ITIS “G. Marconi” – Bari / ASI / IMT Progetto EduSAT prof. Ing. Nazzareno Corigliano Gravitazione Universale PAG. 1 LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE LEGGE DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE “ Ogni corpo materiale di massa m1 è in grato di esercitare una forza di attrazione su un altro corpo materiale di massa m 2. Tale forza è direttamente proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i due corpi.” Fg G La costante di proporzionalità Universale. m1 m2 d2 G 6,673 10 11 m3 kg 1s 2 è detta Costante di Gravitazione Con questa legge fondamentale, Isaac Newton (1642-1727) rivoluzionò la concezione dell’Universo spiegando e dimostrando matematicamente il moto dei corpi celesti. Allo stesso modo spiega che il peso di tutti gli oggetti non è altro che la forza di attrazione gravitazionale esercitata dal pianeta su cui si trovano. Infatti un corpo di massa m che si trova sulla Terra (massa M T 5,974 10 24 kg ) , che quindi ha una distanza dal centro pari al raggio della Terra RT 6,375 106 m , viene attirato con una forza M m Fg G T 2 , in cui la quantità: RT MT 5,974 10 24 m 11 g G 2 6,673 10 9,809 2 6 2 RT (6,375 10 ) s rappresenta l’accelerazione di gravità (ossia l’accelerazione a cui è soggetto il corpo in caduta libera), e quindi appunto la forza peso. Fg m g cioè ITIS “G. Marconi” – Bari / ASI / IMT Progetto EduSAT prof. Ing. Nazzareno Corigliano Gravitazione Universale PAG. 2 FORZA DI GRAVITÁ E FORZA CENTRIFUGA La forza centrifuga è quella che si manifesta sui corpi posti in rotazione intorno ad un punto. È quella forza che percepiamo, ad esempio, quando facciamo roteare un corpo legato con un filo, e che sentiamo tendere il filo. Tale forza si calcola conoscendo la massa m del corpo in rotazione, la sua velocità periferica v e il raggio r della traiettoria circolare: m v2 Fc r Quindi, per Newton, due corpi materiali isolati nello spazio si attraggono fino a collidere. Se però uno di essi ruota intorno all’altro subentra anche la forza centrifuga che, opponendosi a quella di gravità e facendole equilibrio, gli consente di orbitare indefinitamente. Così succede tra la Luna e la Terra per cui pur essendoci la forza di gravità Fg G v dTL M T mL con 2 dTL cui Terra e Luna si attirano, siccome la Luna ruota intorno alla Terra con la velocità v avremo che ci mL v 2 sarà anche la forza centrifuga uguale e contraria a quella di gravità Fc grazie alla quale d TL la Luna non cade sulla Terra! Uguagliando le due forze si può ricavare la velocità orbitale del satellite: mL v 2 M m G MT Fc Fg G T 2 L v dTL dTL dTL come si nota subito tale velocità è indipendente dalla massa del satellite stesso ma dipende solo dalla costante di gravitazione universale, dalla massa del pianeta e dalla distanza da esso. Poiché la distanza media Terra-Luna è pari a 384.400.000 m, possiamo calcolare la sua velocità: G MT 6,673 10 11 5,974 10 24 m km v 1.018 3.665 dTL 384.400.000 s h ITIS “G. Marconi” – Bari / ASI / IMT Progetto EduSAT prof. Ing. Nazzareno Corigliano Gravitazione Universale PAG. Lo spazio percorso è pari alla circonferenza dell’orbita 3 CL 2 dTL 2.415.256.432 m quindi il tempo impiegato a fare un giro intorno alla Terra (cioè il periodo orbitale) è pari a: TL C L 2.415.256.432 2.372.550 s 27,46 giorni v 1.018 come effettivamente si riscontra nell’esperienza. Ciò nonostante le approssimazioni fatte: orbita circolare (mentre invece è ellittica quasi circolare) e sistema isolato (mentre invece vi è l’influenza gravitazionale di tutti gli altri pianeti, del sole e dei corpi celesti più lontani), a dimostrazione della potenza della legge di gravitazione universale newtoniana. LEGGI DI KEPLERO E MOTO DEI PIANETI 1. Legge: Ogni pianeta descrive un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei fuochi. 2. Legge: La retta Pianeta-Sole descrive aree uguali in tempi uguali. 3. Legge: Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'orbita. Queste tre leggi fondamentali, che descrivono il moto dei pianeti intorno al sole, le aveva già enunciate Johannes Kepler (1571-1630). Newton le dimostra definitivamente con la sua legge di gravitazione universale. Per esempio, la conseguenza che deriva dalla seconda legge è che la velocità del satellite non è sempre la stessa ma aumenta quando è più vicino al pianeta e diminuisce quando è più lontano (così come si vede sperimentalmente). Newton spiega ciò perfettamente, infatti per la legge di gravitazione quando il satellite è più vicino al pianeta aumenta la forza di gravità e quindi, perché si mantenga l’equilibrio, deve aumentare della stessa quantità anche la forza centrifuga, ciò avviene appunto con l’aumento della velocità del satellite. Di seguito riportiamo le formule per il calcolo della velocità istantanea e del periodo orbitale di un qualsiasi satellite che descrive la sua orbita ellittica intorno al suo pianeta. Siano a il semiasse maggiore dell’orbita, r la distanza dal centro del pianeta al centro del satellite, G M P (detto parametro orbitale) il prodotto tra la massa del pianeta e la costante di gravitazione universale, avremo: ORBITE ELLITTICHE 2 1 Velocità: v r a Periodo: T 2 a3 T 2 r3 ORBITE CIRCOLARI (poiché a=r) Velocità: v r Periodo: