Errata Corrige Libro di Testo (ultima rev. 14 gennaio 2015)
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78 MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Figura 4.2 Esempi di sistemi di movimento complessi: a) riduttore a più stadi, b) robot Meccanica Applicata alle Macchine CittàStudi Ed., Callegari Fanghella Pellicano 2013 Errata corrige Nel conteggio righe si considerano solo le righe di testo (formule e tabelle sono escluse) Figura 4.3 Esempi di inversione Pagina Riga/Figura Parte errata o incompl Parte corretta cinematica: catena cinematica con 3 (a) (b) /equazione/ coppie rotoidali e una prismatica. tabella 78 Fig 4.3 In c) il telaio è 2 In e) il telaio è 4 (b) (a) (d) (c) (e) In Figura 4.3 sono mostrate varie inversioni cinematiche di una catena formata da 4 corpi chiusi in una maglia da 3 coppie rotoidali (fra i corpi 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4) e una prismatica (fra il corpo 1 e il corpo 4). Nella Figura 4.3b, è assunto come telaio il corpo 1 e da questo discendono alcune caratteristiche del movimento assoluto degli altri corpi: il corpo 4, essendo vincolato al telaio da una coppia prismatica, potrà solo traslare lungo una direzione fissa (orizzontale in figura) rispetto al riferimento assoluto, il corpo 2, vincolato a telaio da una coppia rotoidale (punto O), potrà solo ruotare attorno a questo punto, fisso, e, infine il corpo 3 vincolato ai corpi 2 e 4 tramite rotoidali, avrà un movimento piano di tipo generale (traslazioni in direzioni x e y e rotazione). Questa configurazione è molto nota, essendo usata, ad esempio, nei motori a combustione interna e in molte altre macchine, e sarà studiata in dettaglio Capitolo 4_meccanica.indd 78 13/03/13 16:41 o) e modulo variabile. La geometria del meccanismo di sospensione posteriore nibile in maniera del tutto analoga (Figura 4.7b), tenendo conto che i corpi 3 e coppia prismatica che li connette (ammortizzatore) sono rappresentati da un vettore a modulo e fase variabili (zBC). 81 dei meccanismi: a) alzacristalli automobilistico; b) sospensione posteriore di bicicletta. Fig. 4.7 Sul membro 4 il vettore è zBC 101 CINEMATICA DEI MECCANISMI PIANI (a) 82 In Figura 4.24 vengono mostrati il quadrilatero e i suoi C.i.r. in una diversa posizione; in questo caso, la posizione di P24 interna (b) al segmento P12P14 denota un rapporto w4/w2 di segno negativo. Data la posizione (interna a P12P13) di P23 il rapporto w3righe /w2 è negativo in questa posizione. 8-­‐11 ancheNon è definito espicitamente il concetto di maglie Datibtre corpi i, j eindipendenti k, e i loro rispettivi C.i.r. (Pij, Pjk e Pki), per il teorema di dal asso Aronhold-Kennedy sempre allineati, vale la relazione, che definisce, in generale, il rapporto di trasmissione fra due qualunque di essi: 81 13/03/13 16:41 tij = wj / wi = ± lPij_Pik / lPij_Pjk (4.49) con le condizioni sul segno prima discusse (segno positivo se Pij esterno al segmento PjkPki). Ad esempio, nel caso dei tre corpi di Figura 4.25, il portatreno 1, le due ruote 2 e 3, vincolate al portatreno da coppie rotoidali in P12 e P13 e fra di esse a un moto di puro rotolamento nel punto di contatto P23 delle due circonferenze (r2 + r3 = l1), si ha: 1) i = 2, j = 3, k = 1 (rapporto di trasmissione fra le due ruote, considerato fermo il portatreno): t23 = w3 / w2 = – lP23_P12 / lP23_P13 = – r2 / r3 (4.50) che costituisce il caso ben noto del rapporto di trasmissione fra due ruote; essendo P23 interno agli altri 2 C.i.r, tale rapporto è negativo; 2) i = 2, j = 1, k = 3 (rapporto di trasmissione fra il portatreno 1 la ruota 2, considerata ferma la ruota 3): 101 eq. 4.51 t21 = w1 / w2 = – lP21_P23 / lP12_P13 = r2 / l1 che è positivo, essendo P12 esterno agli altri 2 C.i.r. (4.51) Definizione di maglia indipendente: In un meccanismo, una maglia è un percorso chiuso formato da un'alternanza di corpi e coppie cinematiche. Un insieme di maglie che contiene tutti i corpi e le coppie del meccanismo, e che non può essere ridotto senza escludere almeno un corpo o una coppia è detto insieme di maglie indipendenti. La seguente formula di Eulero consente di determinare il numero di maglie indipendenti in un grafo: Numero_maglie_indipendenti=e-­‐v+1 in cui e= numero dei lati (edges) del grafo; v= numero dei vertici del grafo Per applicare questa formula a un meccanismo, basta considerare che i vertici del grafo corrispondono ai corpi del meccanismo, mentre le coppie (considerate con la loro molteplicità) ai suoi lati. τ 21 = ω 1 / ω 2 = lP 21_P 23 / lP12 _P13 = r2 / l1 Figura 4.25 Centri di istantanea rotazione ruoteportatreno. sono presenti Figura 6.6 ⎡ a ⎤bielle scariche, è opportuno identificarle per tenere conto della direzio2 xB forze scambiate: in questo modo il sistema di equazioni (nota)⎢delle che dovrà essere Modellonormale ! 3 ×generale, ⎥ = a A + a rtB _ A + a rnB _ A =Nel a A +caso w B − A − w B − A (4.63) ( ) l’accelerazione ) di A è composta dalla componente 3 ( semplificato olto sarà da 1 incognita (ed ovviamente 1 equazione) in meno, per cui ⎢⎣ caratterizzato 0 ⎥⎦ (accelerazione centripeta) dovuta al moto circolare di A, parallela a z2, e dalla comdella dinamica ulta più semplice. ponente tangenziale, ortogonale a z2, presente solo se l’accelerazione angolare della verticale incognite axB e di3,azione come ealreazione: solito risolubili percoppia, il vettore aB e plicare il principio quando èsigraficamente disconnette una nascono manovella non nulla. Come per le posizioni e velocità, l’accelerazione B dovrà di undi autoveicolo. on la semplice formula = a /z per il modulo dell’accelerazione angolare 2 membri che erano 2 forze e contrarie, cioè con conto lo stesso modulo, 3terza rtB_A 3 uguali 103 in contatto ressere iga dal raggio tenendo 1 determinata della presenza di ambedue i corpi 3 e 4, e delle 1 o antiorario). stessa direzione e verso opposto (ovviamente tali forze sono applicate l’una ad un basso accelerazioni relative sia tangenziali sia normali (centripete) su ognuno di essi: embro e l’altra al secondo membro): sempre per ridurre la complessità del successivo 106 eq 24nomi .61 diversi a taliaforze=dia contatto, oblema algebrico, anziché dare R=ed + artB_A +adaes. a R+ , e (BFigura – A) –4.29 w32 (B – A) B_3 A rtB_A ij A ji 3 Analisi (4.61) i imporre la relazione Rij = – Rji, è bene fin dall’inizio dare lo stesso nome alle 2 forze e accelerazione aB_4 = aC + artB_C + arNB_C = 4 (B –diC) – w42 (B – C) 107 con i versi fig 4opposti. .29 egnarle nello schema del biellarivere le equazioni di equilibrio di ciascuna parte sialostata isolata e comporre un sisteSi scelgano come coordinate libere spostamento verticale e, l’angolo di di queste quattro Essendo per la coppia rotoidale B,zadel=baricentro a = amanovella. le incognite B B_4 B_3 a algebrico lineare nei moduli forze incognite. beccheggio q: delle ipotizzando piccole oscillazioni, di attacco A e B si può essere risolto equazioni scalari sono lei punti quattro variabilidelle in aBsospensioni , 3 e 4. Il problema muovono verticale con spostamenti rispettivamente di z = z + aq e z = z – bq. rificare che il sistema sia sulla ben posto (ovvero di avere tante equazioni quante incognite) A B graficamente tramite un poligono di vettori, che rispetto alL’enercaso delle velocità, è leggia cineticalee reazioni quella potenziale dell’auto valgono rispettivamente: isolverlo per determinare vincolari e le altre forze esterne eventualmente germente più complesso a causa della presenza di nuovi vettori noti (le accelerazioni ognite. centripete, arNB_A =1– w322(B1– A)2e arNB_C = – w42(B – C), Figura 4.2�). Determinate dal T (t ) = mz +tangenziali J q (6.30) di accelerazione relativa, artB_A = 3 (B – A), e 124 fig 5.9 poligono le componenti 2 2 G raggio l1 a B_ 3 = a A + a rtB_A + a rnB_A = a A + ω! 3 × ( B − A ) − ω 32 ( B − A ) la freccia di artB_A va invertita Le parentesi sono sbagliate voglia ora effettuare l’analisi di accelerazione del meccanismo a ritorno rapido esempio T23 (=-­‐T32) gura 4.19,, per il quale si assume, ad esempio, rotazione della2 manovella 2 a2 ve1 1 U(si t ) ricava, = mgz +direttamente, ka ( z + aq ) +perkla z − bq ) in (6.31) à costante, nota (qü2 = 2 = 0); da questo (rotoidale 2 bessere svolta M E C C A N I C A A P P L I C A T A A L L E M A C C H I N E i corpi 2 e 3, aB_2 = aB_3 = 170 – w22(B – O), che come in2 precedenza può camente (Figura 4.30).P(t) L’accelerazione del puntosull’assale B sul corpo 4 è determinata La forza che agisce direttamente anteriore va “proiettata” nelle direzioni Capitolo 4_meccanica.indd 106 13/03/13 16:42 iderando, come per le velocità, sia il moto assoluto del corpo il moto conoscere un solo valore del rendimento delle coordinate libere, fornendo: Si osserva che4è che sufficiente per stu vo fra i corpi 3 e 4, legato alla presenza di una diare coppiail prismatica fra di essi. In flusso di potenza diretto e retrogrado quando il rendimento è abbastan∂z ∂z 161 le due eq. 6.32 vettoriali za to modo si ottengono relazioni sottostanti: coefficiente di attrito f, ovviamente Qz (alto: t ) = P sia ⋅ Ah(=fP) il rendimento funzione del(6.32) Qz (t) = P ⋅ A = −P ∂ z se f è piccolo allora si può sviluppare in serie di McLaurin ottenendo ∂z aB_4 = artB_A + arnB_A = 4 (B – A)h(0) – w42=(B1:– A) (4.64) 170 riga 5 non c’è apice su η r ∂h aB_4 = aB_3 + arB4_3 + aBco4_3 = aB_3 + aB3_B4 h '(–f2w ) =3 h(0v)B4_B3 + f +… 1 – e f con 0 < e << 1, da questa espressione si calcoli ∂f f =0 quali le incognite sono a , e a , mentre sono note, oltre a aB_3, tut1 1 B_4 6.16 4 172 fig. B4_B3 h '( f ) = = 1 – e f +… ; questo diil rendimento nel flusso retrogrado accelerazioni dipendenti dalle velocità che sono la componente centripeta 1 h (– f ) + e f = Capitolo – w42(B – A) e l’accelerazione di Coriolis aBco4_3 = – 2w3 vrB4_B3 che nasce a 6_meccanica.indd 161 13/03/13 16:44 mostra che se il rendimento è elevato si può assumere h h'. a della presenza della velocità angolare del corpo 3 e della velocità relativa i 6.4.3 mpio 5.1 F LU S S O D I P OT E N ZA N E L L E T R A S M I S S I O N I onsideri il meccanismo schiaccia-lattine rappresentato in Figura 5.7b in cui r= l è già stato notato, nelle trasmissioni meccaniche il flusso di potenza si può a ; nell’ipotesi di poter trascurare gli attriti,Come determinare la forza di compres2 13/03/13 16:42 volte invertire, per cui essa occasionalmente fluisce dall’utilizzatore al motore: per esercitata dal pistone in funzione della forza di comando F quando q = 30°. studiare la dinamica della macchina, pertanto, occorre preventivamente accertarsi Ni dd 107 del verso del flusso di potenza e di conseguenza utilizzare il valore di rendimento a di sviluppare l’analisi statica del meccanismo occorre determinare degli appropriato (direttoil hvalore o retrogrado hr). d i mostrati in Figura 5.10; dal teorema dei seni si ricava: Laωdeterminazione del flusso di potenza può essere a volte immediata, ad esempio P = P P = ηseP 173 eq. 6.68 (b) t1 r t2 t1 r t2 la macchina è a regime, ma in condizioni di moto vario le variazioni di energia cinetica delle masse a monte e a valle della trasmissione possono portare a versi imprevisti di 2 = l → y = arcsen 2sen( 30flusso °) = 45 ° cui in questo caso (5.2)è necessaria una analisi accurata. A tal fine, è possibile tale per 6.14 senq senFigura y Flusso di potenza separare la macchina in 3 sottosistemi, come mostrato in Figura 6.14, e poi applicare attraverso a sistema: ciascunoviene di essi l’equazione di bilancio energetico. Si noti che in questo schema la esto punto si traccia il diagramma di corpo libero del indicata con Rij la le trasmissioni: divide in due one vincolare che agisce sul corpo j per effetto deltrasmissione, contatto con ilche corpo i; inoltre taliil sistema, è supposta priva di inerzie per cui queste, se l ( ) relazione una legge lineare dello spostamento in funzione eri ora uno spostamento xquesta della massa m verso il fornisce basso, a tale spostamenFigura 7.20 della forza Figura 7.15, per effetto della deformazione strutturale il punto C si sposta verticalmenonde una variazione di lunghezza dell’asta BC e con del molti cavo gradi AC. Sidiconsideri la contropartita si perde in parte la fisica Sistema sistemi complessi libertà, come te nel punto C' (si ericordi che il modello è semplificato e gli spostamenti soF =orizzontali AE dimoto coordinate 5, per effetto della deformazione strutturale ilnoti punto C la si sposta verticalmenk = applicata; si ottiene rigidezza equivalente . Durante il vibratorio la del problema, si infatti che si perdono completamente le forze elastiche, il cui effetto è no trascurati, inoltre si trascura la variazione di b), ciò porta a determinare per esempio eq lagrangiane to C' (si ricordi che il modelloperò è semplificato e gli spostamenti d2 2 L incluso nell’energia potenzialeorizzontali elastica. sox 2x 1 senb , alternative. la lunghezza cavoa determinare dopo l’applicazione del carico: AC ati, inoltre si trascura la variazione dinotato b), ciòdel porta per esempio 1 Si è già che nellaalla formulazione il sistema di–equazioni presenta unaelastica matrice F = – k x, dall’equimassa èrelazione soggetta forza diattuale inerzia Fi =spostamenti mẍ 1e alla forza el eq questa può essere linearizzata per piccoli x e può essere ge2 2 di massa diagonale le equazioni sono dunque accoppiate ACe una1 di rigidezza xC Anon-diagonale, 2x zza del cavo dopo del Fi + Fel = 0 211 l’applicazione riga 1dinamico 6 carico: M1= E C0 Nottiene I C1 senb A A P, Pl’equazione L I Cdel A T cavo A A LeL dell’asta Edel M Amoto: C Cdopo H I N la E de226 librio F = + F si neralizzata per ottenere le lunghezze approssimate tramite quest’ultima. facileelxmostrare che la geforma delle equazioni del moto non è unica i Èpotenziale azione può essere linearizzata per piccoli spostamenti e può essere energie cinetica sono date da: V I B R A Z I O Nformazione, I Le Muno E C stesso CAN I sistema C H E e uno 227 mediante sviluppo in serie di Mcdalle Laurin in x arrestato al primo ordine: per meccanico, essa dipende coordinate lagrangiane. a per ottenere le lunghezze approssimate del cavo e dell’asta dopo la de! ℓ1 − xsenβ 215 riga 1 1 ʹ ʹ 2e è rappresentato un sistema did’estremità anziché spostamento operaʹ =7.7r AInCFigura ℓ 1Mc + Dℓ " ℓ (1⎛− x senb BC ʹ =⎛ordine: ℓ coordinate " ℓ 2 (⎞ 1 − x sena =7.20 ℓBarra = ℓ +2 Dℓ ⎛alternativo, longitudinale con massa ). Questa e, mediante uno sviluppoEsempio in serie di 1Laurin 1 in x1 arrestato ⎞) primo y! 1 + y! 2al y! 22 – y! 12 ⎞ !! 2 AE 1 1 1 1 2 2 (7.4) m x, + ⎜U =convinti =che verticale del baricentro gli A (7.22) e B; di linearizzazione quando di ordine ⎟⎟ spostamenti = è melecita JGè ⎜⎜ragionevolmente +0 ki termini ydei punti Esempio 7.9rzione Sistema barra diTtorsione ⎟kx1 yverticali ⎜ rotazione, ⎟⎟ +sisiscelgono 1 2 2 ! ℓ − xsen α riga 1ℓʹ21 .barra Questa opera− x senb )Sie consideri BCleʹ =nuove + Dℓ 2 "diℓFigura 1 −⎜⎝legate x7.10, sena ℓ 1 + Dℓ 1 " ℓ 1 (1215 =l’esempio ℓcoordinate ( ) la ha una lunghezza L = 1 m e porta una massa 2 2 2 2 2 ℓ + ℓ 2 2 2 L ⎠ ⎝ ⎠ sono alle precedenti: y (t) = x – q e y (t) = x + q; da cui si ha ⎝ ⎠ 1 ciò2è superiore siano trascurabili; nel caso x2<< 1,2. 2 specifico 1 vero quando 1 Un disco rigido montato di una barra a sezione circolare piena incastrata earizzazione è lecita quando siL’energia èèragionevolmente convinti inelle termini d’estremità m potenziale = 1all’estremo kg, la barra d’acciaio –diy1ordine ymolle y1 è+costituita yche accumulata è: e la sezione trasversale è tubo quadro 219 ruga 1 1 valida solo per ℓ1 = ℓ 2 2 2 nell’altra estremità, Figura 7.28. Lexdimensioni sono: e . q = L = 2 m, D . B = 4 cm, s = 1 cm, R = 20 cm. siano trascurabili; nel caso ciòeèspessore veroi termini quando x << 1,2 dispecifico latoimmediatamente: 30 mm 1= mm. si sviluppino necessari per le equazioni di Lagrange: + 2 notiè:lache l’equazione 7.4 èeformalmente identica alla 7.2, il sistema si comporta quindi 1 2 Calcolare laSi frequenza propria nelpropria. caso di alluminio acciaio. potenziale accumulata nelle molle Calcolare frequenza 1 1 1 1 2 2 2 2 U = k D ℓ + k D ℓ " k sen b + k sen a x 2 = ⎤ keq x 2 (7.11) 219 EQ 7.23 1 1 ⎡2 2 2 1 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎡ 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎡ m JG JG J J AE d 7.20 Figura m m d ∂T Svolgimento 1 1 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ G G Figura 7.28 2 2come un2 oscillatore 2 2 armonico, 2 ⎢ ⎥ ⎢m − dove ora . = w ! ! ⎜ ⎟ = y y + + − , !! = + y + U = k1 Dℓ 1 + k2 Dℓ 2 V" I B Rk1Asen sen (7.11) Z I Ob N+ Ik2M E CaC xA ⎜N=I C ⎟kHeqE⎢x 223 n 2 2⎥ 1 2 1 Sistema ⎜ ⎟ 2 ⎢ 4la rigidezza ⎥ Vibrazioni 4 dtè⎝così ∂y!2 ⎢4 dt ⎝ ∂ y! ⎠ ⎢ 4 il modello equivalente definito, keq è una 2 2 2 1 ⎠completamente La rigidezza equivalente è data dalla 7.4 ( ℓ=1 +AEℓ 2 )dove ( ℓ 1 + ℓ 2mL ) equivalente ℓ1 + ℓ 2 ⎥⎦ ℓ1 + ℓ 2 ⎣ keq ⎦ ⎣ ⎦ di coordinate1 ⎣ ⎣ torsionali. costante dipendente da parametri fisici e geometrici del problema. L lagrangiane ⎤ ⎡ ⎤ equivalente è così completamente definito, la equivalente keqche è una ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎡m X è l’ampiezza dirigidezza oscillazione, è la2fase, dal con la J –6 2si possono ⎤ ⎡ m ricavare –6 –6 J 2 ⎥ y! confronto alternative. (7.23) Figura ⎛ ∂T ⎞ ⎡ m A =problema. 32 d 10 JG JG dipendente da parametri fisici e geometrici del d7.15 m ⎜⎜ m ⎟⎟ =–⎢ 2,9− 10G m ⎥=y! 10,59 + ⎢ +10 mG , 2 ( 223 226 ) ⎤ ⎥ !! y2 , ( ) 2 ⎥ ( ) ( )⎦ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ !! 2 2 7.30, si ha infatti che x =dtX cos(w t + ) = X cosw t cos – X senw t sen , da cui si ricava: ⎢4 ⎥ !! Gru y1 + + y , ⎝ ∂y! 2 ⎠ n ⎢⎣ 4 ( ℓ 1 + ℓ 2 ) n⎥⎦ ⎜d’estremità ⎟ =⎢4 − ℓ 1 trave + nℓ 2 ) ⎦ a mensola con massa 2 2 ( ⎣ una Esempio 7.2r Vibrazioni flessionali di Figura 7.15 ! ⎥ ⎢ ⎥ 2 dt ∂ y 4 ⎝ ⎠ per sollevamento: 2 da cui si ottiene la rigidezza equivalente ℓ + ℓ ℓ + ℓ ( ) ( ) 1 2 1 2 ⎦ ⎣ ⎦ Gru deformazione cavo. ⎣ ∂U ∂U Le energie cinetica e potenziale sono (7.33) = k1 –y6w ,2 date=da: k2 y 2 11 per sollevamento: 1 w 0,∂y 59 × 10 nella × 10 Pa Emilia m 2,1regione N ∂U Emilia, Bon∂U ∂y Un forte evento keq =sismico =21,239 ×Romagna, 105 1 2 = k1 y1 , = k 2 y2 deformazione cavo. con epicentro tra Finale 2 1 m m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ y1 ∂ y2 ! 2 massima y! 1 + yla – y! 1 y!deflessione 1 1 1 2 2 L’ampiezza X rappresenta della1 molla k che2in generale dengo e Sant’Agostino (comuni ⎟⎟ , U =di kModena T = m ⎜⎜ y + k y e Ferrara), ⎟⎟ + J ⎜⎜in provincia (7.22)avvenuto nella notte del G 1* 1 2 2 2 2 ⎠ del2moto: avviene t2 le ⎝equazioni ⎝ ℓ 1 + ℓ 2 ⎠x(t ) = X e2x(t ) = 0, riga 4cui nell’istante (può anche essere 0) si ottengono da cuimaggio sidaottiene la2012, frequenza 20 dipropria notevole magnitudo (5.9 Richter),l’energia causòtotale diversi dannit e alcune vittime, * * * 1 esempio kX ;7.11a. del sistema queste condizioni è pari all’energia potenziale della mollaFigura utitra quali7in.7 un operaio schiacciato daldicrollo di un silos, La probabile causa del N silesviluppino necessari per le equazioni ⎡i termini 5 N 2 1,239 × 10 5 ⎛ ⎛ × ⎞,239 ⎞ ⎤Lagrange: 1 10 1 ⎢ ⎜ mdelle 7.33 J del J in direzione ⎜m ⎟ ⎥ crollo fulal’oscillazione terreno orizzontale (terremoto ondulatorio), la quale m = 56,02Hz lizzando prima si ⎟dimostra immediatamente essa è pari all’energia m fn = 65 Hzche ⎢ ⎜ + fn = 2p ⎟⎡ ⎜ − ⎡ =⎤ 2211 2 ⎟ ⎥⎡ ,⎤ ⎤ 4 4 ⎛ ⎞ kg 1 2 π 1kg ⎡ ⎤ ⎞)1 m2 1 ( ℓJ +xdel ℓoscillazioni Jk 2 1 ⎧⎪2 y ⎫⎪ ⎧0 ⎫ il crollo dovuto quasi sicura⎢ ⎝* d ( ℓ ⎛⎜*+∂T ha indotto delle forti 0⎥ kx y =⎫⎪e1 successivamente ⎠⎢ ⎝+= k ⎢⎜ !ℓ0 ⎥⎟)y! silos ⎠+x⎥⎢⎧⎪2m⎥"" iniziale: ; si dimo! (t ) + U ) = kX + m x + = E ! ⎟ = y − , ⎢ ⎥ 0 0 0 in (7.24) + = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ Si applichi una coppiaEM=alT⎢disco, la (t coppia giace sul piano ortogonale all’asse della barra, ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎞ ⎥⎢ 4⎥"" 10 2 ⎢ ⎥ ⎥ dt ⎝ ∂y! ⎠2 secondaria ⎞ 4⎛ ( ℓ2AB ⎪⎩0in ⎪⎭ acciaio, n ⎠della ⎪⎭(Pa ⎪⎩ y ⎪⎭fune +⎢⎣= ℓ⎝ w ℓ ⎣ (trattasi +0ℓ ) k2⎦a ⎦ystruttura mente ad7un’instabilità (il tema della stabilitàℓ elastica è ⎢ i⎛seguenti Si considerino di⎦guscio una ⎦ E⎟1 =⎥⎣⎪⎩10 GJp a⎟⎣= 45°, Jdati: J3) Em, m m 229 esempio .9 ⎜ ⎜ ⎢ ⎥ quindi che l’energia totale resta costante. − + la rotazionestra risultante è data da dove è il modulo di taglio, E il G = = M q il modulo di Young equivalente è molto minore di quello dell’acciaio, per considerare il fatto θM = M M ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎜4 scopi testo e⎟ implica studi 4Pa (trattasi +)n )⎟ di ⎢ ⎜10del ⎥ mtipo superiore). rino i seguenti dati: a = 45°,oltre ABche = 3gli m,sezione E1 = 10 in acciaio, 11 2 J ℓ ⎛ +∂Tℓ ⎞)di ⎠⎢una ℓJ 2 +(1ℓnominale), m⎝ fune d(resistente GJ ( ⎥ ⎢ ⎥ la reale non è quella E = 2,1 10 Pa, A = 100 mm , ⎝ ⎠ 2p (7.23) p Esempio 7.8r Trave a mensola con massa di estremità ! ! 2 1 ⎣libera =oscillatore +⎦ con + periodo , , ciò vuol diy inerzia modulo di Young, n di il coefficiente di ⎜⎜Poisson, Jp il− momento d’area T⎥ y=della è periodica di Young equivalente è molto quello considerare il fatto 2dell’acciaio, Il minore semplice modello di⎟⎟per Figura 7.11b, estremamente semplificato, permette di descri⎥dipur ⎢ sepolare dtquesto ALa =risposta 2500 mm . di ⎝ ∂y! ⎠ 11⎢⎣−4ζω ℓ + ℓ ) ⎦ 22 ⎣ 4 ( ℓ + ℓ ) ⎦ wn 27.48 ( t −ζω t 233 non Si eq GJ one reale resistente è quella nominale), E = 2,1 10 Pa, A = 100 mm , !d’estremip tdiametro 2 1 consideri l’esempio di Figura 7.11, il silos ha un’altezza di circa L = 25 m, un di La deformazione x(t) = Xe sin( 1− ζ ω t + φ ) + X̂ cos( ω − ψ ) rigidezza. x(t) = Xe cos( 1− ζ 2 ω nt + φ ) + X̂ cos(ω t − ψ ) vere qualitativamente il comportamento dinamico sistema. kloeq =del sezione trasversale barra, lunghezza barra; la rigidezza torsionale è . n si re che ladella vibrazione questo caso è un fenomeno che ripete nel tempo con una certa N N N come si vede oralinla la matrice di massa è non diagonale, mentre è la matrice di % " $$$$ #$$$$% "$$#$$ mm2. 7 D = 2,5 m e uno1spessore della di s==8,13 2= mm, si4ipotizzi di,xestremità Si4ottiene: = 12,31∂U m, 35,07°, k1∂U , k2 =una 5,25massa keq = 2,63pari 107 . klamiera y , un y 10 x frequenza; la capire frequenza èb==definita come numero volte che 10 un certo fenomeno sim in È banale che scegliendo altroil sistema didicoordinate lagrangiane si ottengono xk x px D di tà una trave incastrata, sotto l’azione di una forza trasversale F applicata all’estremità m m ∂y del disco, ∂y dette “otto s = 8 Mg Detto J = arm , (D(comunemente = R/2) d’inerzia polare N il momento N tonnellate”). N l’equazione del moto è: G 2 G 2 1 2 2 G1 2 1 2 1 1 G 2 2 2 2 2 G1 2 2 n 1 1 1 2 2 2 G 2 1 G1 1 1 G 2 2 1 1 2 oa 2 2 2 1 2 n 2 p 4 7 esempio una frequenza nell’unità per pari a 1000Hz implica che il fepiene.10 = 12,31 m, b =233 35,07°, k1 ripete =riga 8,13 , k2di = tempo: 5,25 , keq = 2,63 107 . 32generale 1 5 10 dal mmatrici ⎛ 2ζω ωm ⎞ m > 7.2.3 1 w = k / J Jq + keqq =Svolgimento 0;nomeno e la pulsazione naturale . n al secondo, eq s , il periodo è perciò basso dunque iln periodo ⎜ moto: ⎟ è ψlevolte =GRADI arctan 2DI da cui si si ripete ottengono equazioni del SISTEMA A1000 DUE LIBERTÀ 2 1000 3 EI ⎜ ⎟ ω ω n è: armonico ⎝ 1− ⎠keq = 3 il, per consideri l’equazione 7.5, la rigidezza equivalente calcolarla occorre l’inverso della frequenza. Nel caso dell’oscillatore periodo di oscillazione Si hannoDI iSiseguenti risultati: A A DUE GRADI LIBERTÀ L Si consideri un sistema meccanico composto da due masse puntiformi collegate tra ⎡ ⎛ ⎤ ⎛ T sezione trasversale ⎞ della ⎞ 1 4 mediante 241 determinare eq 7.65 momento di4 Jinerzia trattandosi di una –1della trave, loro telaio molle (Figura l’attenzione al moto verti ⎢ ⎜m ⎥ èrestringa J7.16). r(t) Mφ frequenza – 8⎟ φ libera èeTalil=da misura della [s Hz], da non confondere con ⎜4 m ⎟ Si Gdi G 2 pdue D.B L’unità p × 4 10 3m eri un sistema meccanico composto masse puntiformi collegate tra + − −⎥ω 7 4sezione, ⎢ = − = cost=sezione circolare cava si ha I = pR s dove R è il raggio della con i dati forniti si ha: f 2 ⎟gravità, 210 J = = = , × m 2 51327 cale e si ometta la forza di cioè si consideri il moto del sistema attorno alla ⎜ ⎜ ⎟ n Capitolo 7_meccanica.indd T p 219 4 4 al moto ⎡ k + ℓ32 ℓ 2vertielaio mediante molle (Figura 7.16). Si⎢di restringa l’attenzione 32 ( ℓr(t) )Tramite 0 ⎤ ⎪⎧di y 1periodo y 1 ⎪⎫la definizione ⎪⎫ ⎧ 0 ⎫ si può Κφ( ℓ 1–+1]. 1 pulsazione 2) ⎠ φ ⎝equilibrio ⎝ [rad/s ⎠ ⎥ ⎪⎧ "" l’unità di misura della 1 posizione statico. 1 2 ( ) ⎢ ⎥ (7.24) ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬ + ⎛ 2,5⎞sistema metta laCapitolo forza di7_meccanica.indd gravità, cioè si consideri del attorno alla m⎛⎞ –3 40 ⎞0,01227 y 2 1⎭⎪ ⎢⎣m2p 211⎢ ⎛ il moto k 2 ⎥⎦ ⎩⎪ y 2 ⎭⎪ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ ⎥ ⎩⎪="" I = p 2 × 10 m = ⎜ ⎟ J J m m T = ricavare la relazione che implica wn = 2pfn. ⎟ ⎜⎠ e +pulsazione: ⎟ ⎥ di equilibrio statico. G G ⎢ ⎜ − tra frequenza ⎝ 22 f n wn Alluminio Acciaio 2 ⎟ ⎜4 ⎟ ⎜4 3 ⎢ (è:ℓ 1 + ℓ 2 ) ⎠ ⎝ ( ℓ 1 + ℓ 2 ) ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ la rigidezza equivalente 10 2,1 × 1011 Pa 7,6 × 10 Pa 7.6r Conservazione Esempio = 8,07692 × 1010 Pa G= = 2,90076 × 1010 Pa dell’energia G = 11 4 2(1 + 0,3) 2(1 + 0,31) 2 1 × 10 , Pa 0,01227 m N come si vede ora la di massa è non diagonale, mentre matrice di rigidezza. Dimostrare che la 7.30 rispetta il principio conservazione keqsoluzione = matrice 3 = di 485376 ,1 lo è la dell’energia. 3 3 Capitolo 7_meccanica.indd 215 ( oa ) p ψ = arctan 2 2ζω ω n ,1− (ω ω n ) !! r(t) r(t) φ Kφ 2 T =− = cost=-ω 2 T 13/03/13 16:46 φ Mφ 13/03/13 16:46 13/03/13 16:46 mr̈ = Fe + Fd per componenti 420 si può riscrivere: 254 259 (8.19) MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE x + cx! + kx = mw 2 a cos wt ⎪⎧ m!! ⎨ ⎪⎩ m!! y + c8y!.1 + ky = mw 2 a sen wt esempio (8.20) p g 2 =w g 2sen 2 p cos distanza tra i piani di equilibratura: l=0,5m vmax = w , vmin (11.64) w(t) g Si definisca ora la funzione complessa w(t) = x(t) + j y(t) con j = 2–1; sen questa funzione nella sua rappresentazione piano complesso, coincide 2con b. ϕ =nel 30° ϕ A = 30° 262 esercizio 2vettoriale Si sommi la prima delle 8.20 alla seconda moltiplicata per j: 366 esercizio 6 Ladomanda 7 di uscita della catena si può valutare come segue: per un avansostituire Si/No con maggiore/minore velocitàjwt media mẅ = mw2 a(e2) (a) +1cw (b) (8.21) (a) (b) 372 esempio 1.1 kwuscita uscita (5) 2p * * g = = ω t zamento di un passo angolare (che avviene in un tempo t ) deve seτ τ0 riga 8 La 8.21 è380 un’equazione differenziale complessa che si può studiare con izmetodi Il giunto di Cardano (Figura 11.68) permette di trasferire il moto tra due Il assi giunto di Cardano (Figura 11.68) ω permette visti nel Capitolo 7. Vista la presenza dello smorzamento ci si può ridurre allo studio guire un avanzamento 380 riga 10 ω 3R z2 della catena di un passo p, se si definisce V velocità nominale z2 di trasferire il moto tra due assi 3R non paralleliovvero incidenti in soluzione un punto, aventi un a 90°. paralleli Il incidenti in un punto, un teoricamente inferiore non teoricamente inferiore a 90°. Il τ 2 =particolare: = −angolo τ 2 =aventi = angolo del solo moto a regime, della w pz z3 chepsi=collega z3 che si collega ai due alberi attra* giunto è composto essenzialmente daωuna crociera ai due alberi giunto attra-èche composto essenzialmente daωuna 2si R può 2 R crociera V = della catena scrivere Vt ; si ricava facilmente . Ricordando – f) w(t) = wportogonali (t) = |W| ej(wttra (8.22) 2p verso due coppie verso due coppie rotoidali ortogonali2πtra loro e giacenti ognuna sui piani ortogonali 420 riga 5rotoidali 2 p loro e giacenti ognuna sui piani ortogonali che si può ricavare la fluttuazione di velocità (picco-picco) γ = g= agli assi degli alberi. agli assi degli alberi. normalizzata dove: 2 z alla velocità nominale V: 2 1.68 Figura 11.68 ⎛w⎞ 424 Fig. 11.68b a ⎜ ⎟ Cardano: Giunto di Cardano: 2 ⎛ ⎞ w mw a ⎝ n⎠ inematici schemi cinematici W = = v − vmin (8.23) p⎜ 1 g⎟ Dv e realizzazioni. 2 2 azioni. 2 2 2 2 max (11.65) = = − cotan ⎜ ⎟ ⎡ ⎤ ( k − w m ) + ( cw ) ⎢1 − ⎛ w ⎞ ⎥ + ⎛ 2zV w ⎞ V z ⎜ sen g 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎢⎣ ⎝ w n ⎠ ⎥⎦ ⎝ w n ⎠ riga 8 ⎡ Figura 11.58 ⎤ Nel caso in si ha z = 12, il che comporta g = 30° e una fluttuazione w ⎥ ⎢ 3,45%. di velocità del 2z ⎛ cw ⎞ ⎢ wn ⎥ f = arctan2 ⎜ (8.24) ⎟ = arctan2 ⎢ 2⎥ 2 Figura 11.59 ⎝k −w m⎠ ⎛w⎞ ⎥ ⎢ Fluttuazione 1− ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ w n ⎠ ⎥⎦ della velocità in una catena (a) (b) che la velocità di rotazione rulli.assume implicitamente Si noti che la a8.22 del vettore (a) b è pari a quella dell’albero sia in modulo che segno; questo tipo di moto è detto Whirl”. Si può dimostrare che il “Backward Synchronous Whirl”, “Synchronous cioè q = – w è possibile solo se nella 8.17 si assumono diverse rigidezze lungo x e y. eccanica.indd 259 dd 424 (b) (c) 13/03/13 16:48 (d) (c) Le maglie delle catene silenziose, Figura(e)11.60, sono ancora formate da piastrine collegate tra loro mediante dei perni. In questo tipo di catene però il contatto con la ruota dentata non avviene più attraverso il cilindro di collegamento come nelle catene a rulli, ma sono le maglie stesse a impegnare la ruota dentata. Le maglie sono dunque conformate in maniera da realizzare un ingranamento senza urti con la ruota dentata (Figura 11.61). Per evitare elevate pressioni di contatto ogni maglia ha un Capitolo 11_meccanica.indd 424 13/03/13 17:13 certo numero di piastrine; le piastrine esterne in genere non sono sagomate, e perciò (d) (e) 13/03/13 17:13
