GRAVITAZIONE 1. Problemi 1.1. Moto circolare. 1.1.1

GRAVITAZIONE
Sommario. In questa serie di problemi vengono toccati tutti i concetti fondamentali dell’ultima parte del corso.
1. Problemi
1.1. Moto circolare.
1.1.1. Giro della morte. Il binario in figura 1.1 ha un raggio di 7.2 m.
Figura 1.1. Il motociclista deve raggiungere la velocità minima
necessaria per completare il giro della morte
(1) Scrivi l’equazione della dinamica lungo l’asse z per il corpo nella posizione
indicata in figura (il punto più alto del cerchio).
(2) Determina la velocità minima necessaria affinché il motociclista completi il
giro senza cadere.
1.1.2. Centrifuga. Il blocchetto (m = 2.4 kg) viene mantenuto in posizione grazie
alla rotazione del cilindro.
(1) Scrivi le equazioni della dinamica per il blocco lungo gli assi x e z.
(2) Si sa che il cilindro ha un raggio di 54 cm e compie la propria rotazione in
1.2 s. Determina le forze di sostegno e di attrito subite dal blocchetto.
1.2. Moto circolare e gravità apparente.
1
GRAVITAZIONE
2
Figura 1.2. Il blocchetto di massa m aderisce alla parete interna
del cilindro rotante.
1.2.1. Base spaziale rotante. Una settore di una base spaziale ha la forma di un
cilindro in rotazione (vedi fig. 1.3). Nella zona dello spazio in cui si trova questa
base la gravità è del tutto trascurabile.
Al suo interno il cilindro è diviso in due sezioni, una interna di raggio r1 = 40 m
e una esterna di raggio r2 = 90 m.
Figura 1.3.
(1) Stabilisci il periodo di rotazione del cilindro, sapendo che il sostegno su
una persona che si trova nella sezione esterna è pari a metà di quello che
avvertirebbe la stessa persona sulla superficie terrestre.
(2) Determina, nelle stesse condizioni, il sostegno su una persona di massa
m = 62 kg che sta in piedi nella sezione interna.
1.2.2. Jogging in un cilindro in rotazione. L’anello in figura 1.4 si trova in una zona
dello spazio in cui la gravità è completamente trascurabile.
La velocità periferica del cilindro è v. Entrambe le persone raffigurate si muovono
ad una velocità pari a v/5.
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Figura 1.4. Una palestra in una ipotetica base spaziale ha la forma di un anello in rotazione, e le persone svolgono esercizi ginnici
muovendosi sulla superficie interna dell’anello.
(1) Scrivi l’equazione della dinamica (lungo il raggio) per entrambe le persone.
(2) Mostra, risolvendo le equazioni, che la ragazza si trova in una situazione
favorevole, perché avverte un peso minore di quel che avvertirebbe se si
muovesse in verso opposto.
1.3. Gravitazione universale. Per rispondere alle prossime domande si tenga
presente che il campo di gravità di un pianeta è determinato dalla formula
mP
r2
e che la forza di gravità tra il pianeta ed un corpo di massa m è determinata
dalla relazione
g (r) = G
F (gravità) = G
mP m
r2
1.3.1. Gravità ed effetto centrifugo. Una persona di massa pari a 100 kg si trova
all’equatore del pianeta, in piedi su una bilancia. Che massa indica la bilancia?
1.3.2. Massa, forza di gravità e peso. Le prossime domande si riferiscono alla figura
1.6
(1) Quanto vale il campo di gravità sulla sommità della torre?
(2) Qual è il periodo orbitale dell’astronave?
(3) Una persona di massa m = 100 kg si trova sulla sommità della torre; quanto
pesa?
(4) Quanto peserebbe la stessa persona se fosse sull’astronave?
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Figura 1.5. Il raggio del pianeta è pari a 0.95 volte il raggio della
Terra, la sua massa è pari a 0.92 volte la massa della Terra e la
durata del suo giorno è pari a 20.8 ore.
Figura 1.6. Una torre eretta sull’equatore di un pianeta ha un’altezza pari a metà del raggio del pianeta (si tratta di un esempio
molto ipotetico). Si sa che la gravità del pianeta alla superficie è
pari a 9.5 N/kg ed il raggio è pari a 1.02rT (non si tratta, ovviamente, della Terra). Un’astronave orbita attorno al pianeta sfiorando
ad ogni giro la sommità della torre. Il periodo di rotazione del
pianeta è pari a τrot = 23.2 h.
1.3.3. Orbite e masse centrali. Il pianeta in figura 1.7 ha raggio pari a 0.95rTerra .
(1) Determina l’accelerazione orbitale di un satellite sulla prima orbita, sapendo
che ha raggio r1 = 1.5 rP ed è percorsa in 2.64 ore.
(2) Determina il campo di gravità del pianeta sulla prima orbita.
(3) Determina il campo di gravità del pianeta alla superficie.
(4) Determina la massa del pianeta.
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Figura 1.7.
(5) Un satellite di massa m = 280 kg si trova su un’orbita di raggio r2 = 2.5 rP .
(a) Determina il suo periodo orbitale.
(b) Determina la coppia azione-reazione tra satellite e pianeta.
2. Soluzioni
2.1. Moto circolare.
2.1.1. Giro della morte. Orientiamo l’asse z dal basso verso l’alto.
(1) Indichiamo con N il sostegno del binario sulla moto.L’equazione richiesta
è
2
v
m −
= −N − mg
r
2
I segni si possono semplificare e si ottiene m vr = N + mg.
(2) La condizione affinché la moto non cada è N ≥0 e quindi
2
v
m
−g ≥0
r
√
la soluzione del problema è pertanto v≥ gr; a questo punto basta sostituire
i valori del campo di gravità e del raggio.
2.1.2. Centrifuga. L’idea è che tanto più velocemente ruota il cilindro tanto più è
grande l’attrito disponibile per sostenere il blocchetto; indichiamo con A la forza
di attrito e con N la forza di sostegno. Orientiamo l’asse x da sinistra verso destra
e l’asse z verso l’alto.
(1) Le equazioni richieste sono
r m 4π 2 2 = N
τ
0 = A − mg
(2) A questo punto basta sostituire nelle equazioni i dati del problema.
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2.2. Moto circolare e gravità apparente. L’idea alla base di questi problemi è
che in assenza di gravità un ambiente cilindrico in rotazione determina un sostegno
centripeto proporzionale alla massa dei corpi, simulando così la presenza di gravità. L’equazione della dinamica per un corpo appoggiato alla superfice interna del
cilindro è
r m −4π 2 2 = −N
τ
(l’asse di riferimento è orientato dal centro verso l’esterno), e così si dimostra il
sostegno (centripeto) è proporzionale alla massa,
r
N = m · 4π 2 2
τ
proprio come la forza di gravità.
(1) Basta sostituire i dati nell’equazione
r2
1
m · 4π 2 2 = mgTerra
τ
2
(2) L’accelerazione nella sezione interna è
r1
a1 = a2
r2
(verifica!) dove a2 è l’accelerazione nella sezione esterna.
richiesto pertanto è
N1 = m
Il sostegno
r1
14
2
a2 =
mgTerra = mgTerra
r2
29
9
A questo punto basta sostituire il valore dato della massa.
2.2.1. Jogging in un cilindro in rotazione. L’uomo percorre un’orbita circolare con
velocità
6
1
v1 = v + v = v
5
5
mentre la donna percorre un’orbita circolare con velocità
1
4
v2 = v − v = v
5
5
(perché si muove nel verso opposto). Se fossero fermi rispetto al cilindro starebbero
percorrendo un’orbita circolare a velocità v.
(1) Le equazioni sono
2
36
v
muomo @
−
=@
−N1
25
r
2
16
v
mdonna @
−
=@
−N2
25
r
(2) Dato che il peso coincide con il sostegno, l’uomo avverte un peso pari ai
36/25 di quello che ha da fermo (e quindi superiore), mentre la donna
avverte un peso pari ai 16/25 di quello che ha da fermo (e quindi inferiore).
2.3. Gravitazione universale.
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2.3.1. Gravità ed effetto centrifugo. L’equazione della dinamica per la persona è
2
v
muomo −
= N − mgP
r
La gravità del pianeta si determina così:
0.92mT
mP
=G
2 =
2
rP
(0.95rT )
0.92 mP ∼
=
G 2 = 1.02gT
0.952 rP
gP = G
(«T » sta per «Terra»); per determinare l’accelerazione centripeta si noti che τ =
20.8 · 3600 s e si usi la formula
rP
a = 4π 2 2
τ
2.3.2. Massa, forza di gravità e peso.
(1) Usiamo la legge dell’inverso del quadrato, tenendo presente che la sommità
della torre si trova a distanza rP + 21 rP = 32 rP .
2
rP
3
4
rP = 3
gP
gP = gP
2
9
2 rP
(2) Basta risolvere l’equazione
3
rP
4
m −4π 2 2 2
= −m · gP
τ
9
che può essere anche semplificata così:
2
rP
=
gP
τ2
27
e a questo punto occorre sostituire i dati del problema (l’incognita è il
periodo orbitale τ ).
(3) Se la persona si trova in piedi sulla sommità della torre si muove di moto
circolare con periodo τrot e l’equazione che regola la sua dinamica è
3
3
2 2 rP
m −4π 2
= N − m · gP
τrot
2
π2
e a questo punto basta sostituire i dati; il peso è inferiore a quello che
avvertirebbe sulla superficie del pianeta.
(4) Il peso sarebbe pari a zero (come discusso in aula).
2.3.3. Orbite e masse centrali.
(1) r1 = 1.5 · 0.95 · 6.37 · 106 m ∼
= 9.08 · 106 m; τ1 = 9504 s; si trova immediatamente che l’accelerazione orbitale (segno a parte) vale
m
a1 ∼
= 3.97 2
s
(2) Come già visto in precedenza il campo sull’orbita vale quanto l’accelerazione
orbitale
N
gP (r1 ) ∼
= 3.97
kg
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(3) Usiamo la legge dell’inverso del quadrato:
∼ 2.25 · 3.97 N =
∼ 8.93 N
gP (rP ) =
kg
kg
(4) Usiamo la legge di gravitazione universale:
Nm2
mP
N
∼
6.67 · 10−11
= 8.93
kg2 (0.95 · 6.37 · 106 m)2
kg
|
{z
}
G
(5) Indichiamo solo il procedimento.
(a) Bisogna risolvere l’equazione
1
N
2 2.5rP
∼
mS −4π
· 8.93
= −mS ·
2
τ
6.25
kg
mP mS
(b) La forza è data da F = mS gP (2.5rP ) = G (2.5r
)2
P