento aperto U = {Uα }α∈A
di X e degli omeomorfismi
φα : Uα → Rn
3. X soddisfa il secondo assioma di numerabilità
X è una varietà differenziabile (rispettivamente di classe C∞ , analitica reale)
se per ogni α, β tali che Uα ∩ Uβ ̸= ∅ si ha che la funzione
φβ ◦ φ−1
α : φα (Uα ∩ Uβ ) → φβ (Uα ∩ Uβ )
è differenziabile (rispettivamente di classe C∞ , analitica reale).
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PARTIZIONE DELL’UNITÀ
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Poiché Rn è localmente compatto, la condizione localmente euclideo implica
localmente compatto e quindi per il teorema 2.7 ogni varietà è paracompatta.
Osserviamo anche che, se X è connesso, la condizione che tutti gli Uα siano
omeomorfi allo stesso Rn è una conseguenza del teorema di invarianza della
dimensione, che afferma
Teorema (di invarianza della dimensione). Siano U ⊆ Rn e V ⊆ Rm due
sottoinsiemi aperti. Se U e V sono omeomorfi, allora n = m.
La dimostrazione di questo teorema con metodi puramente topologici è piuttosto difficile. Più facile dimostrarlo usando i gruppi di omologia, il che però
richiede di sviluppare prima tutta la teoria dell’omologia (in particolar modo,
l’invarianza topologica dell’omologia). Di solito quindi si preferisce includere la
condizione di dimensionalità nella definizione di varietà.
Veniamo ora all’argomento principale di questa serie di esercizi:
Definizione 3.2. Sia X una varietà differenziabile. Una partizione dell’unità
è una collezione {φi }i∈I di funzioni C∞ su X a valori reali non negativi tale che
1. la collezione dei supporti {supp(φi )} è localmente finita
∑
2.
φi (x) = 1 per ogni x ∈ X
i∈I
Il risultato fondamentale afferma l’esistenza di partizioni dell’unità subordinate a un ricoprimento aperto. Dimostriamo prima un risultato locale.
Lemma 3.3. La funzione α : R → R definita da
{
e−1/t se t > 0
α(t) =
0
se t ≤ 0
è di classe C∞ .
Dimostrazione. Esercizio.
Corollario 3.4. Per ogni intervallo chiuso [a, b] ⊆ R c’è una funzione di
classe C∞ β : R → R tale che 0 ≤ β(x) ≤ 1 per ogni x ∈ R e
{
1 se t ≤ a
β(t) =
0 se t ≤ b
Dimostrazione.
β(t) =
α(b − t)
α(b − t) + α(t − a)
Finalmente il risultato che ci interessa:
Corollario 3.5. Per ogni punto p ∈ Rn e ogni r > 0 c’è una funzione di
classe C∞ φ : Rn → R tale che 0 ≤ φ(x) ≤ 1 per ogni x ∈ Rn e
{
1 se e solo se ∥x − p∥ ≤ r
φ(x) =
0 se e solo se ∥x − p∥ > 2r
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PARTIZIONE DELL’UNITÀ
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Una funzione come φ è detta bump function, (o funzione a campana in
italiano) perché il suo grafico ricorda quello di un dosso.
L’esistenza di una partizione dell’unità prende due forme, a seconda se
vogliamo funzioni a supporto compatto oppure no. La versione non a supporto compatto discende facilmente da quella a supporto compatto, che ora
dimostriamo:
Teorema 3.6. Sia X una varietà e U = {Uα }α∈A un ricoprimento aperto.
Allora esiste una partizione dell’unità {ρβ }β∈B tale che i supporti sono tutti
compatti, e per ogni β ∈ B esiste α ∈ A per cui supp(ρβ ) ⊂ Uα .
Diciamo in questo caso che la partizione dell’unità è subordinata al ricoprimento. Osserviamo che in ogni aperto del ricoprimento ci possono essere i
supporti di più funzioni.
Dimostrazione. A partire dal ricoprimento U costruiamo la successione di insiemi {Gi } come nella dimostrazione del teorema 2.7, e poniamo G0 = ∅. La
sequenza G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ricopre X.
Sia ora p ∈ X e sia ip il più grande indice per cui p ∈ X − Gip . Scegliamo
αp tale che p ∈ Uαp e prendiamo una carta locale (V, τ ) centrata in p (cioè
τ (p) = 0 ∈ Rn ) tale che
(
)
V ⊂ Uαp ∩ Gip +2 − Gip
e tale che τ (V ) contenga una palla di centro l’origine e raggio 2r. Poniamo
{
φ ◦ τ su V
ψp =
0
altrimenti
dove φ è la funzione del corollario 3.5. Allora ψp è una funzione C∞ su X
che vale costantemente
1 su) un intorno Wp e ha supporto compatto contenuto
(
in V ⊂ Uαp ∩ Gip +2 − Gip .
Per ogni i = 1, 2, . . . scegliamo un numero finito di punti p ∈ X tali che
gli intorni corrispondenti Wp coprano Gi − Gi−1 (ricordiamo che è compatto).
Rinumeriamo le funzioni corrispondenti ψ1 , ψ2 , . . . , cosa possibile perché sono
una quantità numerabile.
Esercizio 3.7. Concludere la dimostrazione, provando che
1. i supporti delle ψi sono una famiglia localmente finita;
2. posto ψ =
∞
∑
ψi , dimostrare che la somma è ben definita e di classe C∞ ;
i=1
3. infine, dimostrare che la famiglia
ρi =
ψi
ψ
è una partizione dell’unità, con supporti compatti e subordinata al ricoprimento U.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
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L’ultimo risultato è
Teorema 3.8. Sia X una varietà e U = {Uα }α∈A un ricoprimento aperto.
Allora esiste una partizione dell’unità {ρα }α∈A tale che per ogni α ∈ A si ha
supp(ρα ) ⊂ Uα .
In questo caso diciamo che la partizione dell’unità è subordinata al ricoprimento con gli stessi indici. Notiamo che gli insiemi di indici per il ricoprimento
e la partizione dell’unità sono lo stesso, ma non è più possibile, in generale,
richiedere che i supporti delle funzioni siano compatti.
Dimostrazione. Esercizio.
Riferimenti bibliografici
[W]
Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups,
GTM 94, Springer, 1983
[Le]
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, GTM 218, Springer,
2012