Unità Didattica N° 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita
Unità Didattica N° 11
Le equazioni di secondo grado ad una incognita
01) La definizione di equazione di secondo grado ad una incognita
02) La risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete
03) La risoluzione dell’equazione di secondo grado completa
04) Equazioni frazionarie riconducibili ad equazioni di secondo grado
05) Relazioni fra le radici ed i coefficienti di una equazione di secondo grado
06) Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado
07) La regola dei segni di Cartesio
1
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2
Equazioni di secondo grado ad una incognita
Dicesi equazione di secondo grado ad una incognita ogni equazione riconducibile
ax 2 + bx + c =
0
alla seguente forma:
[*]
La [*] è detta anche forma tipica, o normale o canonica dell’equazione di secondo grado.
ax 2 = termine quadratico, bx = termine lineare, c = termine noto o terzo coefficiente
a = primo coefficiente o coefficiente del termine quadratico
b = secondo coefficiente o coefficiente del termine lineare
Risulta sempre: a ≠ 0 . Infatti se fosse a = 0 , l’equazione [*] sarebbe di primo grado.
a ≠ 0
Se risulta:
,
b ≠ 0 , c ≠ 0 l ’ equazione [*] dicesi equazione completa. In caso
contrario dicesi incompleta.
OSSERVAZIONE
N° 1
Dicesi soluzione o radice di una equazione ad una incognita, ogni numero che, sostituito al
posto dell’incognita, rende il primo membro numericamente uguale al secondo membro.
OSSERVAZIONE
N° 2
Una equazione di secondo grado ad una incognita ammette due soluzioni che vengono indicate coi
simboli x1 ed x2 . Nel caso di soluzioni reali si pone per convenzione:
x1 < x2 , cioè x1
rappresenta la radice minore, mentre x2 rappresenta la radice maggiore.
Risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete
b = 0
ax 2 + c =
0
L’equazione [*] diventa:
[2]
e si dice equazione di
secondo grado pura. Essa si risolve nella seguente maniera:
ax 2 = − c
x2 = −
,
c
a
,
x =± −
c
a
,
x1 = − −
c
a
,
x2 = + −
c
a
ESEMPI
9 x2 − 4 = 0
,
9 x2 = 4 ,
x2 =
4
9
,
x = ±
2
4
= ±
9
3
,
x1 = −
2
2
, x2 =
3
3
x 2 + 81 = 0 , x 2 = − 81 , x = ± − 81 = ± 9i , x1 = − 9i , x2 = 9i
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16 x 2 − 27 = 0 , 16 x 2 = 27 , x 2 =
27
3
27
3
3
, x = ±
= ±
3 , x1 = −
3
3 , x1 =
16
4
16
4
4
c = 0
[3]
ax 2 + bx =
0
L‘equazione [*] diventa:
3
Essa prende il nome di equazione di secondo grado spuria. Si risolve nella seguente
maniera:
x (ax + b) = 0
Applicando la legge di annullamento di un prodotto di fattori scriviamo:
x = 0
,
ax + b = 0
ax = − b
,
x1 = 0
Le radici dell’equazione [3] sono:
,
x2 = −
,
x = −
b
a
b
a
ESEMPI
x 2 − 21x = 0 , x( x − 21) = 0 , x = 0 , x − 21 = 0 , x = 21 , x1 = 0 , x2 = 21
3x 2 + 5x = 0 , x(3x + 5) = 0 , x = 0 , 3x + 5 = 0 , x = −
5
5
, x1 = − , x2 = 0
3
3
Osservazione: La legge di annullamento di un prodotto di fattori dice che <<se
un prodotto di fattori è nullo , allora almeno uno dei fattori è nullo>>.
ALTRI ESEMPI
4 ( x + 2 )( x − 4 ) − ( 6 − x )( x − 4 ) = 7 ( x − 6 )( x + 2 )
4 ( x 2 − 4 x + 2 x − 8 ) − ( 6 x − 24 − x 2 + 4 x )= 7 ( x 2 + 2 x − 6 x −12 )
4 x 2 − 8 x − 32 − 20 x + 48 + 2 x 2 = 7 x 2 − 28 x − 84 , − x 2 = − 100 , x 2 = 100
x = ± 100 = ± 10 , x1 = − 10 , x2 = 10
( x + 3) − ( x +1) = ( x + 2 )
2
2
2
x 2 + 6 x + 9 − x 2 − 2 x −1 = x 2 + 4 x + 4 , − x 2 = − 4 , x 2 = 4 , x = ± 4 = ± 2
x1 = − 2 ,
x1 = − 2
( x + 3)( 2 x + 5) − ( x − 2 )( x − 3) = 13 − ( x + 2 )
2 x 2 + 5x + 6 x + 15 − x 2 + 3x + 2 x − 6 = 13 − x 2 − 4 x − 4 ,
2
2 x 2 + 20 x = 0
x = 0 , x + 10 = 0 , x = − 10 , x1 = − 10 , x2 = 0
x+3 7−x
30
=
+
x − 3 x + 3 ( x − 3)( x + 3)
Si tratta di un’equazione frazionaria in quanto l’incognita x figura al denominatore.
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4
m. c. m. = ( x − 3)( x + 3)
(x
+ 3) = (7 − x )( x − 3) + 30
2
2 x2 − 4 x = 0
;
2 x( x − 2) = 0
x 2 + 6 x + 9 = 7 x − 21 − x 2 + 3x + 30
,
x = 0
,
x ≠ ±3
,
x − 2 = 0
,
x1 = 0
,
x2 = 2
Risoluzione dell’equazione di secondo grado completa
ax 2 + bx + c =
0
Vogliamo risolvere l’equazione di secondo grado completa
ax 2 + bx = − c
Si trasporta il termine noto al secondo membro:
4a 2 x 2 + 4abx = − 4ac
Moltiplichiamo ambo i membri per 4a :
Aggiungiamo ad ambo i membri il numero b2 :
4a 2 x 2 + 4abx + b2 = b2 − 4ac
(2ax
,
+ b) = b2 − 4ac ,
2
2ax + b = ± b2 − 4ac
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
2ax = − b ±
b2 − 4ac
[1]
La [1] prende il nome di formula risolutiva dell’equazione di secondo grado. Il numero
∆= b 2 − 4ac dicesi delta o discriminante dell’equazione di secondo grado.
In una equazione di secondo grado completa possiamo supporre a > 0 . In questo caso la radice
più piccola è: x1 =
− b − b 2 − 4ac
− b + b 2 − 4ac
mentre la radice più grande è: x2 =
2a
2a
Il discriminante ∆ dell‘equazione ax 2 + bx + c = 0 può essere ≥
< 0.
Discutiamo separatamente i tre casi:
1) ∆ > 0 : se il delta è maggiore di zero l’equazione ammette due radici reali e distinte, x1 ≠ x2
2) ∆ = 0 : se il delta è uguale a zero l’equazione ammette due radici reali e coincidenti,
x1 = x2 = −
b
2a
3) ∆ > 0 : se il delta è minore di zero l’equazione ammette due radici complesse e coniugate
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ESEMPI
12 x 2 − 67 x + 35 =
0
a =12 b = − 67
c = 35
=
∆ b 2 − 4=
ac 4489 −1680
= 2809
= 532
7
67 − 53
=
= x1
67 ± 2809
67 ± 53
24
12
x =
=
=
24
24
67 + 53 = 5 = x2
24
2 x 2 − 6 x +1 =0
x =
a = 2 , b = −6 , c = 1
6 ±
(
7
)=
(
7
)=
2 3 −
36 − 8
6 ± 28
6 ± 2 7
4
=
=
=
4
4
4
2 3 +
4
3x 2 − 5 x + 4 =
0
3 − 7
= x1
2
3 + 7
= x2
2
a = 3 , b = −5 , c = 4
x =
5 ±
5 − i 23
= x1
25 − 48
5 ± − 23
5 ± i 23
6
=
=
=
6
6
6
5 + i 23 = x
2
6
Formula risolutiva ridotta e ridottissima
La formula risolutiva di una equazione di secondo grado è:
x =
−b ±
b2 − 4ac
2a
[1]
Essa può scriversi nella seguente maniera:
x =
−b ±
b2 − 4ac
=
2a
−b ±
2
b2
b
4 ⋅ − 4ac
− b ± 2 ⋅ − ac
2
4
=
2a
2a
2
−
x=
Dividendo numeratore e denominatore per 2 otteniamo:
b
b
± − ac
2
2
a
[2]
La [2] è detta formula ridotta e si applica quando il coefficiente b è un numero pari, cioè
b2
b 2 − 4ac ∆
b
− ac =
=
− ac =
4
4
4
2
2
quando è divisibile per 2.
L‘espressione
discriminante ridotto.
2
Se poi risulta anche a = 1 la [2] diventa:
b
b
x =− ± − c
2
2
[3]
dicesi
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RIEPILOGO
1) La formula ridotta si applica quando b è un numero pari
2) La formula ridottissima si applica quando b è un numero pari ed a risulta uguale ad 1
3x 2 − 8 x + 4 =
0
x2 − 4x + 1 =
0
x =
4 ±
x = 2 ±
− 2
2
=
= x1
3
3
+ 2
= 2 = x2
3
4
16 − 12
4 ± 4
4 ± 2
=
=
=
3
3
3
4
4 − 1 = 2 ±
3
,
x1 = 2 −
3
,
x2 = 2 +
3
Relazioni fra le radici ed i coefficienti di una equazione di secondo grado
Tra le radici x1 ed x2 dell’equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 ed i coefficienti a, b, c
intercorrono le seguenti relazioni:
3x 2 − 4 x − 5 =
0
b
−
x1 + x2 =
a
x1 + x2 = −
x1 x2 =
b
4
=
a
3
c
a
x1 ⋅ x2 =
c
5
= −
a
3
Applicazioni
Scrivere l’equazione di secondo grado che abbia come radici due numeri assegnati
ax 2 + bx + c = 0
x1 + x2 = S
x1 x2 =
c
a
,
⇒
Divido ambo i membri per a , x 2 +
x1 x2 = P
c
= P
a
, x1 + x2 = −
b
a
⇒
b
c
x +
= 0
a
a
Pongo :
b
= − ( x1 + x2 ) = − S
a
x 2 − Sx + P = 0
REGOLA
L’equazione di secondo grado avente come radici due numeri dati ha il
primo coefficiente uguale all’unità, il secondo coefficiente è la somma
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dei due numeri cambiata di segno, il terzo coefficiente coincide col
prodotto dei due numeri.
Scrivere l’equazione di secondo grado avente come radici i numeri:
3 −
x1 =
S = x1 + x2 =
3 −
5
3
+
3 +
,
3
5
3
x2 − 6 3 ⋅ x +
5
6
= 2 3
3
=
4
=0
3
x2 =
3 +
5
3
, P = x1 ⋅ x2 =
,
3 −
3
5 3 +
⋅
5
3
=
4
3
3x 2 − 18 3 ⋅ x + 4 = 0
Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado
Se risulta ∆ = b 2 − 4 a c ≥ 0 allora è possibile dimostrare che il trinomio di secondo grado
T( x ) = ax 2 + bx + c può essere decomposto nel prodotto di due fattori di primo grado secondo
la seguente formula:
T ( x)= ax 2 + bx + c= a ( x − x1 )( x − x2 )
dove i numeri x1 ed x2 sono gli zeri del trinomio, ossia le radici dell’equazione
ax 2 + bx + c = 0 .
associata
Se il trinomio ha due zeri reali e coincidenti , cioè se ∆ = b 2 − 4 a c = 0 allora la precedente
formula assume la seguente forma: a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) 2
Decomporre in fattori il seguente trinomio di secondo grado
15 x 2 + 2 x − 8 .
Gli zeri di questo trinomio coincidono con le radici dell’equazione associata
15 x 2 + 2 x − 8 =
0
∆
b
= −
4
2
2
b
∆
− ±
−1 ± 121 −1 ± 11
2
4
− a c = 1 + 120 = 121
=
x =
=
a
15
15
12
4
−1 − 11
x1 =
=
− =
−
15
15
5
x=
2
−1 + 11 10 2
= =
15
15 3
2
4
15 x 2 + 2 x − 8= 15 x − x + = (3 x − 2)(5 x + 4)
3
5
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La regola dei segni di Cartesio
Consideriamo una equazione di secondo grado a radici reali:
[§]
ax 2 + bx + c = 0
∆ = b 2 − 4ac ≥ 0
Definizione: Diremo che i tre coefficienti a, b, c dell’equazione [§] (considerati nell’ordine
scritto) presentano una permanenza ogni volta che due coefficienti consecutivi hanno lo stesso
segno, presentano una variazione ogni volta che due coefficienti consecutivi hanno segni
contrari.
Si possono presentare i seguenti casi :
a
b
c
+
+
+
+
+
−
−
+
+
+
−
−
Teorema di Cartesio
In ogni equazione di secondo grado ridotta a forma canonica, completa ed a discriminante positivo
o nullo, ad ogni variazione corrisponde una radice positiva, ad ogni permanenza una radice
negativa.
