infinite estensioni

INFINITE ESTENSIONI DEI
NUMERI
PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
(connessioni con test di primalità e fattorizzazione veloce)
Gruppo “B. Riemann”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show infinite generalization (or extension) of
Sophie Germain’s primes
Riassunto
In questo lavoro, seguito del Rif.1, mostreremo le possibili ed
infinite estensioni kp + 1, kp + 2 con k dispari o pari ( o
generalizzazioni) dei numeri primi di Sophie Germain,
partendo dai numeri gemelli, per k = 1
°°°°°°
I numeri primi di Sophie Germain possono essere
1
generalizzati ad infinite serie di coppie, con la formula estesa
kp+1 se k è dispari, kp + 2 se k è pari
Proposta di dimostrazione
Partiamo dai numeri primi gemelli, con k = 1, quindi dispari, e
otteniamo la relativa serie. Poiché i numeri primi gemelli sono
di forma p e q = p + 2, la formula per il secondo numero (q)
della coppia, p + 2, si può scrivere anche come 1*p + 2, quindi
con k =1, in questo caso 1 è sottinteso. I numeri primi gemelli
sono infiniti (vedi Rif. 1). Con k = 2, abbiamo i già numeri di
Sophie Germain, anch’essi infiniti (Rif.1). k è anche il circa il
rapporto (che tende a k al crescere di p). Infatti , il rapporto
tra il numero gemello più grande e quello più piccolo tende a
1.
per esempio per p = 5 e q =7, 7/5= 1,4, mentre per q = 103 e
p = 101, abbiamo q/p =103/101= 1,019…
Per i numeri di Sophie Germain, dove q = 2p +1, abbiamo
q/p = 2p+1 /p ≈ → 2
2
Qualche esempio p = 5, q= 2*5+1 = 11, 11/5=2,2, mentre per
p = 23, q = 2*23=47, 47/2 = 2,043, e così via, con rapporto
sempre più tendente a 2.
Questo rapporto è importante per fattorizzare facilmente
i prodotti di due numeri gemelli mentre per le serie successive
(Sophie Germain e le successive) è più difficile.
Vediamo ora la terza serie, per k = 3. Poiché 3 è dispari, come
1 per i numeri primi gemelli, la formula per q sarà quindi
q = 3*p + 2.
Le prime 12 coppie, con la
TABELLA 1
p>2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
q = 3*p + 2
11
17
23
35
41
53
57
71
87
95
primo
si
si
si
Non primo
no
si
si
no
si
no
no
3
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
…
111
129
131
143
161
179
185
203
215
221
239
251
269
293
305
311
…
no
no
si
no
no
si
no
no
no
no
si
si
si
si
no
sì
…
…
Fino a 100, ci sono solo 6 coppie di numeri di Sophie Germain
per k =3, mentre ci sono 8 coppie di gemelli (per k = 1) e
7 coppie di Sophie Germain normali (per k = 2), con 6, 8, e 7
molto vicini; (notiamo che 8 corrisponde al numero delle
vibrazioni fisiche delle superstringhe) quindi la distribuzione
fino ad N è simile, trattandosi di coppie , e per le C coppie di
primi, quale che sia la loro formula, la stima è sempre
C ≈ 1,32*N/(lnN)^2.
4
Per es. fino ad N = 311, abbiamo 12 coppie di numeri primi
per k = 3, e con tale formula di stima logaritmica abbiamo
C ≈ 311/5,73^2 = 311/32,94 = 9,44 ≈ 12; poiché tali numeri
primi sono molto simili ai numeri primi gemelli, occorre
moltiplicare tal numero per 1,32 (costante dei numeri gemelli)
ottenendo 12,46 più vicino al valore reale 12.
Notiamo che 12 = 24/2, dove 24 è il numero corrispondente
alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche.
Mentre fino a d N ≈ 100 abbiamo C ≈ 1,32 *100/(ln 100)^2
=1,32*100/(4,60)^2 = 1,32*100/21,20 = 1,32*4,71= 6,21≈ 5
E così via per tutti gli altri valori di k. Per k =3, il rapporto tra
i due numeri q e p è di circa 3 come limite inferiore;
esempi : 23/7 = 3,28, 311/103= 3,019
Per la fattorizzazione, √3= 1,73, e 1/1,73 = 0,57 = 57% di
n = √N =p*q
Esempi come da tabella 2 seguente
TABELLA 2
5
N =p*q
33 = 3*11
85 = 5* 17
161=7*23
…
n =√N
5,74
9,21
12,68
…
n*0,57 ≈ p
3,27
3
5,25
5
7,23
7
…
…
n/0,57 ≈ q
10,07 ≈
16,15
22,24
…
11
17
23
…-
32033=
103*311
…
178,97
102,01
313,98
311
…
…
103
…
Lo stesso succede per qualsiasi valore di k, pari o dispari che
sia. Per altri dettagli, vedi Rif. 1
Conclusione
Mostrata tale estensione per tutti i valori di k ( 1 per i numeri
primi gemelli, 2 per i noti numeri di Sophie Germain, da 3 in
poi per tutti gli altri infiniti valori di k), con la connessione tra
il rapporto q/p e quindi la relativa percentuale di n =√N
presso la quale trovare facilmente p (il problema è che , tranne
che per k = 1per i numeri primi gemelli, i numeri di Sophie
Germain con k > 1 non sono facilmente riconoscibili come tali)
Possiamo concludere che, per qualsiasi k, il numero Ck è
sempre stimabile con la formula:
6
Ck (N) ≈ 1,32 * N/(ln N)^2
Con 1,32 = 2*0,66 = costante per i numeri gemelli
I numeri di Sophie Germain, oltre che ai test di primalità
sono anche legati , sia pure indirettamente, alla fattorizzazione
veloce (vedi paragrafo successivo).
Infine, i numeri di Sophie Germain hanno a che fare con i test
di primalità, vedi sito
www.dti.unimi.it/citrini/MD/progetto_primi/curiosita/sophie_germain/sophie_germai
n.html
Sezione Aks; ma anche la voce “Test di primalità” di
Wikipedia, che riportiamo parzialmente
“Test di primalità
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Un test di primalità è un algoritmo che, applicato ad un numero intero, ha lo scopo di
determinare se esso è primo. Non va confuso con un algoritmo di fattorizzazione, che invece
ha lo scopo di determinare i fattori primi di un numero: quest'ultima operazione è infatti
generalmente più lunga e complessa.
Con la significativa eccezione del metodo delle curve ellittiche (noto come ECPP) e
dell'algoritmo AKS, i test di primalità più efficienti oggi utilizzati sono probabilistici, nel senso
che danno una risposta certa solo quando rispondono NO (ossia quando dicono che il numero
è composto) mentre nel caso di risposta SÌ assicurano soltanto un limite inferiore alla
probabilità che il numero sia primo. L'errore dei test può essere però reso piccolo a piacere
…
7
Complessità computazionale [modifica]
Il problema di verificare se un numero è primo (detto PRIMES) è di complessità P. Tale
risultato è stato raggiunto nel 2002.
In precedenza, era stato provato nel 1977 da Solovay e Strassen che esso era nella classe di
complessità co-RP; nel 1992 Adleman e Huang, modificando l'algoritmo di Goldwasser Kilian, mostrarono che esso era nella classe RP, e di conseguenza nella classe ZPP,
intersezione di RP e co-RP.
Nel 2002 Agrawal, Kayal e Saxena fornirono un algoritmo deterministico polinomiale per
PRIMES, noto come algoritmo AKS, di complessità
, che si riduce a
se vale la congettura di Sophie Germain.
L'algoritmo è stato migliorato varie volte in passi successivi, e sembra essere stato trovato un
[1]
algoritmo ibrido di complessità
. Ciononostante al momento attuale questo
algoritmo non comporta significativi vantaggi rispetto ai ben noti metodi probabilistici, né
implica alcunché sulla fattorizzazione di un numero (se non nel test di verifica di primalità), e
quindi nella crittografia basata sui primi…”
Poiché la congettura di Sophie Germain è vera (Rif.1), ed anche
le sue estensioni a kp +1 e a kp + 2 lo sono (possiamo
considerare queste forme come q e quindi il prodotto N = p*q =
p*(kp+1), con q/p ≈ k), e quindi la riduzione a
è
valida.
Circa la fattorizzazione di un numero N, se si potesse
riconoscere, in qualche modo, che esso e il prodotto dei due
numeri di una coppia di Sophie Germain (con k = 2) , o di una sua
estensione (k qualsiasi numero naturale), allora avremmo che,
8
essendo il rapporto r =q/p ≈ k, e 1/√r = 1/√k = percentuale di p
rispetto ad n = √N, e quindi la fattorizzazione entra in gioco,
connettendola in tal modo anche con la congettura di Sophie
Germain estesa.
Finora però solo il prodotto di due numeri primi gemelli
(estensione per k = 1) o comunque due numeri molto vicini
(differenza 4, 6, ecc. come nei numeri cugini e sexy) è facilmente
riconoscibile come tale, tramite la parte decimale molto elevata,
(es. 0,99… di n) e quindi p come percentuale elevatissima di n
( ≈ 99% di n, vedi Rif. 1), mentre per k > 1 un tale riconoscimento
non è ancora possibile. Ma potrebbe esserlo in futuro una volta
dimostrata bene la nostra ipotesi percentuale (Rif. 2), il cui scopo
è di mostrare la possibile e sospettata connessione tra parte
decimale della radice quadrata al rapporto r = q/p, finora
mostrata solo per rapporto r = q/p ≈1 come nei numeri gemelli.
Poiché in matematica un concetto, in teoria, deve funzionare
per tutti i casi (r = q/p > 1) e non solo per un caso particolare
9
(r ≈1), ci potrebbe e ci dovrebbe essere un modo di funzionare
anche per r > 1, che consentirebbe una fattorizzazione veloce
anche per i numeri N = p*q con r > 1 .
Per i numeri N prodotti con p e q numeri di Sophie Germain
(r ≈ 2, essendo q = 2p+1 ), e quindi k = 2), p ≈ 70% di n = √N.
Il problema è, ricordiamo, di riconoscere N come prodotto dei due
numeri di Sophie Germain della medesima coppia , con k =2, e
poi per estensione, anche per ogni k > 2 (dove al crescere di k ≈ r,
la percentuale di n dove trovare più velocemente p, è ovviamente
sempre più piccola, e proporzionalmente più piccola, ovviamente,
anche la parte decimale di n; anche se, apparentemente, si mostra
molto caotica al crescere di r. Una buona regolarità si nota solo
per r leggermente superiori a 1, e quindi con numeri p e q molto
vicini, come per esempio i numeri gemelli, con k = 1 ed r ≈1 ).
Riferimenti
1) “INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE
10
GERMAIN E DEI NUMERI PRIMI GEMELLI”
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
2) “Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N
per una fattorizzazione più veloce”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(Gruppo “B.Riemann”)
NOTA FINALE
Altre generalizzazioni di cui ci occuperemo in seguito
riguardano:
a) la congettura di forte di Goldbach, per la quale
tutti i numeri pari > 4 sono somma di due numeri primi (k=2):
La nostra generalizzazione dice che qualsiasi numero pari N
maggiore di 2k è somma di k primi, con k anch’esso pari.
Per esempio, per k = 10, qualsiasi numero pari maggiore di
2*10=20 è somma di 10 numeri primi (infatti 20 è la somma di
11
dieci volte 2, numero primo ripetuto 10 volte (sono consentite
ripetizioni)
b) la congettura debole di Goldbach, con k dispari. Per
esempio, con k = 11, il numero N dispari deve essere almeno
2k+1, e quindi N minimo = 2*11 +1 = 23 che è la somma di
dieci volte 2, + 3 ; infatti 10*2 + 3 = 23. Al crescere di N, ai
numeri 2 si sostituiscono gradualmente numeri primi più
grandi (3, 5, 7, ecc.) fino a quando saranno tutti diversi.
c) Il noto paradosso di Fibonacci, per il quale il termine
centrale di una terna qualsiasi 0 uguali alla radice quadrata
dei due termini esterni, + 1 alternativamente. Se invece si
moltiplicano tutti i termini della serie di Fibonacci per k, la
differenza + 1 diventa + k^2. Questo perché la serie di
Fibonacci è una progressione quasi perfetta, con numero
(quasi) fisso (ratio) = 1,618…, che però varia in modo
lentissimo e tende a phi = 1,618033… il che causa tale
paradosso e le nostre estensioni, cosa che non succede con le
12
progressioni geometriche con coefficiente sempre fisso e
intero.
d) Infiniti Triangoli di Tartaglia: mentre il noto Triangolo di
Tartaglia (per m=1) è simmetrico, e la somma dei numeri di
ogni riga è una potenza di m + 1 = 2 , tutti i successivi
Triangoli di Tartaglia ( con m > 2) sono invece asimmetrici e
la somma di tutti i numeri di ogni riga sono potenze di (m + 1).
FINE
13