Capitolo V : Successioni e serie numeriche

Liceo Lugano 1, 2011-2012
3N (Luca Rovelli)
Capitolo V :
Successioni e serie numeriche
La cosiddetta analisi matematica, sviluppata inizialmente in maniera indipendente da
Newton e Leibnitz a partire dalla fine del XVII secolo, si occupa dello studio delle proprietà delle funzioni reali. In particolare, essa mette a disposizione della scienza i potenti
strumenti del calcolo differenziale e del calcolo integrale. Tali strumenti vengono oggi
costruiti a partire dal concetto di limite.
Ci occuperemo innanzitutto dello studio dei limiti nel contesto di una famiglia molto
particolare di funzioni, le successioni, definite nell’insieme N dei numeri naturali. Ciò
ci permetterà innanzitutto di familiarizzarci con alcune nozioni fondamentali, e secondariamente di introdurre alcuni risultati che potranno essere generalizzati alle funzioni reali
per mezzo di un ingegnoso escamotage formale (il cosiddetto principio di trasposizione).
1. Numeri naturali
L’enumerazione (cioè il conteggio) è certamente la più antica tra le operazioni matematiche
concepite dall’uomo. Appare quindi naturale l’invenzione di simboli e espressioni associate alle quantità intere positive, che nel tempo hanno dato origine al moderno sistema
di numerazione posizionale. Ma è soltanto a partire dalla fine del XIX secolo (il periodo
della ”crisi dei fondamenti”) che la matematica ha iniziato ad interrogarsi a proposito
dell’essenza stessa del concetto di numero, alla ricerca di una sua definizione rigorosa.
La più celebre e soddisfacente definizione di numero naturale è a tutt’oggi quella assiomatica, data da Giuseppe Peano1 nel 1889, nel saggio Arithmetices principia, nova methodo
exposita:
Definizione 1 (numero naturale)
L’insieme dei numeri naturali, denotato con N, è definito come segue:
1) N contiene un elemento, denotato con 0.
2) È definita una funzione
s : N −→ N
i 7−→ s(i) ;
che a i ∈ N associa il suo successore s(i).
1
Giuseppe Peano (1858-1932), matematico piemontese, contribuı̀ in modo determinante alla fondazione della moderna logica e della teoria degli insiemi. Fu professore all’Università di Torino e membro
dell’Accademia dei Lincei.
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3) Se i 6= j, allora s(i) 6= s(j) (cioè: numeri diversi hanno successori diversi).
4) 0 non è successore di nessun numero.
5) Il principio d’induzione: se A è un sottoinsieme di N per cui vale
(i) 0 ∈ A;
(ii) a ∈ A ⇒ s(a) ∈ A
(cioè: se un numero naturale è in A, allora lo è anche il suo successore)
allora A = N.
Osservazioni:
(i) Nella notazione correntemente in uso (di origine indo-araba), si scrive
s(0) = 1 ,
s(s(0)) = s(1) = 2 ,
s(s(s(0))) = s(s(1)) = s(2) = 3 eccetera.
Vale quindi
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . .} .
(ii) Alcuni autori (specialmente nel campo della teoria dei numeri) non considerano lo
zero come numero naturale; per essi vale quindi N = {1, 2, 3, . . .}. Essi utilizzano
spesso anche la notazione N0 = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.
(iii) L’addizione è definita come segue: i + 0 = i, e per j 6= 0
i + j = s(s( . . . s(s(i)) . . .)). In particolare, s(i) = i + 1.
| {z }
j volte
All’interno della moderna teoria degli insiemi, esistono numerosi modelli per N. Il più
celebre, e per certi versi curioso, è forse quello proposto da Von Neumann2 , dove il numero
zero viene identificato con l’insieme vuoto:
0 := ∅ = {}
,
e il successore di i viene costruito come l’unione dell’insieme i con l’insieme contenente i:
s(i) = i ∪ {i} .
Vale cioè
• 0 = {}
• 1 = s(0) = 0 ∪ {0} = {} ∪ { {} } = { {} } = {0}
• 2 = s(1) = 1 ∪ {1} = { {} } ∪ {{ {} }} = { {} , {{}} } = {0, 1}
• 3 = s(2) = 2 ∪ {2} = { {} , {{}} , {{}, {{}}} } = {0, 1, 2}
e cosı̀ via (cioè: n è definito ricorsivamente come l’insieme dei numeri minori di n). Non
è difficile mostrare che tale modello soddisfa gli assiomi di Peano.
2
John (János) Von Neumann (1903-1957), matematico statunitense di origini ungheresi, viene considerato da taluni ”l’ultimo dei grandi matematici”. Fu un membro del progetto Manhattan e contribuı̀ in
modo determinante allo sviluppo dei primi computer.
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2. Il principio d’induzione matematica
Come è facile mostrare, il quinto assioma di Peano, il principio d’induzione, può essere
riscritto nel modo seguente:
Lemma 1: sia n0 ∈ N, e sia S un sottoinsieme di N tale che
• n0 ∈ S;
• se n ∈ S, allora anche n + 1 ∈ S.
Allora vale n ∈ S ∀ n ≥ n0 , cioè {n0 , n0 + 1, n0 + 2, . . .} ⊆ S.
In questa forma, esso diventa uno strumento prezioso per la dimostrazione di affermazioni
sui numeri naturali: supponiamo di voler dimostrare la validità di una data affermazione
An per ogni n ≥ n0 , ad esempio:
1) An : la somma dei primi n numeri naturali è pari a
n(n+1)
2
(per n ≥ 1);
2) An : il polinomio xn − y n è divisibile per x − y (per n ≥ 1).
Allora sarà sufficiente mostrare che
• n = n0 (la base d’induzione3 ) l’affermazione An0 è valida;
• n → n + 1 (il passo d’induzione) se An è valida, allora lo è anche An+1 .
In altre parole: sotto l’ipotesi d’induzione ”An è valida” è vera anche la tesi
d’induzione ”An+1 è valida”.
La spiegazione di questo fatto è molto semplice: basta applicare il Lemma 1 all’insieme
S dei numeri naturali per cui l’affermazione è valida.
Una metafora comunemente in uso è quella dell’effetto
domino: la base d’induzione rappresenta la caduta della
prima tessera, mentre il passo d’induzione rappresenta
la caduta di ogni successiva tessera.
Esempi:
1) Mostriamo (v.sopra) che vale
n
X
k=
k=1
• n=1
1
X
k=1
k=1=
n(n + 1)
per n ≥ 1.
2
1(1 + 1)
.
2
3
nella lingua tedesca, per indicare la base d’induzione viene utilizzato il suggestivo termine Verankerung, ”ancoraggio”
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• n→n+1
Ipotesi d’induzione: l’affermazione è vera per n, cioè
n
X
k=
k=1
Tesi d’induzione: l’affermazione è vera per n+1, cioè
n+1
X
k=
k=1
n(n + 1)
.
2
(n + 1)(n + 2)
.
2
Dimostrazione:
n+1
X
k=1
k=
n
X
ip.ind.
k + (n + 1) =
k=1
n(n + 1) + 2(n + 1)
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+ (n + 1) =
=
2
2
2
2) Mostriamo (v.sopra) che xn − y n è divisibile per x − y per n ≥ 1.
• n=1
x1 − y 1 = x − y è ovviamente divisibile per x − y.
• n→n+1
Ipotesi d’induzione: xn − y n è divisibile per x − y.
Tesi: xn+1 − y n+1 è divisibile per x − y.
Dimostrazione:
xn+1 − y n+1 = xn+1 −y n x + y n x −y n+1 = (xn − y n ) x + y n (x − y) ;
|
{z
}
| {z }
0
div. per x − y
la tesi segue immediatamente dall’ipotesi di induzione 3) Mostriamo che vale
n
X
k=1
n
1
=
(n ≥ 1),
k(k + 1)
n+1
cioè ad esempio che
1
1
1
1
1
100
+
+
+ ... +
+
=
1·2 2·3 3·4
99 · 100 100 · 101
101
1
X
1
1
1
• n=1
=
=
.
k(k
+
1)
1
·
2
1
+
1
k=1
• n→n+1
n
X
Ipotesi:
k=1
Tesi:
n+1
X
k=1
.
1
n
=
.
k(k + 1)
n+1
1
n+1
=
.
k(k + 1)
n+2
Dimostrazione:
n+1
n
X
X
1
1
1
n
1
ip.ind.
=
+
=
+
k(k + 1)
k(k + 1) (n + 1)(n + 2)
n + 1 (n + 1)(n + 2)
k=1
k=1
=
n(n + 2) + 1
(n + 1)2
=
(n + 1)(n + 2) (n+1)(n
+ 2)
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
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LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
4) Dimostriamo la disuguaglianza di Bernoulli: per α ∈ R∗ , α > −1 e n ∈ N, n ≥ 2
vale
(1 + α)n > 1 + nα .
• n=2
(1 + α)2 = 1 + 2α + α2 > 1 + 2α perché α 6= 0.
• n→n+1
Ipotesi: (1 + α)n > 1 + nα
Tesi: (1 + α)n+1 > 1 + (n + 1)α
Dimostrazione: moltiplichiamo entrambi i termini dell’ipotesi di induzione
per 1 + α: ricordando che α > −1, e quindi 1 + α > 0, vale
(1 + α)n+1 > (1 + α)(1 + nα) = 1 + nα + α + nα2 = 1 + (n + 1)α + nα2
> 1 + (n + 1)α
perché, ovviamente, nα2 > 0 5) Dimostriamo che una scacchiera di lato 2n dalla quale viene rimossa una casella può sempre essere ricoperta da figure formate da
3 caselle disposte a ”L” (come mostrato a destra per una scacchiera
di lato 4 = 22 ).
• n = 1 Una scacchiera di lato 21 = 2 da cui viene rimossa una
casella consiste proprio in una figura a ”L” (vedi disegno a destra).
• n→n+1
Ipotesi: la tesi è valida per n, è cioè possibile ricoprire una scacchiera di lato
2n a meno di una casella con figure a ”L”.
Tesi: la tesi è valida per n + 1, è cioè possibile agire nello stesso modo con una
scacchiera di lato 2n+1 .
Dimostrazione: come mostra il disegno, una scacchiera di lato 2n+1 può
n+1
essere suddivisa in 4 scacchiere di lato 2 2 = 2n ; la casella rimossa appartiene
a una delle quattro. Ricoprendo la parte centrale con una figura a ”L” come
indicato, il problema viene ricondotto al caso n per tutte e 4 le scacchiere, per
cui l’affermazione è vera per l’ipotesi di induzione Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
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LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Una variante del principio d’induzione è il cosiddetto principio d’induzione forte (o
completa): per dimostrare la validità di una data affermazione An per ogni n ≥ n0 si
procede mostrando che
• n = n0 l’affermazione An0 è valida;
• {n0 , . . . , n} → n + 1 se An0 , An0 +1 , . . . , An sono valide, allora lo è anche An+1 .
Esempio 6): mostriamo che ogni numero naturale n ≥ 2 può essere scomposto nel
prodotto di numeri primi.
• n = 2 è esso stesso un numero primo.
• {n0 , . . . , n} → n + 1
Ipotesi d’induzione: l’affermazione è vera per 2, 3, . . . , n, vale a dire che ogni
numero compreso tra 2 e n può essere scomposto in fattori primi.
Tesi d’induzione: l’affermazione è vera per n + 1, cioè n + 1 può essere scomposto.
Dimostrazione: se n + 1 è un numero primo, non vi è nulla da dimostrare. Se non
lo è, allora può essere scritto come prodotto di due numeri a e b con 2 ≤ a, b ≤ n, i
quali, per l’ipotesi di induzione, possono essere scomposti in fattori primi 3. Successioni reali
Definizione 2.1 (Successione, versione intuitiva)
Una successione reale, indicata con (an )n∈N o più brevemente con (an ), è una
sequenza di numeri reali
a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , . . .
numerati da un indice.
Esempi:
1) an = n; si tratta semplicemente della successione degli interi positivi
a1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 , a 4 = 4 , a 5 = 5 , . . .
2) bn = n2 ; si tratta della successione dei quadrati perfetti
b1 = 1 , b2 = 22 = 4 , b3 = 32 = 9 , b4 = 42 = 16 , b5 = 52 = 25 , . . .
n
3) cn = n+1
; si tratta della successione
n
1
2
3
2
3
9
4
64
c1 =
= 1 , c2 =
= = 2, 25 , c3 =
=
= 2, 370 ,
1
2
4
3
27
4
5
625 ∼
c4 =
=
= 2, 441 , . . . , c10 ∼
= 2, 593 , . . . , c2000 ∼
= 2, 718 , . . .
4
256
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
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Da un punto di vista più rigoroso, una successione può anche essere vista come una ”legge”
che associa in modo univoco un numero reale an all’indice n, cioè una funzione:
Definizione 2.2 (Successione, versione formale)
Una successione reale, indicata con (an )n∈N o più brevemente con (an ), è
un’applicazione
N \ {0} −→ R
n 7−→ an
(che associa quindi un numero reale ad ogni numero naturale maggiore di zero).
I numeri a1 , a2 , a3 , . . . sono i termini della successione.
Una successione (an ) è quindi univocamente definita per mezzo di una ”regola” che
definisce il valore del termine generale an ; abitualmente tale regola viene descritta
• in maniera esplicita, cioè tramite una formula che permette di calcolare an a partire
da n (come negli esempi 1), 2), 3)),
oppure
• in maniera implicita (o ricorsiva), cioè tramite il primo termine (o i primi termini)
e una formula che permetta di calcolare an+1 a partire da an (o da più termini che
lo precedono).
Esempi:
(
d1 = 1
4) La regola
dn+1 = dn + 2
definisce ricorsivamente la successione
d1 = 1 , d2 = 1 + 2 = 3 , d3 = 5 , d4 = 7 , d5 = 9 , . . .
dei numeri dispari; è facile vedere che vale dn = 2n − 1 .
(
e1 = 1
definisce ricorsivamente la successione
5) La regola
en+1 = n · en
e1 = 1 , e2 = 2 · 1 = 2 , e3 = 3 · 2 · 1 = 6 , e4 = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 , . . .
dei numeri fattoriali; come già sappiamo, essa viene solitamente abbreviata con
en = n!
(
f1 = 1 , f 2 = 1
6) La regola
definisce ricorsivamente la successione
fn+1 = fn + fn−1 (n ≥ 2)
f1 = 1 , f2 = 1; , f3 = 2 , f4 = 3 , f5 = 5 , f6 = 8 , f7 = 13 , . . .
dei numeri di Fibonacci. Si può dimostrare (per induzione, v. esercizi) che vale
√ !n
√ !n !
1
1+ 5
1− 5
fn = √
−
(Formula di Binet) .
2
2
5
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
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(
g1 = 1 , g 2 = 4
7) Sia
gn+1 = 12 (gn + gn−1 + 6n + 1)
Allora vale
1
(a2 + a1 + 6 · 2 + 1) =
2
1
=
(a3 + a2 + 6 · 3 + 1) =
2
1
(a4 + a3 + 6 · 4 + 1) =
=
2
1
=
(a5 + a4 + 6 · 5 + 1) =
2
g3 =
g4
g5
g6
1
(4 + 1 + 12 + 1) = 9
2
1
(9 + 4 + 18 + 1) = 16
2
1
(16 + 9 + 24 + 1) = 25
2
1
(25 + 16 + 30 + 1) = 36
2
Apparentemente vale gn = n2 ; lo dimostriamo con il metodo dell’induzione forte:
• n=3
vedi sopra.
• {3, . . . , n} → n + 1
Ipotesi: g3 = 32 , g4 = 42 , . . ., gn = n2 .
Tesi: gn+1 = (n + 1)2
Dimostrazione: vale
1
ip.ind 1
(gn + gn−1 + 6n + 1) =
n2 + (n − 1)2 + 6n + 1
2
2
1
=
2n2 + 4n + 2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 2
gn+1 =
4. Progressioni aritmetiche
Definizione 3 (Progressione aritmetica)
Una successione reale (an )n∈N tale che la differenza d tra due termini consecutivi è
costante è detta progressione aritmetica. Tale differenza è detta ragione della
progressione aritmetica.
Esempi:
1) Sia a1 = 7 e d = 3; otteniamo la successione
(an ) = (7, 10, 13, 16, 19, ...) .
2) Sia b1 = 2 e d = − 25 ; otteniamo la successione
3
13
(bn ) = 1, − , −4, − , −9, . . .
2
2
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
103
.
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
3) Sia c1 = 1 e d = 2; ; otteniamo la successione
(cn ) = (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)
dei numeri dispari.
Osservazione: dalla definizione risulta subito una formula per ricorrenza: dati a1 e d,
basta porre
an+1 = an + d .
Osserviamo quindi che vale
(an ) = ( a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d , a1 + 4d , . . . )
;
deduciamo immediatamente anche la formula esplicita (che, a onor del vero, dovrebbe
essere dimostrata induttivamente):
Lemma 2
Sia (an ) una progressione aritmetica di ragione d. Allora vale
an = a1 + (n − 1) · d .
Esempi:
4) Qual è il decimo membro della successione (an ) dell’es. 1)?
Dal momento che vale
an = a1 + (n − 1) · d = 7 + (n − 1) · 3 = 3n + 4,
possiamo calcolare a10 = 3 · 10 + 4 = 34 .
5) Qual è il 100-esimo numero dispari?
Dall’es. 3) ricaviamo la formula per l’n-esimo numero dispari:
cn = 1 + (n − 1) · 2 = 2n − 1 ;
quindi c100 = 2 · 100 − 1 = 199 .
Il seguente risultato giustifica l’aggettivo aritmetica:
Lemma 3
Siano an−1 , an e an+1 tre termini consecutivi di una progressione aritmetica. Allora
an è la media aritmetica di an−1 e an+1 .
Dimostrazione: è sufficiente calcolare la media dei termini an−1 e an+1 tenendo conto
del Lemma 2:
1
1
1
(an−1 + an+1 ) = (a1 + (n − 2)d + a1 + nd) = (2a1 + (2n − 2)d) = a1 + (n − 1)d = an
2
2
2
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
104
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Per la somma di una progressione aritmetica vale quanto segue:
Lemma 4
Sia (an ) una progressione aritmetica. Allora per la somma dei suoi primi n termini
vale
n
X
n(a1 + an )
.
ai = a1 + a2 + . . . + an−1 + an =
2
i=1
Dimostrazione: procediamo tramite un cosiddetto doppio conteggio4 ; allineiamo dapprima su due righe i termini da a1 a an , in ordine crescente nella riga superiore e decrescente nella riga inferiore:
a1
an
a2
an−1
a3
an−2
...
...
La somma di tutti i valori è chiaramente 2
an−2
a3
n
X
ai ;
an−1
a2
an
a1
osservando che i termini nelle colonne
i=1
sono ai e an−i+1 per i = 1 . . . n, e che la somma per ciascuna delle n colonne è uguale a
ai + an−i+1 = (a1 + (i − 1)d) + (a1 + (n − i + 1 − 1)d) = a1 + a1 + (n − 1)d = a1 + an
deve valere 2
n
X
ai =
,
n(a1 + an ), e la tesi segue.
i=1
In alternativa, il lemma può essere dimostrato induttivamente:
• n=1
1
X
ai = a1 =
i=1
• n→n+1
1 · (a1 + a1 )
2
supponiamo (ip.ind.) che
n
X
ai =
i=1
n+1
X
i=1
ai =
n
X
ai + an+1 =
i=1
n(a1 + an )
. Allora
2
n(a1 + an )
na1 + nan + 2an+1
+ an+1 =
=
2
2
(n+1)a
an+1
n(an +d)=nan+1
1
z }| {
z }| { z }| {
na1 + nan + 2(a1 + nd)
na1 + a1 + a1 + nd + nan + nd
=
=
2
2
=
(n+1)an+1
z
}|
{
(n + 1)a1 + nan+1 + an+1
(n + 1)(a1 + an+1 )
=
=
2
2
La tesi è quindi valida anche per n + 1
.
4
tale idea viene per tradizione fatta risalire al Princeps mathematicorum Carl Friedrich Gauss (17771855) il quale, si dice, dimostrò la formula nel caso particolare della somma dei primi n numeri naturali
(esempio 9)) all’età di 9 anni
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
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LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Esempi:
8) Calcoliamo nuovamente la somma dell’esempio 7), con a1 = 6 e a7 = 6 + 6 · 5 = 36:
7
X
an =
i=1
7(a1 + a7 )
7 · (6 + 36)
=
= 147 .
2
2
9) Nel caso particolare della somma dei primi n numeri, ponendo a1 = 1, an = n e
d = 1 otteniamo la ben nota formula
n
X
i=1
i=
n(1 + n)
2
.
n(n + 1)
Osservazione: la successione (tn ) con tn = 1 + 2 + 3 + . . . + n =
è detta
2
successione dei numeri triangolari; il motivo può facilmente essere intuito osservando
la seguente figura:
t1 = 1
t2 = 3
t3 = 6
t4 = 10
t5 = 15
t6 = 21
10) Calcolando la somma dei primi n numeri dispari si ottiene un altro risultato ben
noto:
n
X
n(1 + 2n − 1)
= n2 .
(2i − 1) =
2
i=1
5. Progressioni geometriche
Definizione 4 (Progressione geometrica)
Una successione reale (an )n∈N tale che il quoziente q tra due termini consecutivi è
costante è detta progressione geometrica. Tale quoziente è detto ragione della
progressione geometrica.
Esempi:
1) Sia a1 = 3 e q = 2; otteniamo la successione
(an ) = (3, 6, 12, 24, 48, ...) .
2) Sia b1 = 10 e d = − 21 ; otteniamo la successione
5 5 5
(bn ) = 10, −5, , − , , . . .
2 4 8
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
106
.
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Osservazione: dalla definizione risulta subito una formula per ricorrenza: dati a1 e q,
basta porre
an+1 = q · an .
Osserviamo quindi che vale
(an ) =
a1 , qa1 , q 2 a1 , q 3 a1 , q 4 a1 , . . .
;
deduciamo immediatamente anche la formula esplicita:
Lemma 5
Sia (an ) una progressione geometrica di ragione q. Allora vale
an = a1 · q n−1
.
Esempio:
3) Qual è il decimo membro della successione (an ) dell’es. 1)?
Dal momento che vale
an = a1 · q n−1 = 3 · 2n−1 ,
possiamo calcolare a10 = 3 · 29 = 3 · 512 = 1536 .
Anche nel caso delle successioni geometriche il nome si giustifica con la media di due
termini:
Lemma 6
Siano an−1 , an e an+1 tre termini consecutivi di una progressione geometrica. Allora
an è la media geometrica di an−1 e an+1 .
√
Dimostrazione: è sufficiente calcolare la media geometrica an−1 · an+1 tenendo conto
del Lemma 5:
√
an−1 · an+1 =
q
p
a1 q n−2 · a1 q n = a21 q 2n−2 = a1 q n−1 = an
Consideriamo nuovamente il problema della somma dei primi n termini:
Lemma 7
Sia (an ) una progressione geometrica. Allora per la somma dei suoi primi n termini
vale
n
X
qn − 1
ai = a1 ·
.
q
−
1
i=1
Dimostrazione: notiamo innanzitutto che vale
(1 − q)
n
X
i=1
q i−1 = (1 − q)(1 + q + q 2 + . . . + q n−2 + q n−1 )
= (1 − q) · 1 + (1 − q) · q + (1 − q) · q 2 + . . . + (1 − q) · q n−2 + (1 − q) · q n−1 =
= 1
−q
+q
−q2 +q2 ∓ . . . −qn−1
+q n−1
− qn
= 1 − qn ,
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
107
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
quindi
n
X
1 − qn
qn − 1
=
1−q
q−1
q i−1 =
i=1
n
X
i=1
ai =
n
X
a1 q
i−1
e
= a1
n
X
i=1
q i−1 = a1 ·
i=1
qn − 1
q−1
.
Includiamo, come alternativa, anche una dimostrazione induttiva:
1
X
• n=1
ai = a1 = a1
i=1
• n→n+1
q1 − 1
.
q−1
Supponiamo (ip.ind.) che
n
X
ai = a1
i=1
n+1
X
i=1
ai =
n
X
ai + an+1 = a1
i=1
qn − 1
. Allora
q−1
qn − 1
q n − 1 + q n+1 − q n
q n+1 − 1
+ q n a1 = a1
= a1
q−1
q−1
q−1
La tesi è quindi valida anche per n + 1
Esempi:
4) Calcola la somma dei primi 5 termini della successione (bn ) dell’esempio 2):
5
X
i=1
5
1
− 12 − 1
− 32
−1
55
33 2
· =
=
10
·
= 10 ·
an = 10 ·
1
3
32 3
8
−2 − 1
−2
.
5) Un problema classico: ponendo un chicco di riso sulla prima casella di una scacchiera, 2 sulla seconda, 4 sulla terza, 8 sulla quarta e cosı̀ via, quanti chicchi si
troverebbero in totale sulla scacchiera?
Calcoliamo innanzitutto la somma delle prime n potenze di 2: con a1 = 1, q = 2
vale
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 2
n−1
=
n
X
i=1
2i−1 = 1 ·
2n − 1
= 2n − 1 .
2−1
La risposta al problema è quindi
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 263 =
64
X
2i−1 = 264 − 1 ∼
= 9 · 1018
chicchi
i=1
(circa 9 miliardi di miliardi!).
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
108
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
.
6. Complementi sui numeri reali
Come già sappiamo (vedi programma di I), l’insieme R dei numeri può essere costruito
per successivi ampliamenti a partire dall’insieme N dei numeri naturali. In particolare:
• affiancando ad ogni numero naturale n il suo opposto (−n), cioè il numero tale che
n + (−n) = 0, si ricava l’insieme Z dei numeri interi, nel quale ogni equazione
della forma a + x = b possiede una soluzione;
• affiancando ad ogni numero intero a 6= 0 il suo reciproco a1 = a−1 , tale che a · a1 = 1,
si ottiene l’insieme Q dei numeri razionali della forma b · a1 = ab (a 6= 0), nel quale
ogni equazione della forma ax = b (a 6= 0) possiede una soluzione;
• ogni numero razionale può essere fatto corrispondere a un punto di una retta, la quale
però non può essere totalmente ”coperta” dall’insieme Q dei numeri razionali5 . La
totalità dei punti della retta corrisponde ad un ulteriore ampliamento del campo
numerico, l’insieme R dei numeri reali.
Chiaramente, dal momento che si procede per ampliamenti successivi, varrà
N⊂Z⊂Q⊂R ,
e l’insieme R, corrispondendo in maniera naturale ad una retta, appare come il più adatto
tra gli insiemi numerici per operare geometricamente6 . Si tratta inoltre del ”più piccolo”
insieme numerico all’interno del quale è possibile dare pienamente un senso al concetto di
limite. Prima di approfondire tale concetto appare quindi opportuno un breve excursus
sui numeri reali, che ne metta in evidenza le caratteristiche essenziali: algebriche, di
ordinamento e geometriche (o, meglio, topologiche).
Iniziamo dalle proprietà di calcolo nell’insieme R:
Teorema 8 (Proprietà algebriche di R)
(R, +, ·) è un corpo commutativo (o campo); in particolare
(i) (R, +) è un gruppo abeliano: l’addizione in R
• è associativa: (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ R;
• ammette l’elemento neutro (lo zero): a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ R;
• ammette l’elemento simmetrico (l’opposto):
∀a ∈ R ∃ (−a) ∈ R: a + (−a) = (−a) + a = 0;
• è commutativa: a + b = b + a ∀ a, b ∈ R.
5
ad esempio, la diagonale di un quadrato avente lato pari ad un’unità non può essere espressa nella
forma ab con a e b interi
6
ad esempio, le proprietà di R fanno sı̀ che l’equazione parametrica di una retta ne descriva la totalità
dei punti
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
109
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
(ii) (R, ·) è anch’esso gruppo abeliano: la moltiplicazione in R
• è associativa: (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ R;
• ammette l’elemento neutro (l’uno): a · 1 = 1 · a = a ∀ a ∈ R;
• ammette l’elemento simmetrico (il reciproco):
∀a ∈ R \ {0} ∃ a−1 ∈ R \ {0}: a · a−1 = a−1 · a = 1;
• è commutativa: a · b = b · a ∀ a, b ∈ R.
(iii) Vale la proprietà distributiva (dell’addizione rispetto alla moltiplicazione):
a · (b + c) = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ R .
Osservazioni:
(i) Anche Q, provvisto di addizione e moltiplicazione, possiede la struttura di campo.
In Z, invece, soltanto +1 e −1 possiedono un reciproco, e in N soltanto +1. In N,
inoltre, soltanto lo zero possiede l’elemento opposto.
(ii) Dagli assiomi di campo, elencati nel Teorema, seguono tutte le regole di calcolo
utilizzate per semplificare espressioni algebriche o per la risoluzione di equazioni.
Passiamo ora ad un altro aspetto dell’insieme R, quello dell’ordinamento. Per ordinare i
numeri reali, possiamo procedere come segue: innanzitutto distinguiamo in R i sottoinsiemi R+ dei numeri positivi e R− dei numeri negativi, con R = R− ∪ R+ e R− ∩ R+ = {0}
(lo zero è l’unico numero sia positivo che negativo), e definiamo la relazione
a≤b
⇐⇒
b = a + x con x ∈ R+
.
In particolare, vale a ≤ 0 se a è negativo e 0 ≤ a se a è positivo7 .
Teorema 9 (Ordine totale in R)
L’insieme R, munito della relazione ≤, è totalmente ordinato. Vale cioè
(i) a ≤ a ∀ a ∈ R (proprietà riflessiva);
(ii) se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b (proprietà antisimmetrica);
(iii) se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c (proprietà transitiva);
(iv) dati a, b ∈ R, allora vale a ≤ b, oppure b ≤ a; due numeri reali sono cioè
sempre confrontabili.
Le proprietà (i)-(iii) contraddistinguono una cosiddetta relazione d’ordine; l’ordine è
totale se vale anche (iv).
7
ciò ci può apparire ovvio, ma ricordiamo che in questa definizione la nozione di positività precede la
definizione della relazione ≤
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
110
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Osservazioni:
(i) La relazione d’ordine è evidente se R viene identificato con la retta dei numeri: vale
a ≤ b se a non viene rappresentato a sinistra di b.
(ii) Considerando N, Z e Q come sottoinsiemi di R, è evidente che la relazione ”≤” ha
senso anche al loro interno.
(iii) La relazione ”≤” definisce in modo naturale anche una relazione ”≥”, ad esempio
mediante la regola a ≥ b ⇐⇒ −a ≤ −b.
Definizione 5
Sia A 6= ∅ un sottoinsieme di R.
(i) x ∈ R è un minorante di A, se vale x ≤ a ∀ a ∈ A;
(ii) x ∈ R è un maggiorante di A, se vale x ≥ a ∀ a ∈ A;
(iii) se x ∈ A è minorante di A, allora x è il minimo di A, denotato min A;
(iv) se x ∈ A è maggiorante di A, allora x è il massimo di A, denotato max A.
Esempi:
1) Sia A =]1, 5] = {x ∈ R | x > 1 e x ≤ 5}.
• −100, −10, 0,
99
,1
100
100
• 5, 2π, 10, 100, 10
sono minoranti di A;
sono maggioranti di A;
< a (cioè che,
• min A non esiste: è facile vedere che per ogni a ∈ A vale 1 < 1+a
2
dato un numero in a ∈ A, esiste sempre un numero minore di a in A);
• max A = 5.
2) Sia B = {x ∈ R | x = 1 − n1 , n ∈ N \ {0}} = {1 − 1, 1 − 21 , 1 − 13 , 1 − 14 , . . .} l’insieme
dei termini della successione bn = 1 + n1 .
1
• −100, −10, −1, − 100
, 0 sono minoranti di B;
• 1, 2, 10, 100, 1000 sono maggioranti di B;
• min B = b1 = 0 (dal momento che la successione è crescente: bn < bn+1 ∀n);
• max B non esiste, dal momento che vale bn < bn+1 < 2 ∀n.
Definizione 6
Sia A 6= ∅ un sottoinsieme di R.
(i) A è limitato superiormente se ammette un maggiorante;
(ii) A è limitato inferiormente se ammette un minorante;
(iii) A è limitato se è limitato superiormente e inferiormente.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
111
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Esempi:
1) A e B (v. sopra) sono limitati;
2) C =] − ∞, 5[ è limitato superiormente, ma non limitato;
3) D = {2n + 1 | n ∈ N} = {1, 3, 5, 7, . . .} è limitato inferiormente ma non limitato;
4) E = {(−1)n · n | n ∈ N} = {0, −1, 2, −3, 4, −5, . . .} non è limitato.
Prima di passare ad un’altra fondamentale proprietà di R dobbiamo introdurre ancora
due nozioni.
Definizione 7
Sia A 6= ∅ un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato.
(i) Se l’insieme dei minoranti di A possiede un massimo, esso è l’infimum (o
estremo inferiore) di A, denotato inf A;
(ii) se l’insieme dei maggioranti di A possiede un minimo, esso è il supremum (o
estremo superiore) di A, denotato sup A.
In altre parole: inf A è il più piccolo maggiorante, sup A è il più grande minorante.
Esempi:
1) per A =]1, 5] vale inf A = 1 e sup A = max A = 5;
2) per B = {x ∈ R | x = 1 −
1
n
, n ∈ N \ {0}} vale inf B = min B = 0 e sup B = 2;
3) C =] − ∞, 5[ non ammette infimum, e sup C = 5;
4) per D = {2n + 1 | n ∈ N} vale inf D = min D = 1; sup D non esiste.
Osservazione: come mostrano gli esempi, se A ammette il minimo vale inf A = min A,
e se A ammette il massimo vale sup A = max A.
Definizione 8
Sia F un corpo totalmente ordinato; allora F è completo se ogni sottoinsieme non
vuoto A ⊆ F limitato superiormente ammette il supremum in F.
(Contro-)Esempio: l’insieme Q dei numeri razionali non è completo. Consideriamo ad
esempio il sottoinsieme
A = {x ∈ Q+ | x2 < 2} ;
allora (dal momento che in Q+ la funzione x → x2 è crescente) l’insieme dei suoi maggioranti è
B = {x ∈ Q+ | x2 ≥ 2} ;
esso non possiede un minimo: dato x ∈ B, è sempre possibile esibire y < x tale che y 2 ≥ 2
(cioè un numero più piccolo di x in B), ad esempio y = x2 + x1 , e il numero tale che x2 = 2
non appartiene, come mostrato in I Liceo, all’insieme Q.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
112
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Invece,
Teorema 10
L’insieme R dei numeri reali è completo.
È ad esempio intuitivamente chiaro che, utilizzando la nozione intuitiva di R come ”retta
dei numeri”, l’insieme
Ã = {x ∈ R+ | x2 < 2}
√
possiede un supremum: si tratta del numero indicato con 2, ottenuto geometricamente
come diagonale di un quadrato di lato unitario.
La completezza di R si può esprimere anche mediante la cosiddetta proprietà degli intervalli incapsulati:
Teorema 11
Data in R una successione di intervalli chiusi
[a1 ; b1 ] ⊆ [a2 ; b2 ] ⊆ [a3 ; b3 ] ⊆ . . .
tale che an ≤ an+1 e bn+1 ≤ bn per ogni n, allora esiste almeno un x ∈ R comune a
tutti gli intervalli.
Dimostriamo che il Tm. 11 segue direttamente dal Tm. 10 (al quale è, in realtà,
equivalente): sia A = {an | n ∈ N} l’insieme di tutti gli an . Dal momento che A è
limitato superiormente (vale ad esempio an ≤ b1 ∀ n), per il Tm. 10 esso ammette il
supremum x = sup A. Dalla definizione di supremum segue immediatamente che x ≥ an
∀ n; inoltre, dato che ai ≤ bj ∀i, j deve anche valere x ≤ bn ∀ n. Di conseguenza,
x ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N ,
come volevasi dimostrare La nozione di R come ”insieme dei punti di una retta” non è certo soddisfacente dal
punto di vista matematico. Una costruzione rigorosa dell’insieme dei numeri reali può
essere ottenuta in svariati modi. Ne accenniamo due.
• (L’approccio sintetico) Come abbiamo già visto, R è un campo, totalmente ordinato
e completo. Si può dimostrare che due insiemi aventi tali proprietà possono essere
identificati tra loro in modo naturale. Esiste quindi soltanto ”un” insieme che le
soddisfa tutte e tre: ciò permette una definizione assiomatica di R.
• (Incapsulamenti) L’insieme R può essere costruito come l’insieme degli incapsulamenti di numeri razionali, cioè delle successioni di intervalli
[a1 ; b1 ] ⊆ [a2 ; b2 ] ⊆ [a3 ; b3 ] ⊆ . . .
con an , bn ∈ Q ∀n, an ≤ an+1 e bn+1 ≤ bn . In tal modo, R viene costruito come
l’insieme che soddisfa il Teorema 11.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
113
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Terminiamo il paragrafo con alcune definizioni di carattere tecnico.
Definizione 9 (Intorni)
(i) Sia x ∈ R; un intervallo aperto I(x) =]a, b[ contenente x è un intorno aperto
di x; il corrispondente intorno puntato è I̊(x) = I(x) \ {x} =]a, x[∪]x, b[.
(ii) Sia x ∈ R e sia ε > 0; l’ε-intorno (”epsilon-intorno”) di x è l’intervallo
Iε (x) =]x−ε, x+ε[; il corrispondente ε-intorno puntato è I̊ε (x) = Iε (x)\{x}.
Ad esempio, vale I 1 (1) =
10
9
, 11
10 10
e I̊ 1 (1) =
10
9
, 11
10 10
\ {1} =
9
10
.
, 1 ∪ 1, 11
10
Osservazione: a ∈ R giace nell’ε-intorno di x se la distanza tra a e x è inferiore a ε:
a ∈ Iε (x) ⇐⇒ |x − a| < ε ,
e a ∈ R giace nell’ε-intorno puntato di x se la distanza tra a e x è superiore a zero e
inferiore a ε:
a ∈ I̊(x) ⇐⇒ 0 < |x − a| < ε .
Definizione 10 (Punto di accumulazione)
Sia S ⊆ R un sottoinsieme di R. x ∈ R è un punto di accumulazione di S se per
ogni ε > 0 vale S ∩ I̊(x) 6= ∅.
In altre parole: se per ogni ε > 0 (”piccolo a piacere”) esiste s ∈ S la cui distanza da x è
inferiore a ε. Nota che un punto di accumulazione di S può anche essere esterno a S.
Esempi:
1) Ogni x ∈ R è punto di accumulazione di R.
2) Sia I =]a, b[; allora l’insieme dei punti di accumulazione di I è l’intervallo chiuso
[a, b] (dal momento che anche a e b sono p.d.a. di I).
3) Ogni x ∈ R è punto di accumulazione di Q, dal momento che un numero reale
può essere approssimato a piacere da numeri razionali (ad esempio per mezzo di
troncamenti successivi del suo sviluppo decimale).
4) Considera l’insieme S = { n1 | n ∈ N \ {0}} = {1, 21 , 31 , . . .}. Allora
• 0 è p.d.a. di S, dal momento che per ogni ε > 0 esiste n tale che
1
n
< ε;
• 1 non è p.d.a. di S, dal momento che vale ad esempio I̊ 1 (1) ∩ S = ∅.
2
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
114
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
7. Convergenza e divergenza
Esempi introduttivi: confrontiamo il comportamento delle successioni
a) an = 1 +
1
n+1
=
,
n
n
b) bn = n2 − 2 ,
c) cn = (−1)n + 2−n
al crescere di n:
a) (an ) = 2, 23 , 43 , 54 , 56 , 76 , . . . ;
al crescere di n il valore di an si avvicina arbitrariamente a 1; scriveremo
lim an = 1
n→∞
(”il limite di an per n tendente a infinito è uguale a 1”) e diremo che la successione
è convergente. Nota che 1 è p.d.a. della successione8 .
b) (bn ) = (−1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, ...);
al crescere di n il valore di bn diventa arbitrariamente grande; scriveremo
lim bn = +∞
n→∞
(”bn tende a infinito per n tendente a infinito”) e diremo che la successione è divergente determinata.
17
c) (cn ) = − 12 , 54 , − 78 , 16
, − 31
,... ;
32
al crescere di n il valore di cn si avvicina alternativamente a +1 e -1; diremo che il
limite di tale successione non esiste, e quindi che essa à divergente indeterminata.
I numeri reali +1 e −1, attorno ai quali infiniti valori di cn si accumulano, sono
p.d.a della successione.
Prendendo spunto dal primo esempio, enunciamo la seguente
Definizione 11.1 (Limite finito, versione qualitativa)
Sia (an ) una successione reale. Allora a ∈ R è il limite di an (per n tendente a
infinito), denotato
a = lim an
n→∞
se an si avvicina arbitrariamente ad a quando n è sufficientemente grande.
n→∞
Osservazione: sono in uso anche le notazioni ”an → a per n → ∞” e ”an −→ a”.
8
per semplicità, chiameremo punto di accumulazione di una successione un punto di accumulazione
dell’insieme dei suoi termini
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
115
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
n
Esempio 1) considera la successione an = 1 + (−1)
; essa assume i valori
n
1
1
1
1
(an ) = 0, 1 + , 1 − , 1 + , 1 − , . . .
;
2
3
4
5
rappresentiamo graficamente i punti (n, an ) per i primi valori di n:
intuitivamente è chiaro che i valori di an oscillano attorno al valore limite a = +1, avvicinandosi sempre di più ad esso. Varrà quindi
(−1)n
lim 1 +
=1 .
n→∞
n
Ragionando in modo più quantitativo, possiamo affermare quanto segue: lim an = 1
n→∞
perché, scelto un qualsiasi ”scarto massimo” ε > 0 (”epsilon maggiore di zero”), esiste
un valore N dell’indice n a partire del quale i termini an si troveranno nel ε-intorno di 1;
3
:
graficamente, ponendo ad esempio ε = 0, 15 = 20
Dal disegno possiamo intuire che a partire da a7 = 1 + 17 ∼
= 1, 14 ogni termine della
successione si troverà ”intrappolato” nell’intorno
3
3
I 3 (1) = 1 −
, 1+
= ]0, 85 ; 1, 15[ ,
20
20
20
ossia che per n > 6 si avrà |an − 1| < 0, 15 (N = 6, quindi), e che un comportamento
simile si potrà osservare sostituendo a 0, 15 qualsiasi valore ε > 0 (piccolo a piacere).
In termini algebrici, cerchiamo i valori n per cui vale |an − 1| < ε:
(−1)n 1
|an − 1| < ε
⇐⇒
−1 < ε
⇐⇒
<ε
1 + n n
e quindi n > 1ε . Ponendo (come sopra) ε =
che deve valere n > N = 6.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
3
20
116
otteniamo n >
20
3
∼
= 6, 67; è quindi chiaro
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Generalizzando quanto visto, siamo pronti a comprendere la seguente
Definizione 11.2 (Limite finito, versione rigorosa)
Sia (an ) una successione reale. Allora a ∈ R è il limite di an , denotato
a = lim an
n→∞
se, scelto ε >, esiste N > 0 (dipendente da ε) tale che la distanza tra a e an è minore
di ε quando n > N . In simboli:
∀ ε > 0 ∃ N > 0 : n > N ⇒ |an − a| < ε cioè an ∈ Iε (a).
Osservazione: è immediatamente chiaro che a è un punto di accumulazione di (an ).
Esempio 2) intuitivamente, è chiaro che lim 2−n = 0, cioè che an = 2−n è una cosidetta
n→∞
successione nulla, dal momento che essa assume i valori
1 1 1 1 1
, , , , ,...
(an ) =
2 4 8 16 32
tendenti a zero. Verifichiamolo rigorosamente:
come sopra, poniamo ε > 0 e risolviamo la disequazione:
−n 2 < ε
|2−n − 0| < ε
⇐⇒
⇐⇒
2−n < ε
⇐⇒
n > − log2 ε.
⇐⇒
−n < log2 ε
Quindi: per n > − log2 ε vale |2−n − 0| < ε.
1
⇐⇒ − log2 ε ∼
Illustrazione (con ε = 10
= 3, 32, quindi N = 3):
Teorema 12 (Unicità del limite)
Il limite di una successione, se esiste, è unico.
Dimostrazione: supponiamo che valga
lim an = A
n→∞
e
lim an = B
n→∞
.
Per la disuguaglianza triangolare (v. sotto) vale, per ogni n,
|A − B| = |A −an + an −B| ≤ |A − an | + |an − B| .
| {z }
0
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
117
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Sia ε > 0 (”piccolo a piacere”). Per la definizione di limite,
• esiste N1 tale che |A − an | <
ε
2
per n > N1 ;
• esiste N2 tale che |an − B| <
ε
2
per n > N2 .
Ponendo n > max{N1 , N2 } si mostra che vale |A − B| < ε:
|A − B| ≤ |A − an | + |an − B| <
ε ε
+ =ε ;
2 2
cioè: la distanza tra A e B è più piccola di ogni numero reale positivo.
In altre parole, A = B Osservazione: nella dimostrazione abbiamo fatto uso della cosiddetta disuguaglianza
triangolare
|x + y| ≤ |x| + |y| ,
valida per ogni coppia x, y di numeri reali (facilmente dimostrabile ad esempio elevando
al quadrato i due termini).
Passiamo ora al caso dei limiti infiniti; prendendo spunto dal secondo esempio a pag. 115,
possiamo enunciare la seguente
Definizione 12.1 (Limite infinito, versione qualitativa)
Sia (an ) una successione reale. Allora vale
lim an = +∞
n→∞
risp.
lim an = −∞
n→∞
se il valore di an diventa arbitrariamente grande (in senso positivo risp. negativo)
quando n è sufficientemente grande.
Osservazione: potremmo anche affermare che vale lim an = +∞ (risp. −∞) se la
n→∞
successione cresce (risp. decresce) oltre ogni limite.
√
Esempio 3) considera la successione an = n2 − n; essa assume i valori
√ √ √ √
(an ) = 0, 2, 6, 12, 20, . . .
;
risulta intuitivamente chiaro che vale lim an = +∞, dal momento che il valore di an
n→∞
supera, per n sufficientemente grande, qualsiasi ”barriera”. In effetti, scegliendo M > 0,
è sempre possibile trovare n tale che
√
an > M
⇐⇒
n2 − n > M
⇐⇒
n2 − n − M 2 > 0 ;
risolvendo la disequazione quadratica
tenendo
√
conto del fatto che an > 0 è facile vedere
1
2
che vale an > M per n > 2 1 + 4M + 1 .
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
118
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Ad esempio, per M = 6 vale
1
√ √
1
1 + 4M 2 + 1 =
1 + 145 ∼
= 6, 52
2
2
e quindi an > 6 per n > 6, come mostra l’illustrazione a
fianco.
Perveniamo quindi ad una definizione più rigorosa:
Definizione 12.2 (Limite infinito, versione rigorosa)
Sia (an ) una successione reale. Allora vale
lim an = +∞
n→∞
lim an = −∞
risp.
n→∞
se, scelto M > 0, esiste N > 0 (dipendente da M ) tale che an > M risp. an < −M
quando n > N . In simboli:
∀ M > 0 ∃ N > 0 : n > N ⇒ an > M
Esempio 4) mostriamo che vale lim log
n→∞
risp. an < −M
.
1
= −∞ :
n
sia M > 0; allora risolviamo
an < −M ⇐⇒ log
1
< −M ⇐⇒ − log n < −M ⇐⇒ log n > M ⇐⇒ n > 10M .
n
Per n > 10M vale quindi an < −M .
Definizione 13 (Convergenza e divergenza)
Una successione (an ) è detta
• convergente, se ammette un limite finito;
• divergente determinata, se vale lim an = +∞ oppure lim an = −∞;
n→∞
n→∞
• divergente indeterminata nei casi restanti.
Esempi di successioni divergenti indeterminate:
a) an = (−1)n ;
b) bn = 2(−1)
n ·n
;
c) cn = sin n ·
2π
10
.
(Per esercizio, descrivi il comportamento di ognuna di esse.)
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
119
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
8. Successioni limitate e successioni convergenti
Per convenzione una successione (an ) si dice limitata se l’insieme dei suoi termini è limitato. Nella lingua italiana, si tratta di una scelta di termini piuttosto infelice9 : una successione limitata non possiede per forza un limite, come mostra l’esempio an = (−1)n + n1 .
Per contro, se esiste il limite la successione è certamente limitata:
Teorema 13
Una successione convergente è limitata.
Dimostrazione: sia a = lim an ; scegliendo ε = 1 nella definizione di limite, segue che
n→∞
esiste N > 0 tale che
|an − a| < 1 ∀ n > N ;
di conseguenza, per n > N vale
− a| +|a| < 1 + |a| .
|an | = |an −a
| {z+ a} | ≤ ||an{z
}
0
<1
Ciò dimostra che solo un numero finito di termini della successione può avere valore
assoluto maggiore di 1 + |a|; in particolare, scegliendo
c = max{|a1 |, |a2 |, . . . , |aN |, 1 + |a|}
varrà certamente −c ≤ an ≤ c per ogni n: la successione è quindi limitata
Come abbiamo già rimarcato, una successione limitata non possiede sempre un limite.
Intuitivamente è però chiaro che i suoi (infiniti!) termini debbano addensarsi da qualche
parte:
Teorema 14 (Bolzano-Weierstrass)
Una successione limitata ammette almeno un punto di accumulazione.
Dimostrazione: sia (an ) una successione limitata. Allora l’insieme dei suoi termini
ammette un minorante A e un maggiorante B. Costruiamo ricorsivamente una successione
di intervalli [αn , βn ] nel modo seguente:
• [α1 , β1 ] = [A, B] ;
• sia C = A+B
il punto medio dell’intervallo [A, B]; allora almeno uno degli intervalli
2
[A, C] e [C, B] contiene un’infinità di termini di an ; poniamo [α2 , β2 ] = [A, C] se
[A, C] contiene un’infinità di termini di an , altrimenti poniamo [α2 , β2 ] = [C, B];
n
n
• dato l’intervallo [αn , βn ] (n ≥ 2) poniamo [αn+1 , βn+1 ] = [αn , αn +β
] se [αn , αn +β
]
2
2
αn +βn
contiene un’infinità di termini di an e [αn+1 , βn+1 ] = [ 2 , βn ] in caso contrario.
9
ad esempio, in inglese limite si traduce in limit, ma limitato si traduce in bounded
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
120
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Cosı̀ facendo, abbiamo ricavato una successione di intervalli incapsulati
[α1 , β1 ] ⊆ [α2 , β2 ] ⊆ [α3 , β3 ] ⊆ . . .
tale che αn ≤ αn+1 e βn+1 ≤ βn per ogni n. Allora, per il Teorema 11 (pag. 113) esiste
x ∈ R comune a tutti gli intervalli. Per costruzione, ogni intorno di x contiene almeno un
termine di an : si tratta quindi di un p.d.a. di (an ) Esempio: la successione an = (−1)n + n1 menzionata sopra è limitata (vale ad esempio
−2 < an < 2) e possiede due punti di accumulazione, +1 e −1.
Osservazione: il Tm di Bolzano-Weierstrass non è un’equivalenza: ogni successione
limitata ammette almeno un p.d.a., ma esistono successioni che, pur ammettendo un
p.d.a., non sono limitate.
n
Considera ad esempio la successione an = 2(−1) ·n , vale a dire
( n
1
1
1
, 128
, . . . se n è dispari
= 21 , 18 , 32
2
an =
n
2 = 4 , 16 , 64 , 256 , . . . se n è pari
Essa ammette 0 quale p.d.a. (i termini di indice dispari si avvicinano arbitrariamente a
0), ma è chiaramente illimitata (i termini di indice pari crescono arbitrariamente).
Per essere convergente, una successione limitata (an ) deve soddisfare un’ulteriore condizione: essere monotona (o, meglio, monotòna).
Definizione 14 (Monotonia)
Una successione (an ) è detta
• monotona crescente, se vale an+1 > an ∀ n;
• monotona decrescente, se vale an+1 < an ∀ n;
• monotona, se è monotona crescente oppure decrescente.
Esempi:
1) Una progressione aritmetica (an ) di ragione d > 0 è crescente: an+1 = an + d > an ;
è invece decrescente se d < 0.
2) Una progressione geometrica (an ) di ragione q > 1 è crescente: an+1 = q · an > an ;
è invece decrescente se 0 < q < 1.
3) (controesempio) Come è facile verificare esplicitamente, la successione an = (−1)n · n1
non è monotona.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
121
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Teorema 15 (Un criterio di convergenza)
Una successione limitata e monotona converge.
Dimostrazione: sia (an ) monotona crescente, e sia
a := sup{an | n ∈ N \ {0}}
l’estremo superiore dell’insieme dei suoi termini. Nota che a esiste in virtù della completezza di R (Teorema 10), dal momento che A = {an } è limitato superiormente. Sia
ε > 0; allora vale Iε (a) ∩ A 6= ∅ (in caso contrario, a − ε sarebbe un maggiorante di A e
quindi a non sarebbe il supremum di A). In particolare, esiste N tale che aN ∈ Iε (a) e,
dato che la successione è crescente, vale
a − ε < aN < an < a ∀ n ≥ N
.
Abbiamo mostrato che, dato ε > 0, esiste N > 0 con an ∈ Iε (a) ∀n > N , cioè che
lim an = a = sup{an | n ∈ N \ {0}} .
n→∞
In maniera analoga, si mostra che se (an ) è limitata e monotona decrescente, vale
lim an = inf{an | n ∈ N \ {0}} n→∞
Il Teorema 15 è un utile criterio per dimostrare l’esistenza di un limite. A titolo di
esempio, lo utilizziamo per dimostrare la convergenza di una celebre successione (e quindi
l’esistenza di una fondamentale costante, la base del logaritmo naturale).
Teorema 16 (Il numero di Eulero)
La successione (en ) definita da
en =
1
1+
n
n
è convergente; il suo limite
e := lim
n→∞
1
1+
n
n
∼
= 2, 71828182845904523536
è noto come numero di Eulero.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
122
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Dimostrazione: mostriamo innanzitutto che en è monotona crescente . Sviluppando
n
1 + n1 con la formula binomiale, e ricordando che
n
n!
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
=
=
k
k!(n − k)!
k!
si ottiene
en
3
n
2 n n
n n−1 1
n n−3
1
n
1
1 n
n n−2
1
=
1 +
1
· +
+
1
·
+ ...
=
1+
1
·
n
0
1
n
n
3
n
n
n
2
1
1 n(n − 1)
1 n(n − 1)(n − 2)
1 n(n − 1)(n − 2) . . . 2 · 1
+ ·
+
+ ... +
2
3
n 2!
n
3!
n
n!
nn
1 n−1
1 n−1 n−2
1 n−1 n−2
1
= 1+1+ ·
+ ·
·
+ ... +
·
·
...
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
1
1
1
2
1
1
2
n−1
1
1−
+
1−
1−
+ ... +
1−
1−
... 1 −
= 2+
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
= 1+n·
.
In modo simile otteniamo
en+1 =
1
1+
n+1
n+1
1
1
1
1
2
= 2+
1−
+
1−
1−
+ ...
2!
n+1
3!
n+1
n+1
1
2
n
1
1−
1−
... 1 −
.
... +
(n + 1)!
n+1
n+1
n+1
L’espressione per en ha n termini (tutti positivi), mentre l’espressione per en+1 ne ha
n + 1. Inoltre, è facile mostrare che vale
k
k
≥ 1−
1−
n+1
n
e quindi che i primi n termini dello sviluppo di en+1 sono maggiori dei corrispondenti n
termini dello sviluppo di en . Ciò dimostra che en+1 > en .
Dimostriamo ora che en è limitata : considerando di nuovo lo sviluppo
1
en = 1+1+
2!
1
1
1
2
1
1
1
n−1
1−
+
1−
1−
+. . .+
1−
1−
... 1 −
n
3!
n
n
n!
n
n
n
e sfruttando le disuguaglianze 1 −
ricaviamo
k
n
≤ 1 (chiaro) e k! > 2k−1 (vedi Serie 21, es. 1.),
1−
1 1
1
1 1
1
en ≤ 1+1+ + +. . .+ ≤ 1+ + 2 +. . .+ n−1 = 1+
2! 3!
n!
2 2
2
1−
1 n
2 1
2
1
= 1+2 1 − n < 1+2 = 3 ,
2
dove abbiamo sfruttato la formula per la somma di una progressione geometrica (con
primo termine 1 e ragione 12 ). Ciò dimostra che en < 3 per ogni n, e quindi, dal momento
che tutti i termini sono positivi, che en è limitata.
Assieme al Teorema 15, ciò dimostra l’esistenza del limite e Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
123
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
9. Calcolo con i limiti
Iniziamo con alcuni limiti elementari, a partire dai quali sarà poi possibile trattare successioni più complesse. Il caso più banale è, ovviamente, quello delle successioni costanti:
Lemma 17 (Successioni costanti)
Sia
an = k
una successione costante. Allora vale
lim an = k
.
n→∞
Dimostrazione: nella def. 11.2 (pag.117) scegliamo N = 1 per qualsiasi ε > 0 Lemma 18 (Progressioni aritmetiche)
Sia
an = a1 + (n − 1)d
una progressione aritmetica di ragione d. Allora vale


+∞ , se d > 0
lim an = a1 ,
se d = 0
n→∞


−∞ , se d < 0 .
Dimostrazione: notiamo innanzitutto che il caso d = 0 corrisponde ad una successione
costante. Sia quindi d > 0. Verifichiamo la validità della definizione 12.2 (pag. 119).
Sia M > 0; allora vale
an > M
⇐⇒
a1 + (n − 1)d > M
⇐⇒
n>
M − a1
+1 .
d
M − a1
+ 1.
d
Per d < 0 si procede analogamente (an < −M ecc.) La definizione è quindi soddisfatta con N =
Lemma 19 (Progressioni geometriche)
Sia
an = a1 · q n−1
una progressione geometrica di ragione q con


+∞ ,





−∞ ,
lim an = a1 ,
n→∞



0,



non esiste ,
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
124
a1 6= 0. Allora vale
se
se
se
se
se
q > 1 e a1 > 0
q > 1 e a1 < 0
q=1
−1 < q < 1
q ≤ −1 .
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Dimostrazione: semplice esercizio. Nota che per q = 1 si tratta di una successione
costante e per q ≤ −1 di una successione divergente indeterminata.
Lemma 20 (Potenze)
Vale


+∞ , se α > 0
α
lim n = 1 ,
se α = 0
n→∞


0,
se α < 0 .
Dimostrazione:
• per α > 0, sia M > 0; allora vale
nα > M
⇐⇒
1
n > M α =: N
;
• per α = 1 si tratta di una successione costante;
• per α < 0, sia ε > 0; allora
|nα − 0| < ε
⇐⇒
nα < ε
⇐⇒
1
n > ε α =: N
Passiamo ora alle regole di calcolo per le ”quattro operazioni”:
Teorema 21 (Operazioni fondamentali)
Siano (an ) e (bn ) due successioni convergenti, con
lim an = a
n→∞
e
lim bn = b .
n→∞
Allora vale
a) lim (an + bn ) = lim an + lim bn = a + b ;
n→∞
n→∞
n→∞
b) lim (an − bn ) = lim an − lim bn = a − b ;
n→∞
n→∞
n→∞
c) lim (an · bn ) = lim an · lim bn = ab ;
n→∞
n→∞
n→∞
1
1
1
=
= ;
n→∞ bn
lim bn
b
d1 ) se b 6= 0 e bn 6= 0 ∀n : lim
n→∞
lim an
an
a
= n→∞
= .
n→∞ bn
lim bn
b
d2 ) se b 6= 0 e bn 6= 0 ∀n : lim
n→∞
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
125
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Dimostrazione:
a) sia ε > 0; per definizione esistono N1 e N2 tali che
ε
ε
per n > N1 e |bn − b| <
per n > N2
|an − a| <
2
2
.
Sia N = max{N1 , N2 } il maggiore dei due numeri; allora per n > N entrambe le
disuguaglianze sono valide, e quindi10
ε ε
|(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < + = ε
2 2
quando n > N ; vale cioè lim (an + bn ) = a + b.
n→∞
b) Analogo (nota che vale anche |x − y| ≤ |x| + |y|).
c) Dal momento che (bn ) è convergente, essa è pure limitata (Tm. 13). Esiste quindi
M > 0 tale che |bn | < M ∀n > 0. M può inoltre essere scelto in modo tale che valga
|a| < M .
Sia ε > 0; allora
|an bn − ab| = |an bn −abn + abn −ab| = |(an − a)bn + a(bn − b)|
| {z }
0
≤ |(an − a)bn | + |a(bn − b)| = |an − a| · |bn | + |a| · |bn − b|
< |an − a| · M + M · |bn − b| .
Procediamo ora analogamente ad a): esistono N1 e N2 tali che
ε
ε
|an − a| <
per n > N1 e |bn − b| <
per n > N2
2M
2M
.
Con N = max{N1 , N2 } vale, per ogni n > N ,
|an bn − ab| < |an − a| · M + M · |bn − b| <
ε
ε
+
·
·
M
M
=ε .
2
M
2
M
d1 ) Sia ε > 0; allora vale
b − bn |b − bn |
1
1
=
− =
bn
b bbn |b| · |bn |
scegliamo N1 in modo tale che
1
−
bn
;
valga |bn | > 21 |b| ∀n > N1 ; allora per n > N1 vale
1 |b − bn |
|b − bn |
<
= 1 2
.
1
b
|b| · 2 |b|
b
2
Per la definizione di limite, esiste N2 > 0 tale che |bn − b| < 12 εb2 ∀n > N2 ; allora,
per n > N = max{N1 , N2 }, vale
1 2
1
1
− < 2 εb = ε .
1 2
bn
b
b
2
10
ricorda che il valore assoluto soddisfa la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y|
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
126
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
d2 ) segue da c) e d1 :
an
1
1
a
lim
= lim an ·
=a· =
n→∞ bn
n→∞
bn
b
b
Osservazione: dal Teorema segue, in particolare, che per (an ) convergente e k ∈ R vale
lim (k · an ) = k · lim an
n→∞
n→∞
.
Esempi:
1) lim
n→∞
1
5+ 2
n
=5+0=5 ;
→0
2) lim
n→∞
7n2
+ 5n + 1
= lim
n→∞
3n2
7n2
3n2
+
5n
1
+ 2
2
3n
3n
}|
{
z
7 5 1 1 1
7
= lim
− · + · 2 = ;
n→∞ 3
3 n 3 n
3
n+3
1
1
n
+
3
1
=
lim
= lim
= lim ·
2
n→∞ n + 8n + 15
n→∞ (n+ 3)(n + 5) n→∞ n + 5 n→∞ n 1 +
3) lim
5
n
= 0 · 1 = 0;
→0
z }| { 4
5
3
n 3+ + 3
3n3 + 4n2 + 5
3
1
n n
= =
4) lim
= lim
3
n→∞ 9n + n + 10
n→∞
10
1
9
3
n3 9 + 2 + 3
|n {z n }
;
→0
→5
}|
{
2
1
n4 5 + 2 + 4
5
5n4 + 2n2 + 1
n
n
= lim n2 = +∞ ;
5) lim
= lim
2
n→∞
n→∞
n→∞
10
3n + 10
3
n2 3 + 2
n
| {z }
z
→3
→1
z
2
n 1+
n2 + 3n − 2
= lim
6) lim
n→∞
n→∞ 7n3 − n2 − 8
3
n 7−
|
}|
3
−
n
1
−
n
{z
→7
{
2
1
1
n2
= lim
=0 .
8
7 n→∞ n
n3
}
Osservazione: gli esempi 3) - 6) rappresentano quozienti di successioni divergenti determinate (che più tardi indicheremo con l’espressione simbolica ∞
). Come mostrano tali
∞
esempi, non è possibile stabilire a priori il comportamento del quoziente, ma nel caso di
numeratore e denominatore polinomiali risulta efficace la messa in evidenza dei termini
di grado più elevato. Potremmo riassumere quanto visto come segue:
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
127
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Corollario 22 (Successioni razionali)
Siano
an = Ak nk + Ak−1 nk−1 + . . . + A1 n + A0
e bn = B` n` + B`−1 n`−1 + . . . + B1 n + B0
due successioni polinomiali. Allora vale
an
Ak nk + Ak−1 nk−1 + . . . + A1 n + A0
Ak
=
= lim
lim nk−`
n→∞ bn
n→∞ B` n` + B`−1 n`−1 + . . . + B1 n + B0
B` n→∞
lim
,
e quindi:
• k>`
• k=`
• k<`
⇒
an
= ±∞
n→∞ bn
lim
;
Ak
an
=
;
n→∞ bn
Bk
an
⇒ lim
=0 .
n→∞ bn
⇒
lim
Quindi: i termini di grado inferiore non hanno alcun influsso sul valore del limite.
Esempi:
13x7 − 2x6 − x5 + 1
= +∞ ;
n→∞
7x4 − 9x2 + 9x
7) lim
14
32n
(2n − 1)5 (n + 1)9
(32n5 + . . .)(n9 + . . .)
1
= lim
= lim
.
=
14
4
2
5
4
10
n→∞ (3n + 1) (2n + n + 5)
n→∞ (81n + . . .)(32n + . . .)
n→∞ 81 · 32n
81
8) lim
Dal Teorema segue inoltre il
Corollario 23 (Potenze e radici)
Sia (an ) una successione convergente, con lim an = a, e sia k ∈ N \ {0}. Allora vale
n→∞
a) lim (an )k =
n→∞
lim an
k
n→∞
b) se an ≥ 0 ∀n : lim
√
k
n→∞
= ak ;
an =
q
k
lim an =
n→∞
√
k
a.
Dimostrazione:
a) Induzione rispetto a k:
• k = 1 : chiaro;
• k →k+1 :
lim (an )k+1 = lim (an )k · an = lim (an )k · lim an = ak · a = ak+1
n→∞
n→∞
| {z } |n→∞
{z }
n→∞
ak (ip.ind.)
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
128
.
a
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
b) Presupponendo la convergenza di
lim
n→∞
e quindi lim
n→∞
√
√
k
an = k a
√
k a , vale
n
k
√ k
√
k
an = k a = a ,
Esempi:
r
9) lim
n→∞
1
5+ =
n
s
lim
n→∞
1
5+
n
=
√
5;
r
8n
+
1
8
2
3
3
10) lim 3
lim
=
= ;
n→∞
n→∞ 27n + 4
27
3
q
q
√
2 4+ 1 +n+1
n
4 + n12 + n + 1
n
2
4n + 1 + n + 1
n2
11) lim
= lim
= lim
=
n→∞
n→∞
n+2
n+2
q n + 2
n→∞
√
n
4 + n12 + 1 + n1
4+0+1+0
=
=3;
lim
2
n→∞
1+0
n 1+ n
q
√
3
3
n3 1 + n13 + n
3
n +1+n
√
q
12) lim √
= lim q
=
n→∞
2n2 − 1 − n2 + n n→∞ n2 2 − 12 − n2 1 + 1 n
n
q
√
n 3 1 + n13 + 1
2
1+0+1
q
√
lim q
=√
.
=√
n→∞
1
1
2
−
0
−
1
+
0
2
−
1
n
2− 2 − 1+
r
8n + 1
=
27n + 4
r
n
n
Osservazione: gli esempi 11) e 12) mostrano che anche nel caso di un quoziente di
funzioni irrazionali può essere conveniente mettere in evidenza i termini di grado più
elevato (dopo averli estratti dai radicali).
√
√
√
√
√
√
2
2
√n +5 =
n2 + n − n2 + 5 = lim
n2 + n − n2 + 5 · √nn2 +n+
13) lim
+n+ n2 +5
n→∞
n→∞
n(1 − n5 )
(n2 + n) − (n2 + 5)
n−5
√
√
q
lim √
= lim √
= lim q
n→∞
1
n2 + n + n2 + 5 n→∞ n2 + n + n2 + 5 n→∞ n
1+ + 1+
n
1−0
1
√
=√
=
2
1+0+ 1+0
5
n2
.
Osservazione: l’esempio 13) consiste in una differenza di successioni divergenti determinate (che più tardi indicheremo con l’espressione simbolica ∞ − ∞). In casi del genere
non è possibile stabilire a priori il valore del limite. Nel caso della differenza di successioni irrazionali, può però essere utile amplificare l’espressione facendo uso del prodotto
notevole (x + y)(x − y) = x2 − y 2 , per poi ridursi al calcolo di un limite del tipo descritto
dai due esempi precedenti.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
129
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
10. Forme simboliche e forme di indecisione
Passiamo ora ai limiti infiniti, e quindi allo studio dei limiti delle successioni costruite a
partire da successioni sia convergenti che divergenti determinate.
Esempio introduttivo: consideriamo le successioni (an ), (bn ), (cn ) e (dn ) con
an = n 2 + n ,
bn = n + 1 ,
cn = 2n2
,
dn = n3
.
È facile vedere che per tutte e quattro il limite per n → ∞ vale +∞. Consideriamo ora i
limiti di alcuni quozienti; con l’aiuto del Corollario 22 vediamo immediatamente quanto
segue:
n2 + n
an
= lim
= +∞ ;
• lim
n→∞ n + 1
n→∞ bn
an
n2 + n
1
= lim
= ;
2
n→∞ cn
n→∞ 2n
2
• lim
an
n2 + n
=0.
= lim
n→∞ dn
n→∞
n3
• lim
Nel caso del quoziente di due successioni divergenti determinate non è possibile stabilire a
priori il comportamento del quoziente, ma occorre stabilirlo volta per volta per mezzo di
” è una forma di indecisione.
metodi ad hoc. Descriveremo tale situazione dicendo che ” ∞
∞
Descriviamo ora, sotto forma di teoremi, alcune situazioni in cui il limite può essere
stabilito a priori:
Teorema 24 (Somma e sottrazione)
a) Sia lim an = a ∈ R e lim bn = ±∞; allora vale
n→∞
n→∞
lim (an + bn ) = ±∞.
n→∞
In breve: a ± ∞ = ±∞ .
b) Sia lim an = lim bn = ±∞; allora vale
n→∞
n→∞
lim (an + bn ) = ±∞.
n→∞
In breve: (+∞) + (+∞) = +∞ , (−∞) + (−∞) = −∞ .
Nota che, dal momento che ”∞” non è un numero reale, le forme simboliche utilizzate
sono semplicemente delle abbreviazioni e non rappresentano delle vere e proprie operazioni
algebriche!
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
130
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Dimostrazione:
a) Siano lim an = a ∈ R e lim bn = +∞.
n→∞
n→∞
Per il Tm. 13, (an ) è limitata (inferiormente): esiste A ∈ R con an > A ∀n.
Sia ε > 0; allora esiste N tale che bn > N − A ∀n > N , e di conseguenza
an + b n > A + N − A = N
∀n > N,
cioè lim (an + bn ) = +∞. Il caso ”a − ∞” si dimostra analogamente.
n→∞
b) Siano lim an = +∞ e lim bn = +∞.
n→∞
n→∞
Sia M > 0; allora esistono N1 e N2 tali che
1
an > M
2
risp.
1
bn > M
2
per n > N1 risp. n > N2 . Sia N = max{N1 , N2 }: per n > N vale
1
1
an + b n > M + M = M
2
2
,
cioè lim (an + bn ) = +∞. Il caso ”−∞ − ∞” si dimostra analogamente
n→∞
Osservazione: nella parte a) abbiamo di fatto dimostrato un’affermazione più generale
di quella dell’enunciato del Teorema: ”se (an ) è limitata e lim bn = ±∞, allora vale
n→∞
lim (an + bn ) = ±∞”.
n→∞
Esempi:
1) lim (n + n2 ) =00 ∞ + ∞00 = +∞ ;
n→∞
2) lim 2−n − n3 =00 0 − ∞00 = −∞ ;
n→∞
3) lim (sin(n) + n) = +∞, dal momento che si tratta della somma di una successione
n→∞
limitata e di una successione tendente a +∞.
Osservazione: il caso della differenza di due successioni tendenti entrambi allo stesso
infinito (indicato con ”(+∞)−(+∞)” risp. ”(−∞)−(−∞)”) è più problematico, dal momento che non è possibile stabilire a priori quanto valga il limite. Si tratta di un’ulteriore
forma di indecisione. Sono ad esempio di questo tipo i limiti
√
√ lim (n2 − n)
e
lim
n+1− n
(v. sotto).
n→∞
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
n→∞
131
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Teorema 25 (Prodotto)
a) Sia lim an = a ∈ R∗ e lim bn = ±∞; allora vale
n→∞
n→∞
• se a > 0: lim (an · bn ) = ±∞, in breve: a · (±∞) = ±∞ ;
n→∞
• se a < 0: lim (an · bn ) = ∓∞, in breve: a · (±∞) = ∓∞ .
n→∞
b)
• Sia lim an = lim bn = ±∞; allora vale
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = +∞
n→∞
In breve: (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞ .
• Sia lim an = ±∞ e lim bn = ∓∞; allora vale
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = −∞
n→∞
In breve: (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ .
Dimostrazione: svolgiamo, a titolo di esempio, un solo caso di a). Siano lim an = a > 0
n→∞
e lim bn = +∞; allora, dato che (an ) è limitata, esiste A > 0 con an > A ∀n.
n→∞
∀n > N . Allora, sempre per n > N ,
Sia M > 0; per definizione, esiste N > 0 con bn > M
A
vale
M
=M ,
an · b n > A ·
A
cioè lim an · bn = +∞ n→∞
Nota che, di fatto, abbiamo dimostrato un’affermazione più generale: ”se (an ) è positiva
e limitata e lim bn = +∞, allora vale lim (an · bn ) = +∞”.
n→∞
n→∞
Esempi:
4) lim 3n (x + 1) =00 ∞ · ∞00 = +∞ ;
n→∞
2n2 + 3
2
(1 − 2x) =00 · (−∞)00 = −∞ ;
2
n→∞ 3n − 2
3
5) lim
1 00
= (+∞) · (−∞)00 = −∞ ;
n→∞
n
5
2
2
7) lim (3n − 5n) = lim n 3 −
= ”(+∞) · 3” = +∞ .
n→∞
n→∞
n
6) lim en · ln
Osservazione: sono invece di indecisione le forme ”0 · (+∞)” e ”0 · (−∞)”.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
132
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
L’idea utilizzata nell’esempio 7 può essere generalizzata alle successioni polinomiali, della
forma
an = p(n) = Ak nk + Ak−1 nk−1 + . . . + A1 n + A0
con A0 , A1 , . . . , Ak ∈ R ;
mettendo in evidenza la potenza più alta di n, si ottiene
→0
z
}|
{
A
A
A
k−1
1
0
lim p(n) = nk Ak +
+ . . . + k−1 + k = lim Ak nk
n→∞
n→∞
n
n
n
.
Il comportamento per n → ∞ di una successione di questo tipo dipende quindi soltanto
dal termine di grado più alto. Vale il
Corollario 26 (Successioni polinomiali)
Siano A0 , A1 , . . . , Ak ∈ R, con Ak 6= 0, e sia
p(n) = Ak nk + Ak−1 nk−1 + . . . + A1 n + A0
.
Allora vale
lim p(n) = lim Ak nk = ±∞ ,
n→∞
n→∞
dove il segno del limite è lo stesso di Ak .
Il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione, precisa il comportamento dei
quozienti di successioni convergenti e divergenti determinate:
Teorema 27 (Quoziente)
a) Sia lim an = a ∈ R∗ ∪ {±∞} e lim bn = 0; allora vale
n→∞
n→∞
an lim = +∞.
n→∞ bn
= +∞”.
In breve: ” a0 = +∞”, ” ±∞
0
b) Sia lim an = a ∈ R e lim bn = ±∞; allora vale
n→∞
n→∞
an
= 0.
n→∞ bn
lim
a
In breve: ” ±∞
= 0” .
Osservazioni:
(i) Il caso ” ±∞
” può essere ricondotto al caso a0 · (±∞) ponendo a0 = a1 ;
a
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
133
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
(ii) In generale, nella parte a), il termine abnn non può essere sostituito dal semplice
quoziente abnn : considera ad esempio le successioni an = 1 (cost.) e bn = (−1)n · n−1 ;
allora il limite
an
lim
= lim (−1)n · n
n→∞ bn
n→∞
non esiste, mentre vale
an lim = lim n = +∞ .
n→∞ bn
n→∞
an
,
n→∞ bn
(iii) per quanto riguarda il segno del limite lim
esso dev’essere determinato tenendo
conto dei segni di an e di bn (ammesso che il limite del quoziente esista);
(iv) le forme ” ±∞
” e ” 00 ” sono di indecisione.
±∞
Esempi:
1 + n−1 00 1 00
=
=0;
n→∞
ex
+∞
8) lim
log n 00 +∞ 00
=
= +∞ .
n→∞ e−n
0
9) lim
Osservazione: per quanto riguarda le successioni nulle, a volte è comodo precisare il
senso della convergenza (”da destra” risp. ”da sinistra”) come segue:
• lim an = 0+ se esiste n0 per cui an > 0 ∀ n > n0 ;
n→∞
• lim an = 0− se esiste n0 per cui an < 0 ∀ n > n0 .
n→∞
Esempi:
1
n→∞ n
10) lim
= 0+ ;
−1
n→∞ n
11) lim
= 0− .
Ciò può essere utile per la forma simbolica
1
= +∞
0+
a
0
: potremmo precisarla distinguendo
1
= −∞
0−
;
(a parole: ”se an si avvicina a 0 da destra,
avvicina a 0 da sinistra, a1n tende a −∞”).
1
an
tende a +∞”, rispettivamente ”se an si
Esempi:
2−n − 3 00 −3 00
= + = −∞ ;
n→∞
3−n
0
12) lim
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
134
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
n2
+∞
13) lim 1 = 00 − 00 = −∞ .
n→∞ ln
0
n
Riassumiamo ora le forme simboliche determinate (abbreviandole senza tener conto dei
segni):
a+∞=∞
a
=0
∞
∞+∞=∞
a
= ∞ (a 6= 0)
0
a · ∞ = ∞ (a 6= 0)
∞
= ∞ (a 6= 0)
a
∞·∞=∞
∞
=∞
0
Per quanto riguarda, invece, le forme di indecisione incontrate finora, esse sono:
∞−∞
0·∞
∞
∞
0
0
Osservazione: nel paragrafo precedente abbiamo già menzionato qualche tecnica ad hoc
” ed
che permette di trattare alcune forme di indecisione (esempi 4)-8) e 11)-12) per ” ∞
∞
esempio 13) per ”∞ − ∞”).
Altri Esempi:
√
√
√ √ 14) lim
n + 1 − n = lim
n+1− n ·
n→∞
|
{z
} n→∞
√
√
n+1+ n
√
√
n+1+ n
= lim √
n→∞
n + 1
−n
n+1+
√
n
∞−∞
= lim √
n→∞
1
1
√ = 00 00 = 0 ;
∞
n+1+ n
→1
z }| {
2
n
n+2
1
(1 + )
15) lim √
= lim q n = ;
n→∞
2
4n2 + 7 n→∞ n 4 + n72
| {z }
∞
| {z }
∞
→2
5n − 1
= lim
16) lim
n
n→∞
| 3{z } n→∞
5n
1
− n
n
3
3
n n 5
1
= lim
−
= ”(+∞) − 0” = +∞ ;
n→∞
3
3
∞
∞
5n
3n + 5n
17) lim n
=
lim
n→∞ 2 + 7n
n→∞ 7n
| {z }
3 n
5
2 n
7
n
5
= lim
·
n→∞
7
+1
+1
3 n
5
2 n
7
+1
+1
=0·1=0 .
∞
∞
Una tecnica molto efficace per trattare le forme di indecisione, la regola di Bernoulli-De
L’Hôpital, verrà introdotta in IV nell’ambito dei limiti di funzioni.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
135
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
11. Serie numeriche: definizioni ed esempi
Ci occupiamo ora dello studio della somma dei termini di una successione, cioè del significato che il matematico attribuisce ad espressioni del tipo
1+
1 1 1
+ + + ...
2 3 4
,
1 1
1
+ +
+ ...
4 8 16
1+
oppure 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ± . . .
La prima, fondamentale definizione precisa quanto segue: il modo corretto per interpretare
una somma infinita è considerarla come limite di una successione di somme finite.
Definizione 15 (Serie)
Sia (an ) una successione.
(i) La successione (sn ) delle sue somme parziali, definita da
sn =
n
X
ai = a1 + a2 + . . . + an−1 + an
i=1
è una serie (numerica).
(ii) Il limite
lim sn = s∞ =
n→∞
|
∞
X
ai
{zi=1 }
Notazioni
è detto somma della serie.
(iii) La serie è detta convergente, divergente determinata risp. divergente
indeterminata se la successione (sn ) è convergente, divergente determinata
risp. divergente indeterminata.
Osservazione: la notazione
∞
X
si può rappresentare sia la serie (sn ) stessa, sia il suo
i=1
limite s∞ .
Esempi:
n
1) Sia an = 21 . Allora, dal momento che si tratta di una progressione geometrica
con a1 = 1 e ragione q = 21 , vale
n
n n
n i
X
1 − 12
1
1
1 1 1
1
sn =
= 1 + + + + ... +
=
=2 1−
1
2
2 4 8
2
2
1− 2
i=1
(vedi Lemma 7, pag. 107), e quindi
n ∞ i
X
1
1
= lim 2 1 −
= 2 · (1 − 0) = 2 .
n→∞
2
2
i=1
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
136
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Abbiamo già incontrato una ”somma infinita” simile nell’ambito del calcolo delle
probabilità (pag. 87), dove l’abbiamo resa plausibile mediante una rappresentazione
grafica:
1
4
1
2
1
1
8
...
L’esempio è un caso particolare di serie geometrica. Di tali serie ci occuperemo
in modo esteso nel prossimo paragrafo.
2) La serie di Leibnitz
∞
X
1
1
1
1
+
+
+ ... =
1·2 2·3 3·4
i(i + 1)
i=1
converge; come abbiamo mostrato induttivamente a pag. 99, vale
∞
X
i=1
n
X
1
1
n
= lim
= lim
=1 .
i(i + 1) n→∞ i=1 i(i + 1) n→∞ n + 1
3) Vale
∞
X1
1
1
1
1
1
+ + + + + ... =
=e .
0! 1! 2! 3! 4!
i!
i=0
Tale relazione può essere intuita come segue: a pag. 122 abbiamo mostrato per
mezzo della formula binomiale che per la successione
n
1
en = 1 +
n
vale
1
1
1
en = + +
0! 1! 2!
1
1
1
2
1
1
2
3
1−
+
1−
1−
+
1−
1−
1−
+... ;
n
3!
n
n
4!
n
n
n
dal momento che per n → ∞ vale 1 −
k
n
→ 1, è plausibile che valga
n
X
1
= lim en = e .
lim
n→∞
n→∞
i!
i=0
4) Come mostreremo in seguito (V.13), la serie
∞
X1
1
1
1
1
+
+
+
+
.
.
.
=
12 22 32 42
i2
i=1
converge; per la somma vale, come mostrato da Leonhard Euler nel 1735,
∞
X
1
π2 ∼
=
= 1, 644934067
i2
6
i=1
(si tratta della soluzione del celebre problema di Basilea, posto inizialmente dal
matematico bolognese Pietro Mengoli nel 1644).
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
137
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
5) La serie armonica11
∞
1+
X1
1 1 1 1
+ + + + ... =
2 3 4 5
i
i=1
diverge. Possiamo intuire il perché notando che vale
>2· 41
>4· 18
1
>8· 16
z }| { z
}|
{ z
}|
{
1 1 1 1
1 1
1
1 1 1
1 + + + + + ... + + + ... +
+ . . . > 1 + + + + . . . “ = +∞”.
2 3 4 5
8 9
16
2 2 2
Più rigorosamente12 : innanzitutto,
1
2
1
=1+1·
2
s1 = 1
⇐⇒
s20 = 1 + 0 ·
1
2
⇐⇒
s21
⇐⇒
s22 > 1 + 2 ·
1
2
⇐⇒
s23 > 1 + 3 ·
1
2
s2 = s1 +
1
2
z }|
{
1 1
1 1 1
s4 = s2 + + > 1 + + +
3 4
2 4 4
1
2
z
}|
{
1 1 1 1
1 1 1 1 1
s8 = s4 + + + + > 1 + 2 · + + + +
5 6 7 8
2 8 8 8 8
e più in generale, come può essere facilmente verificato induttivamente,
n
.
s2n ≥ 1 +
2
1
Sia quindi N > 0; dal momento che sn è crescente, per n > 1 + log2 (N ) varrà
2
sn > N . Ciò dimostra che
lim sn = +∞ n→∞
Osservazione: la serie armonica diverge (seppure molto lentamente), ma si può dimostrare che per la successione
an =
n
X
1
i=1
i
− ln(n)
ottenuta sottraendo dalle sue somme parziali il logaritmo naturale vale
lim an = γ ∼
= 0, 5772156649 ,
n→∞
la cosiddetta costante di Eulero-Mascheroni13 .
1
1
cosı̀ chiamata perché il termine 1i è media armonica dei termini i−1
e i+1
l’idea originale della dimostrazione viene fatta risalore al filosofo e matematico francese Nicola
d’Oresme (1320-1382)
13
Lorenzo Mascheroni (1750-1800), matematico bergamasco, fu professore a Pavia
11
12
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
138
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
12. La serie geometrica
Definizione 16 (Serie geometrica)
Sia (an ) una PG di ragione q. La serie
∞
X
ai = a1 + a1 q + a1 q 2 + a1 q 3 + . . .
i=1
è una serie geometrica (SG) di ragione q.
Abbiamo già mostrato (vedi V.5) che per le somme parziali di una SG vale
sn =
n
X
ai = a1 ·
i=1
1 − qn
1−q
.
Ricaviamo immediatamente il
Teorema 28 (Limite di una serie geometrica)
Sia (sn ) una SG di ragione q. Allora
• se |q| < 1, la serie è convergente, con
∞
X
ai =
i=1
a1
1−q
;
• se q ≥ 1, la serie è divergente determinata:
∞
X
ai = ±∞
i=1
(il segno è dato dal segno di a1 );
• se q ≤ −1, la serie è divergente indeterminata.
Dimostrazione:
• sia |q| < 1; allora vale lim q n = 0, e quindi
n→∞
∞
X
i=1
ai = lim
n→∞
n
X
i=1
→1
a1
a1 z }| n{
ai = lim
· (1 − q ) =
n→∞ 1 − q
1−q
;
• sia q = 1; allora vale sn = a1 + a1 + . . . + a1 = n · a1 , e lim sn = sign(a1 ) · (+∞);
|
{z
}
n→∞
n volte
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
139
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
• sia q > 1; allora vale lim q n = +∞, e quindi
n→∞
∞
X
i=1
→+∞
a1 z n}| {
· (q − 1) = sign(a1 ) · (+∞)
ai = lim
n→∞ q − 1
• sia q = −1; allora vale sn = a1 − a1 + . . . ± a1 ∈ {0, a1 }, e la serie è divergente
{z
}
|
n volte
indeterminata;
• sia q < −1; allora vale lim |q n | = +∞ e il segno di q n è alterno, e di conseguenza
n→∞
lo stesso vale per (sn )
Esempi:
∞
X
1 1
1
1) 1 + + +
+ ... =
| 3 9{z 27
} i=1
SG con a1 = 1, q =
i−1
1
1
=
3
1−
1
3
=
3
;
2
1
3
i−1
∞ X
1 1
1
1
3
1
2) 1 − + −
−
=
± ... =
;
1 =
3
4
1 − (− 3 )
} i=1
| 3 9{z 27
SG con a1 = 1, q = − 31
3) 1| + 3 + 9 +{z
27 + 81 + . .}. =
SG con a1 = 1, q = 3
∞
X
3i−1 = +∞ (è divergente determinata);
i=1
∞
X
4) 1| − 3 + 9 −{z
27 + 81 ∓ . .}. =
(−3)i−1 non esiste (è divergente indeterminata).
i=1
SG con a1 = 1, q = −3
5) Una spirale viene costruita (vedi figura a lato) con una
sequenza infinita di semicirconferenze tali che ognuna
abbia il raggio che misura i 34 del raggio della precedente.
Sapendo che il raggio iniziale misura 1 unità, qual è la
lunghezza della spirale? E attorno a quale punto essa
”ruota” indefinitamente?
Sia ` la lunghezza della spirale. Ogni semicerchio che la compone ha raggio pari ai
3
del semicerchio che lo precede. Quindi vale
4
3
`=π+π· +π·
4
|
2
3
π
3
3
+π·
+ ... =
4
4
1−
{z
}
SG con a1 = π e q =
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
140
3
4
= 4π
.
3
4
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Sia ora P (x, 0) il punto cercato. Gli estremi dei semicerchi che compongono la
spirale si alternano attorno ad esso, avvicinandosi indefinitamente a P . Vale quindi
2
3
3
3
4
8
3
2
=2· =
x=2−2· +2·
.
−2·
+ ... =
3
4
4
4
7
7
1 − −4
|
{z
}
SG con a1 = 2 e q = − 34
Il ”centro” della spirale è quindi P
8
,0
7
.
Un’interessante applicazione della serie geometrica è la determinazione della frazione
generatrice di un numero decimale periodico. Osserviamo innanzitutto ad esempio che
una scrittura del tipo 7, 7 sottintende una serie geometrica: vale
2
3
1
1
1
7, 7 = 7 + 0, 7 + 0, 07 + 0, 007 + . . . = 7 · 1 + 7 ·
+7·
+7·
+ ...
10
10
10
{z
}
|
SG con a1 = 7 e q =
1
10
e quindi
7, 7 =
10
70
7
=
1 = 7·
9
9
1 − 10
.
Altri esempi:
13
1) 2, 13 = 2 + 0, 13 + 0, 0013 + 0, 000013 + . . . = 2 +
·
100
!
2
1
1
+ ...
1+
+
100
100
|
{z
}
SG con a1 = 1, q =
=2+
13
1
211
13
·
=
;
·
1 = 2+
100 1 − 100
99
100 99
54
7
2) 5, 47 = 5, 4 + 0, 07 + 0, 007 + . . . =
+
·
10 100
!
2
1
1
1+
+
+ ...
10
10
{z
}
|
SG con a1 = 1, q =
=
1
10
27
7
1
27
7 10
27
7
493
+
·
+
·
=
+
=
;
1 =
5
100 1 − 10
5
100 9
5
90
90
9
·
3) 0, 9 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . . =
10
!
2
1
1
1+
+
+ ...
10
10
|
{z
}
SG con a1 = 1, q =
=
1
100
100
1
10
9
1
9 10
·
·
=1.
1 =
10 1 − 10
10 9
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
141
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
13. Criteri di convergenza
Il calcolo della somma di una serie può rivelarsi problematico. Spesso, però, è possibile
stabilire a priori se una serie converge oppure no.
Iniziamo con un risultato, tutto sommato, ovvio.
Lemma 29
∞
X
Sia
ai una serie convergente. Allora (an ) è una successione nulla.
i=1
Dimostrazione: sia sn =
n
X
ai la successione delle somme parziali. Allora vale
i=1
an =
n
X
i=1
ai −
n−1
X
ai = sn − sn−1
i=1
e quindi
lim an = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0 n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Per contrapposizione, ricaviamo immediatamente il seguente
Corollario 30 (Un criterio di divergenza)
∞
X
Se lim an 6= 0, allora la serie
ai diverge.
n→∞
i=1
Osservazione: purtroppo l’enunciato del corollario non è un’equivalenza: esistono successioni nulle (ai ) per cui la serie corrispondente diverge, come mostra il caso della serie
armonica (vedi es. 5), pag. 138).
Proseguiamo con un utile criterio di confronto.
Teorema 31 (Il criterio della maggiorante risp. della minorante, o di Dirichlet)
∞
∞
X
X
Siano
ai e
bi due serie a termini positivi (cioè tali che ai ≥ 0 e bi ≥ 0 ∀i).
i=1
(i) Se
∞
X
i=1
bi converge ed esiste n0 tale che an ≤ bn ∀n > n0 , allora
i=1
(ii) Se
∞
X
∞
X
ai converge.
i=1
ai diverge ed esiste n0 tale che bn ≥ an ∀n > n0 , allora
i=1
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
∞
X
bi diverge.
i=1
142
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
In altre parole: una minorante di una serie convergente converge a sua volta, risp. una
maggiorante di una serie divergente diverge a sua volta.
Dimostrazione:
(i) Sia n > n0 . Per la successione (sn ) delle somme parziali di
sn =
n
X
ai = a1 + . . . + an0 +
i=1
La successione
n
X
ai vale
n
X
ai ≤ a1 + . . . + an0 +
i=n0 +1
n
X
P
bi
.
i=n0 +1
!
bi
delle somme parziali di (bn ) è, per ipotesi, convergente, e
i=n0 +1
!
n
X
di conseguenza limitata (Tm. 13). Di conseguenza, (sn ) =
ai è a sua volta
i=n0 +1
limitata. Dal momento che i termini ai sono tutti positivi, (sn ) è inoltre
P monotona
crescente. Per il Tm. 15 (sn ) è quindi convergente, e quindi lo è pure
ai .
(ii) Analogo.
Esempi:
∞
X
1 1 1
1
1
= 1+ + + + +. . .
1) (Cfr. Es. 4), pg. 137) Studiamo la convergenza di
2
i
4 9 16 25
i=1
1
1
Dal momento che per i > 1 vale i2 > i(i − 1) ⇐⇒ 2 <
avremo
i
i(i − 1)
∞
X
1
1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...
2
i
2
3
4
5
i=1
< 1+
1
1
1
1
+
+
+
+ ... < 1 + 2 = 3
|1 · 2 2 · 3 3{z· 4 4 · 5
}
=2 (es. 2), pg. 137)
e quindi la convergenza della serie in questione segue dal confronto con la Serie di
2
Leibnitz (abbiamo già menzionato che la somma è pari a π6 ∼
= 1, 645).
∞
X
1
1
1
1
1
√ = 1 + √ + √ + + √ + ...
2) Studiamo la convergenza di
2
3 2
5
i
i=1 √
Dal momento che per i ≥ 1 vale i ≤ i avremo
∞
∞
X
X
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
√ = 1 + √ + √ + + √ + ... ≥ 1 + + + + + ... =
= +∞
2 3 4 5
i
2
3 2
5
i
i=1
i=1
e quindi dal confronto con la serie armonica segue che la serie in questione diverge.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
143
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Dal confronto con una serie geometrica emerge un ulteriore criterio:
Teorema 32 (Il criterio del quoziente, o di D’Alembert)
∞
X
Sia
ai una serie a termini positivi (cioè tale che ai ≥ 0 ∀i), e sia
i=1
an+1
n→∞ an
q := lim
.
Allora
• se q > 1 la serie converge;
• se q < 1 la serie diverge.
Osservazioni:
(i) Se q = 1 il criterio è inconcludente. (cfr. es. 3) e 4) sulle prossime pagine).
(ii) Il criterio non fornisce alcuna informazione sul valore della somma.
Dimostrazione (con q > 1): sia
an+1
<1 ,
n→∞ an
q = lim
e sia r tale che q < r < 1. Allora, per la definizione di limite, esiste n0 tale che
an+1
<r
an
⇐⇒
an+1 < an · r
∀ n > n0
.
Di conseguenza, vale anche
an+2
<r
an+1
⇐⇒
an+2 < an+1 · r < an · r2
e, analogamente, si dimostra induttivamente che
an+k < an · rk
.
Per n > n0 , i termini an sono quindi maggiorati dai termini di una serie geometrica di
ragione
r < 1, convergente per il Tm. 28. Dal criterio di confronto (Tm. 31) segue che
P
an è a sua volta convergente.
Per q > 1 la dimostrazione procede in maniera analoga.
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
144
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
Esempi:
∞
X
i
4
5
1 2 3
1) Studiamo la convergenza di
+
+ ...
= + + +
i
2
2
4
8
16
32
i=1
n
Vale an = n e
2
n+1
2n+1
n→∞ nn
2
q = lim
n + 1 2n
1
n+1
1
=
lim
=
<1 ,
·
n→∞ 2n+1
n
2 n→∞ n
2
= lim
e quindi la serie converge.
∞
X
i
Nota che vale
= 2 (dimostrazione tralasciata).
i
2
i=1
2) Studiamo la convergenza di
∞
X
i=1
2i
. Vale
i2 + 1
2n+1
n2 + 1
·
=2>1
n→∞ (n + 1)2 + 1
2n
q = lim
e quindi la serie diverge (in questo caso si potrebbe applicare anche il Cor. 30).
3) Applichiamo il Teorema alla serie armonica
∞
X
1
i=1
q = lim
n→∞
i
. Vale
1
·n=1 ;
n+1
il Criterio non permette di trarre nessuna conclusione, ma sappiamo che la serie
diverge.
∞
X
1
4) Applichiamo il Teorema alla serie
. Vale
i2
i=1
1
· n2 = 1 ;
n→∞ (n + 1)2
q = lim
il criterio è nuovamente inconcludente, ma il questo caso la serie converge (es. 1),
pag. 143).
(
f = f2 = 1
5) Consideriamo la serie ottenuta dai reciproci dei numeri di Fibonacci 1
fn+1 = fn + fn−1 (n ≥ 2)
∞
X
1
1 1 1 1 1 1
1
1
= + + + + + +
+
+ ...
f
1 1 2 3 5 8 13 21
i=1 i
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
145
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)
√
fn+1
1+ 5 ∼
Ricordando (cfr. Serie 24, es. 5.) che lim
=φ=
= 1, 618 otteniamo
n→∞ fn
2
q=
1
fn+1
lim
n→∞ 1
fn
= lim
n→∞
fn
=
fn+1
1
1
= =φ−1∼
= 0, 618 < 1 .
fn+1
φ
lim
n→∞ fn
La serie è quindi convergente. Il suo limite è la costante reciproca di Fibonacci
ψ∼
= 3, 359885666 .
Il seguente criterio può essere dimostrato in maniera analoga al Tm. 32:
Teorema 33 (Il criterio della radice, o di Cauchy)
∞
X
Sia
ai una serie a termini positivi, e sia
i=1
r := lim
n→∞
√
n
an
.
Allora
• se r > 1 la serie converge;
• se r < 1 la serie diverge.
Ad esempio, la serie
∞
X
1
2
3
i
=
+
+
+ . . . converge: vale
i
2
3
e
e
e
e
i=1
r
√
n
n
n
1
n
r = lim
=
lim
= <1 .
n
n→∞
n→∞ e
e
e
Per la somma (calcolata con Maple) vale approssimativamente
∞
X
n ∼
= 0, 9206735945.
n
e
i=1
Per completezza, menzioniamo un ultimo risultato:
Teorema 34 (Il criterio di Leibnitz)
Se (an ) è una successione alternata (cioè tale che i segni di an e an+1 differiscono)
∞
X
con lim |an | = 0, la serie
ai converge.
n→∞
i=1
Ad esempio, la serie armonica alternata
∞
X
(−1)i+1
i=1
i
converge; per la sua somma vale
(dim. tralasciata)
∞
X
(−1)i+1
i=1
i
=1−
Successioni e serie numeriche, corso scientifico (V0.1)
1 1 1 1 1
+ − + − ± . . . = ln 2 .
2 3 4 5 6
146
LiLu1, 3N (Luca Rovelli)