( Prima parte)
I NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
(di forma 2p +1) : la nostra dimostrazione
………..
Tra i diversi tipi di numeri primi, non abbiamo ancora considerato i
numeri primi di Sophie Germain,che indicheremo con S, di forma
particolare:
S = 2p +1
solo quando sia S che p sono numeri primi.
In questo lavoro , colmeremo la nostra lacuna nel nostro studio dei
numeri primi. Prima però parliamo brevemente di questi numeri e della
loro studiosa Sophie Germain (dalla rubrica “Che numeri! Della Prof.
Silvana Leggerini, sulla rivista “NEWTON” n.2 - Febbraio 2007, pag.
132, con il titolo “Caratteri matematici”:
“Sophie Germain
Esiste anche una successione di numeri che porta il nome di una donna: i numeri
di Sophie Germain (1776 – 1831)1. Sono tutti i numeri primi p per i quali
2p + 1 è un numero primo. I primi numeri della successione sono
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53. Sophie Germain era figlia di un ricco mercante
1
parigino. Durante la Rivoluzione francese, confinata in casa per motivi di
sicurezza, cominciò a leggere i libri della biblioteca del padre.
Venuta a conoscenza delle opere di Archimede cominciò ad amare la
Matematica. Non potendo però iscriversi, in quanto donna, all’Ecole
Polytecnique, iniziò una corrispondenza con il grandissimo matematico
Carl Friederich Gauss, allora professore all’Università di Gottinga,
spacciandosi per Antoine August Le Blanc. Gauss apprezzò molto i suoi lavori
e rimase molto sorpreso quando, dopo qualche anno, Sophie gli confessò
l’inganno””
La nostra dimostrazione si basa sul nostro Teorema n. 1
(vedi “Primi per tutti” sul nostro sito www.gio22.com , rubrica
“Numericamente”a cura del Gruppo ERATOSTENE) sulla forma
generale dei numeri primi e dei loro prodotti e potenze senza fattori 2 e 3
P = 6n + 1 (tranne i soli due numeri primi 2 e 3)
dal quale consegue che un numero primo maggiore di 3 e di qualsiasi tipo
(Fermat, Mersenne, gemelli, ecc,) è tale se e solo se è anche di tale forma
generale 6n+1, e a tale rigorosa conseguenza non sfuggono nemmeno i
numeri primi di Sophie Germain. Infatti, con la seguente tabella vedremo
che oltre a p (compresi qui anche il 2 e il 3) anche i numeri S sono di
forma 6n + 1. Notiamo che i numeri p (ora tranne il 2 e il 3) che
2
danno origine ai numeri S = 2p + 1 sono tutti di forma 6n -1,
poiché 5 = 6 - 1, 11 = 6*2 -1, 23 =6 *4 -1 ( nella serie manca il 17manca
il 17, poiché 2*17 +1 = 35 = 5*7 = 35 e quindi non primo),
29 =6*5-1, 41 = 6*7 -1, 53 = 6*9 -1. Questo perché i numeri primi di
forma 6n + 1 danno luogo a numeri composti S’ = 3m mutipli di 3, e
quindi mai numeri primi; per esempio 7, che è di forma 6+1, da origine a
S’ = 2*7+1 = 14 + 1 = 15 = 5*33, e anche 31 = 6*5 +1,
ed S’ = 2*31 +1 = 63 = 3*21, e così via per tutti gli altri numeri primi
di forma 6n + 1.
TABELLA
p
( 2p + 1 = S)
=
6n + 1 primo si o no
-----------------------------------------------------------------------------------------2
5
6*1 - 1
si
3
7
6*1 +1
si (eccezione)
5
11
6*2 - 1
si
11
23
6*4 - 1
si
17
35 = 5*7
6*6 - 1
no
23
47
6*8 - 1
si
29
59
6*10 -1
si
41
83
6*14 -1
si
47
95 = 5*19
6*16-1
no
53
107
6*18 -1
si
59
119 = 7*17
6*20 -1
no
…
…
…
…
E così via per tutti i successivi numeri p di forma 6n’ -1 , si avranno
numeri S di forma 6n -1 e con n pari tranne che per S = 5 e S = 7
3
per i quali n = 1; e tranne S = 7 di forma 6*1 +1 (essendo il primo
numero primo di forma 6n +1); ma non tutti i numeri S sono primi, pur
essendo sia di forma 2p +1 che anche di forma
6n -1 (e segnati con
“no” nella suddetta tabella, essendo composti).
Notiamo che tutti i numeri p (tranne il 2 e il 3 iniziali) sono di
forma 6n’ - 1, e cosi anche i numeri primi S (i numeri di Sophie
Germain), con ora n sempre pari e con n = 2n’.
Ecco perché i numeri primi di Sophie Germain debbono
essere generati da p di forma 6n’ - 1 e debbono essere di forma 6n -1
(tranne il 7) e sono un sottoinsieme dell’insieme di tutti i numeri di
di forma 6n -1, che contiene sia numeri primi (detti di Sophie Germain)
sia composti, per es. 35, 95, 119. Infatti, se qualsiasi p come abbiamo
detto all’inizio, è di forma 6n’ +1, esso genera, con la formula S=2p+1,
numeri S multipli di 3 e che quindi non possono mai essere numeri
primi, a differenza di p = 6n’ -1, che invece genera insieme sia i numeri
primi, noti in questo caso come numeri primi di Sophie Germain, sia
numeri composti (tutti quelli di forma 6n -1, pur se della stessa forma
generale 6n -1 dei numeri primi di Sophie Germain.
Con ciò, riteniamo dimostrato il perché la forma S = 2p +1 dà tutti
4
i numeri primi detti dì Sophie Germain , la matematica che li ha scoperti.
Gruppo ERATOSTENE
Caltanissetta
I
10. 2 . 2007
NUMERI
PRIMI
DI
SOPHIE GERMAIN
(Conteggio S(N) e loro infinità, relazione con i primi gemelli)
2° P A R T E
In questa seconda parte del nostro recente lavoro sui numeri primi di
Sophie Germain, ricordiamo che essi sono legati ai numeri di
Mersenne in quanto, se p è primo di forma 4k – 1, allora il numero
p
di Mersenne
2
- 1
non è primo, e che i numeri Mersenne
(primi o non primi) di forma 6n +1, al contrario dei numeri di Sophie
Germain, che sono invece di forma 6n – 1, tranne il 7, vedi prima
parte. Esempio per tutti:
p = 11 = 4 x 3 - 1 = 12 - 1 = 11 = 6 x 2 - 1 = 11
11
e 2 - 1 = 2048 - 1 = 2 047 non primo = 23 x 89 = 6 x 341 + 1.
E anche che i numeri primi di Sophie Germain sono collegati
con l’ultimo teorema di Fermat: se p è un numero primo
di
Sophie Germain, non ci sono tre numeri interi tali che 2p + 1 non
p
divide il prodotto xyz e che
p
x +
y =
5
p
2.
Circa il conteggio dei numeri primi di Sophie Germain, la voce
delle’encicolopedia web Wikipedia “Numero primo di Sophie
Germain” dice solo che:
“Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma
il numero dei numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero
n può essere stimato euristicamente con la formula:
2
2∙ C2 ∙ n / (ln n)
dove C2
“
corrisponde alla costante dei numeri primi gemelli “
che è C2 = 0.660……….
Chiameremo S(N) il numero dei numeri primi di Sophie Germain
fino a N , per esempio:
2
S(100) ~ 100 x 2 x 0,660 / 4,60
~ 132/21,16 = 6,3 ~ 11 = valore
reale del numero dei numeri primi di Sophie Germain fino a 100
(L’elenco di tali numeri fino a 10 000 è pubblicato sulla suddetta
pagina web di Wikipedia). Facendo una tabella con i valori stimati
con tale formula e i valori reali, avremo:
6
Tabella 1
N
S(N) = Valori stimati euristicamente ~ Valori reali di S(N)
-------------------------------------------------------------------------------10
S(10)
2,4 ~ 3
3
100
S(100)
6,23 ~
7
11
1 000 S(1 000)
27,69 ~ 28
37
10 000 S(10 000)
…
…
155,62 ~ 156
…
190
…
Valori molto migliori però si ottengono con la nostra formula
S(N) ~ g(N) ∙ c
dove g(N) è il numero reale delle coppie di primi gemelli
fino a N= 10, 100, 1 000, 10 000 (ecco una più importante
connessione tra i due tipi di numeri, oltre alla costante dei numeri ù
primi gemelli della formula euristica per la stima, vedi Tabella 1) e
c = numero correttore di Legendre = 1,08366 (con il quale,
ricordiamo, Legendre correggeva le stime del numero dei numeri
primi in base alla formula di Gauss π(N) ~ N/logN, corretta da
Legendre in N/logN -1,08366, ottenendo stime migliori), con una
nuova tabella , avremo:
7
Tabella 2
g(N) ∙
c
~
Valori stimati di S(N)
~ Valori reali di S(N)
---------------------------------------------------------------------------------------2
1,08366
2,16 ~
3
3
8
11
36
37
7
“
7.58 ~
33
“
35,76 ~
170
…
“
…
184. 22 ~ 185
…
…
190
….
Valori stimati (3, 8, 36, 185), come si vede, molto più vicini a
quelli reali (3, 11, 37, 190) rispetto ai valori della precedente
Tabella 1 (3, 7, 28, 156).
I numeri di Sophie Germain sono più numerosi delle coppie di
primi gemelli perché, mentre queste sono formate dai numeri di forma
6n-1 e 6n +1 entrambi primi, i numeri di Sophie Germain (tra cui
moltissimi primi gemelli di forma 6n -1), possono essere considerati
i numeri primi più piccoli delle coppie di numeri 6n-1 e 6n+1
anche se questi ultimi numeri ( 6n + 1 =6n-1 +2 = S + 2, per es.
8
23 + 2 = 25) non sono primi ( come invece deve essere per i numeri
gemelli; ed ecco perché le coppie di numeri nelle quali il numero più
piccolo (6n -1) è anche un numero primo di Sophie Germain, sono in
numero maggiore di g(N) cioè dei soli numeri gemelli fino a N; e
come abbiamo visto, nella misura di S(N) ~ g(N) ∙ c, con risultati
decisamente migliori rispetto a quelli ottenuti con la formula
euristica della Tabella 1. Tale legame tra numeri gemelli e numeri di
primi di Sophie Germain è già molto evidente, anche se ancora da
dimostrare meglio nei dettagli, cosa che cercheremo di fare in seguito.
Circa la loro infinità, possiamo dire che se qualche dimostrazione
presente o futura è valida per i numeri primi gemelli, essa sarà valida
a maggior ragione anche per i numeri primi di Sophie Germain,
essendo questi più numerosi dei numeri gemelli a parità di N, con
rapporto S(N) / g(N) ~ 1,08366 maggiore di 1 di circa l’8%.
Quindi, concludendo, nuova relazione tramite il numero c = 1,08366
tra i numeri primi di Sophie Germain con i numeri gemelli, e con la
loro eventuale comune infinità, da aggiungere alle già note connessioni
con i numeri di Mersenne, i numeri di Fermat e la costante dei
numeri gemelli C2 = 0,660…: un nuovo piccolo passo avanti nella
9
conoscenza della teoria dei numeri in generale e dei numeri primi in
particolare.
Caltanissetta 12.3.2007
GRUPPO ERATOSTENE
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