la gravitazione universale

ITIS “G. Marconi” – Bari / ASI / IMT
Progetto EduSAT
prof. Ing. Nazzareno Corigliano
Gravitazione Universale
PAG.
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LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
LEGGE DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE
“ Ogni corpo materiale di massa m1 è in grato di esercitare una forza di attrazione
su un altro corpo materiale di massa m 2. Tale forza è direttamente proporzionale al
prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza
tra i due corpi.”
Fg  G 
La costante di proporzionalità
Universale.
m1  m2
d2
G  6,673 10 11 m3 kg 1s 2 è detta Costante di Gravitazione
Con questa legge fondamentale, Isaac Newton (1642-1727) rivoluzionò la concezione dell’Universo
spiegando e dimostrando matematicamente il moto dei corpi celesti.
Allo stesso modo spiega che il peso di tutti gli oggetti
non è altro che la forza di attrazione gravitazionale
esercitata dal pianeta su cui si trovano. Infatti un
corpo di massa m che si trova sulla Terra (massa
M T  5,974 10 24 kg ) , che quindi ha una
distanza dal centro pari al raggio della Terra
RT  6,375 106 m , viene attirato con una forza
M m
Fg  G  T 2
,
in
cui
la
quantità:
RT
MT
5,974 10 24
m
11
g  G  2  6,673 10 
 9,809 2
6 2
RT
(6,375 10 )
s
rappresenta l’accelerazione di
gravità (ossia l’accelerazione a cui è soggetto il corpo in caduta libera), e quindi
appunto la forza peso.
Fg  m  g cioè
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FORZA DI GRAVITÁ E FORZA CENTRIFUGA
La forza centrifuga è quella che si manifesta sui
corpi posti in rotazione intorno ad un punto. È
quella forza che percepiamo, ad esempio, quando
facciamo roteare un corpo legato con un filo, e che
sentiamo tendere il filo. Tale forza si calcola
conoscendo la massa m del corpo in rotazione, la
sua velocità periferica v e il raggio r della
traiettoria circolare:
m  v2
Fc 
r
Quindi, per Newton, due corpi materiali
isolati nello spazio si attraggono fino a
collidere. Se però uno di essi ruota intorno
all’altro subentra anche la forza centrifuga
che, opponendosi a quella di gravità e
facendole equilibrio, gli consente di
orbitare indefinitamente. Così succede tra la
Luna e la Terra per cui pur essendoci la
forza di gravità Fg  G 
v
dTL
M T  mL
con
2
dTL
cui Terra e Luna si attirano, siccome la Luna ruota intorno alla Terra con la velocità v avremo che ci
mL  v 2
sarà anche la forza centrifuga uguale e contraria a quella di gravità Fc 
grazie alla quale
d TL
la Luna non cade sulla Terra!
Uguagliando le due forze si può ricavare la velocità orbitale del satellite:
mL  v 2
M m
G  MT
Fc  Fg 
 G T 2 L  v 
dTL
dTL
dTL
come si nota subito tale velocità è
indipendente dalla massa del satellite stesso ma dipende solo dalla costante di gravitazione
universale, dalla massa del pianeta e dalla distanza da esso.
Poiché la distanza media Terra-Luna è pari a 384.400.000 m, possiamo calcolare la sua velocità:
G  MT
6,673 10 11  5,974 10 24
m
km
v

 1.018
 3.665
dTL
384.400.000
s
h
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Lo spazio percorso è pari alla circonferenza dell’orbita
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CL  2    dTL  2.415.256.432 m
quindi il tempo impiegato a fare un giro intorno alla Terra (cioè il periodo orbitale) è pari a:
TL 
C L 2.415.256.432

 2.372.550 s  27,46 giorni
v
1.018
come effettivamente si riscontra nell’esperienza. Ciò nonostante le approssimazioni fatte: orbita
circolare (mentre invece è ellittica quasi circolare) e sistema isolato (mentre invece vi è l’influenza
gravitazionale di tutti gli altri pianeti, del sole e dei corpi celesti più lontani), a dimostrazione della
potenza della legge di gravitazione universale newtoniana.
LEGGI DI KEPLERO E MOTO DEI PIANETI
1. Legge: Ogni pianeta descrive un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei
fuochi.
2. Legge: La retta Pianeta-Sole descrive aree uguali in tempi uguali.
3. Legge: Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta è proporzionale al
cubo del semiasse maggiore dell'orbita.
Queste tre leggi fondamentali, che descrivono il moto dei pianeti intorno al sole, le aveva già
enunciate Johannes Kepler (1571-1630). Newton le dimostra definitivamente con la sua legge di
gravitazione universale. Per esempio, la conseguenza che deriva dalla seconda legge è che la
velocità del satellite non è sempre la stessa ma aumenta quando è più vicino al pianeta e diminuisce
quando è più lontano (così come si vede sperimentalmente). Newton spiega ciò perfettamente,
infatti per la legge di gravitazione quando il satellite è più vicino al pianeta aumenta la forza di
gravità e quindi, perché si mantenga l’equilibrio, deve aumentare della stessa quantità anche la forza
centrifuga, ciò avviene appunto con l’aumento della velocità del satellite.
Di seguito riportiamo le formule per il calcolo della velocità istantanea e del periodo orbitale di un
qualsiasi satellite che descrive la sua orbita ellittica intorno al suo pianeta. Siano a il semiasse
maggiore dell’orbita, r la distanza dal centro del pianeta al centro del satellite,   G M P (detto
parametro orbitale) il prodotto tra la massa del pianeta e la costante di gravitazione universale,
avremo:
ORBITE ELLITTICHE
2 1
Velocità: v      
r a
Periodo:
T  2  
a3
T  2  
r3

ORBITE CIRCOLARI (poiché a=r)
Velocità:
v

r
Periodo:
