I numeri primi
Definizione Un numero intero p diverso da 0,1 -1 è detto composto se è
prodotto di due numeri interi entrambi diversi da 1 e -1. Altrimenti è
detto primo.
Tabella dei numeri primi fra 1 e 1500
Quanti sono i numeri primi?
Fin dall’antichità si sa che esistono infiniti numeri primi: Euclide lo
prova negli Elementi (Libro IX, Prop. 20). Eratostene inventò un
algoritmo, detto crivello, che, iterato all’infinito, permetterebbe di
trovarli tutti. Nel corso della storia sono state date diverse altre
dimostrazioni.
Un noto teorema di Dirichlet stabilisce che, più in generale, ogni
progressione aritmetica
a, a+b, a+2b, a+3b, ...
contiene infiniti numeri primi se il massimo comune divisore di a e b è
1.
Ad esempio, se a=2 e b=3, otteniamo la progressione aritmetica
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41,...
nella quale abbiamo indicato in grassetto i numeri primi.
Più difficile è descrivere la “densità” dei numeri primi: Chiamiamo (n)
il numero di primi compresi fra 1 ed n: cosa si può dire di (n) ? Il
primo a dare una risposta a questa domanda fu Gauss; fu lui a scoprire
la nota formula asintotica sulla distribuzione dei primi. Chiamiamo pn
l’n-esimo numero primo, e poniamo dn = pn+1 - pn: ci chiediamo come
varii, al crescere di n, il numero dn, che è poi la distanza fra due numeri
primi consecutivi. L’andamento di dn è molto irregolare, e non è stato
ancora possibile descriverlo mediante una legge generale. È chiaro che,
a parte l’eccezione d1 = p2- p1 = 3-2 = 1, il numero dn è sempre maggiore o
uguale a 2, ed è sempre pari. (Esempio: d2 = p3-p2 = 5-3 = 2). È stato
anche dimostrato che si possono trovare coppie di primi consecutivi
aventi distanza grande quanto si vuole. Ma per il resto si sa poco, e
molte sono ancora le domande senza risposta. Una di queste riguarda i
cosiddetti primi gemelli, cioè le coppie di numeri primi aventi distanza
2 (ad esempio: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13,...).
Problema irrisolto: Esistono infinite coppie di primi gemelli? Si pensa
che la risposta sia sì, ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo. La
coppia di primi gemelli più grandi mai trovati è
3180323612 107001 -1
3180323612 107001 +1
ed è stata scoperta nel 2001. Questi due numeri hanno ben 32220 cifre!
I numeri primi stanno alla base del notissimo teorema fondamentale
dell’aritmetica, dimostrato già da Euclide.
Curiosità
A tutt’oggi non è stato possibile provare, né confutare le seguenti
congetture, formulate nel 1742 da Goldbach in una lettera a Eulero:
Ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.
- Ogni numero dispari maggiore di 5 è somma di tre numeri primi.
-
Tutte le prove effettuate finora su numeri anche molto grandi hanno
dato esito positivo, ma manca la dimostrazione generale.
Alcune specie di cicale hanno un ciclo vitale estremamente lungo: il
loro stadio larvale dura 13 o 17 anni, a fronte di una vita adulta di
poche settimane. La causa di questa particolarità, unica nel mondo
degli insetti, potrebbe essere stata la presenza, in passato, di
parassiti che avrebbero attaccato le cicale alla schiusa del loro
bozzolo. La selezione naturale avrebbe favorito le cicale il cui stadio
larvale dura un numero di anni che è primo e sufficientemente
grande. Queste avrebbero evitato l’attacco dei parassiti il cui ciclo
vitale - come normalmente avviene - è pari a pochi anni: la cicala ed
il parassita si possono infatti incontrare solo dopo un numero di anni
che sia multiplo di entrambi i cicli vitali. Se un parassita avesse un
ciclo vitale di due anni, esso potrebbe incontrare la cicala solo ogni 26
o 34 anni, se avesse un ciclo vitale di tre anni, la potrebbe incontrare
solo ogni 39 o 51 anni, e così via. Poiché un tale parassita non è mai
stato trovato, si è formulata l’ipotesi che, a seguito dell’allungamento
del ciclo vitale della cicala, esso si sia estinto…nell’attesa.
Una delle pochissime donne matematiche della storia, la francese
Marie-Sophie Germain, introdusse nell’Ottocento una particolare
classe di numeri primi (ancor oggi chiamati primi di Germain): ella
voleva provare l’Ultimo Teorema di Fermat per gli esponenti di
questo tipo. Si ignora se i primi di Germain siano infiniti.
Primi di Fermat
Primi di Mersenne
Primi gaussiani
