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Esercizi sulle rette nello spazio
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Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati?
Sono dati quattro punti non complanari, quanti piani generano?
Quante coppie di rette sghembe generano quattro punti non complanari?
A quanti piani possono dare origine tre rette incidenti in uno stesso punto?
A quanti piani possono dare origine due rette r, s parallele e una retta t incidente r?
Se due rette nello spazio sono complanari, ci sono rette complanari all’una ma non all’altra?
Sono date tre rette distinte tali che ciascuna interseca le altre due, dimostrare che sono
complanari o passano tutte per uno stesso punto.
8) Dati un punto P e una retta r non passante per P, quali sono le rette sghembe con r e passanti
per P?
9) Date due rette incidenti r, s, una retta può essere sghemba con r ma non con s?
10) Nello spazio sono date due rette parallele r, s e una retta t incidente r, quali sono le possibili
posizioni di s e t?
11) La relazione tra rette “essere sghembe” gode della proprietà transitiva?
12) Nello spazio due rette che non hanno punti in comune
a) Sono parallele
b) Possono essere parallele
c) Sono sghembe
d) Possono essere sghembe
e) Non possono giacere su uno stesso piano
13) Dato un piano α siano r una retta che giace su α, s una retta incidente α in un punto di r. Tra
i piani del fascio che ha come sostegno r ne esiste uno che contiene s?
14) Dati due piani incidenti come si posso tracciare due rette sghembe giacenti l’una su un piano
e l’altra sull’altro?
15) Dati due piani incidenti α, β siano A, B due punti del piano α situati in semispazi opposti di
origine β e C, D due punti del piano β situati in semispazi opposti di origine α. Quale può
essere la posizione reciproca di AB e CD?
Perpendicolarità retta – piano
16) Sono date quattro rette p, r, s, t passanti per uno stesso punto O, in cui p è perpendicolare a r
e a s. Se t non è complanare con r e s, può essere perpendicolare a p?
17) Siano α e β due piani incidenti, o un loro punto comune, r una retta perpendicolare ad α in
O: può essere r perpendicolare a β in O?
18) Dimostrare che se una retta r è perpendicolare a un piano α, ogni retta perpendicolare alla r
o è contenuta in α o non ha punti in comune con α.
19) Determinare il luogo dei punti equidistanti da due punti dati.
20) Determinare il luogo dei punti equidistanti dai punti di una circonferenza.
21) Determinare il luogo dei punti equidistanti da tre punti dati non allineati.
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Esercizio guida 1 – Perpendicolarità retta – piano
In un piano α è dato un triangolo acutangolo ABC e H è la proiezione di A sul lato BC. Indicato
con P un generico punto sulla retta perpendicolare in A al piano α, dimostrare che i triangoli
PAH, PBH, PCH sono rettangoli.
Il segmento AP è perpendicolare in A al piano α, perciò è perpendicolare a tutte le rette di α
passanti per A e in particolare al segmento AH, risulta così dimostrato che PAH è un triangolo
rettangolo.
Per dimostrare che anche PBH e PCH sono rettangoli si osserva che AH è la perpendicolare al
segmento BC condotta dal piede A della perpendicolare al piano α, per il teorema delle tre
perpendicolari BC è perpendicolare in H al piano generato dai punti P, A, H, quindi è
perpendicolare al segmento PH. Ne consegue che i triangoli PBH, PCH sono entrambi rettangoli in
H.
22) In un piano α è data una circonferenza γ di centro O, tracciare nel piano α la retta t tangente
a γ in un generico punto A. Indicato con P un generico punto sulla perpendicolare in O al
piano α, dimostrare che AP e t sono tra loro perpendicolari.
23) Data una generica retta r siano O, P due suoi punti. Tracciare il piano α perpendicolare in O
a r e, in tale piano, un rettangolo ABCD in modo che O sia il punto medio del lato AD.
Dimostrare che BC è perpendicolare al segmento che ha per estremi P e il punto medio di
BC.
24) Dato un quadrato ABCD di lato 3a tracciare la retta r perpendicolare in A al piano del
quadrato e indicare con P il punto di r tale che AP 4 . Calcolare la distanza di P da
ciascuno dei vertici del quadrato. [ PB = PD 5 ; PD √34 ]
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Esercizio guida 2 – Il teorema delle tre perpendicolari
In un piano α sono assegnati un segmento AB di misura 4 a e un punto O sull’asse di AB
distante 4 a dal segmento stesso. Tracciata la retta r perpendicolare al piano α in O indicare
= 4 a. Calcolare la distanza di C dagli
con C il punto di r in corrispondenza del quale
estremi del segmento AB.
Poiché r è perpendicolare in O al piano α generato dai punti O, A, B e OH è perpendicolare ad
AB si ha, per il teorema delle tre perpendicolari, CH perpendicolare ad AB. CB è quindi
ipotenusa del triangolo CHB di cui è noto il cateto HB e calcolabile il cateto CH.
HB
2
CH è ipotenusa del triangolo rettangolo COH, pertanto CH
4√2
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB si ottiene:
BC
√32
4
= 6a
AC ≅ BC perché i triangoli CHA e CHB sono congruenti.
25) Dato in cerchio γ di centro O e raggio 3a, sia ABCD un quadrato ad esso circoscritto.
Tracciata la retta r perpendicolare in O al piano di γ indicare con P un punto di r che ha
distanza 4a da O, calcolare la distanza di P da ciascuno dei vertici del quadrato. [ √34 ]
26) Dal centro di un triangolo equilatero di lato 6√3 tracciare la retta r perpendicolare al piano
del triangolo e indicare con P un punto di r che ha distanza 2√3 dal piano. Calcolare la
distanza di P da ciascuno dei tre vertici del triangolo.
[4√3 ]
27) Un triangolo ABC rettangolo in A ha AC 3 e BC 4 . Tracciata la retta r
perpendicolare in C al piano del triangolo, sia P un punto di r in corrispondenza del quale
PC 4 . Calcolare la distanza di P da M punto medio di AB.
[ PM
√29 ]
4
28) Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB= 3a e AC= 4 a , tracciare la retta r perpendicolare
al piano del triangolo in A e indicare con P un punto di r tale che AP ≅ AC. Indicato con Q
un punto di BC, per quale posizione di Q il segmento BC è perpendicolare al piano generato
dal vertice B, allora
dai punti A, P, Q? Quanto misura PQ?
[ Q deve essere distante
PQ
√34 ]
Angolo retta – piano
Esercizio guida – Angolo retta - piano
6 . Disegnare la retta r
E’ dato un triangolo rettangolo isoscele ABC in cui
perpendicolare in A al piano del triangolo e indicare con P il punto di r tale che
8 .
Calcolare l’angolo che ciascuno dei segmenti PC, PB forma con il piano di base.
La retta r, perpendicolare al piano del triangolo, è perpendicolare ai lati AB e AC. Essendo ABC un
triangolo isoscele sulla base BC, i triangoli PAB e PAC sono congruenti per il primo criterio.
PBA e PCA sono gli angoli che i segmenti PB, PC, rispettivamente, formano con il piano del
triangolo e sono tra loro congruenti.
Attraverso i teoremi sui triangoli rettangoli otteniamo tg(PBA) =
= perciò PBA = artang
29) Da un punto A di un piano α si traccia un segmento AB che forma un angolo di 30° con il
piano. Se AB = 6 a, qual è la distanza di B dal piano?
[ 3a ]
30) Una retta r incidente un piano α in un punto A forma un angolo di 45° con α. A che distanza
da A si trova il punto della retta che ha distanza 8 a da α?
31) Un segmento AB
5 forma un angolo α = arcos
√
[ 8√2
]
con un piano α a cui appartiene il
punto A. Qual è la distanza di B da tale piano?
[ 2√5 ]
32) Un punto P nello spazio ha distanza 10 a da un piano α. Indicata con H la proiezione di P su
α, calcolare a quale distanza da H si deve prendere un punto Q su α affinché il segmento PQ
formi un angolo di 60° con il piano α.
[ HQ =
√
]
5
33) Dato un quadrato ABCD di lato a indicare con O il suo centro, tracciare la retta r
perpendicolare in B al piano del quadrato. Per quale posizione di P il segmento PO forma un
angolo di 45° con il piano del quadrato? [ PB
]
√
34) Un triangolo isoscele ABC di base AB ha i lati obliqui di misura 4a e l’angolo al vertice di
120°. Tracciare la mediana CM del triangolo e la retta r perpendicolare in C al piano del
triangolo e la retta t che passa per M e forma un angolo di 60° con il piano del triangolo.
Determinare a quale distanza da C si trova il punto d’intersezione delle rette r e t. [2√3 ]
Esercizio guida – Proprietà angolo retta - piano
Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 45° con esso. Tracciare la
semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O perpendicolare a s. Indicato con
P il punto di r tale che
2√2 , siano: H la proiezione di P su α, A il punto di t tale che
. Calcolare l’ampiezza dell’angolo
.
POA è un angolo del triangolo POA di cui è noto il lato OP, ricaviamo le misure degli altri due lati
e, attraverso il teorema di Carnot, l’ampiezza dell’angolo richiesto.
= 2a
AP
AH
HP = 2√3
(teorema di Pitagora applicato al triangolo PHA)
AP = OP + OA – 2 OP ⋅OA ⋅ cosPOA (teorema di Carnot applicato al triangolo POA)
sostituendo le misure dei lati del triangolo otteniamo
12
=8
+4
- 2⋅ 2√2 ⋅2a⋅ cosPOA
riducendo i termini simili si ottiene cosPOA = 0
perciò POA = 90°
35) Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 45° con esso. Tracciare la
semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 45°
con s. Indicato con P il punto di r tale che OP 2√2a, siano: H la proiezione di P su α, A il
punto di t tale che OA OH. Calcolare l’ampiezza dell’angolo POA. [ 60°]
36) Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 30° con esso. Tracciare la
semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 60°
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con s. Indicato con P il punto di r tale che OP
punto di t tale che OA
2√3 , siano: H la proiezione di P su α, A il
OH. Calcolare l’ampiezza dell’angolo POA. [arcos
√
≈ 64°]
37) Una semiretta r interseca in O un piano α e forma un angolo di 60° con esso. Tracciare la
semiretta s, proiezione di r su α, e una semiretta t di origine O che forma un angolo di 30°
con s. Indicato con P il punto di r tale che OP 2 , siano: H la proiezione di P su α, A il
punto di t tale che OA
OH. Calcolare l’ampiezza dell’angolo POA. [arcos
√
≈ 64°]
Negli ultimi tre esercizi abbiamo sempre trovato come risultato un angolo POA maggiore di
quello che la semiretta r data forma con il piano α. Questo disuguaglianza ha validità generale
come è dimostrato nel prossimo esercizio guida.
Esercizio guida – L’angolo minimo
L’angolo che una semiretta r incidente un piano α, e non perpendicolare ad esso, forma con α è
minore dell’angolo che r forma con qualunque altra semiretta che ha la stessa origine e sta sul
piano α.
Preso un qualunque punto P su r, indichiamo con H la sua proiezione su α e tracciamo la semiretta
s, proiezione di r su α. Ora tracciamo una qualunque semiretta t di origine O e indichiamo con A il
punto di t in corrispondenza del quale OA OH. Vogliamo dimostrare che POH
POA.
Consideriamo i triangolo POH e POA essi hanno un lato in comune e un lato congruente per
costruzione. Sul terzo lato dei due triangoli vale la disuguaglianza PH > AP, poiché i due segmenti
sono, rispettivamente, cateto e ipotenusa del triangolo rettangolo PAH. Ne consegue che sugli
angoli opposti ai lati disuguali vale la relazione POH
POA.
