Il moto in campo gravitazionale

CAPITOLO 5
Il moto in campo gravitazionale
1) Fin dall’antichità si pensava che la Terra fosse al centro dell’universo e che le stelle ruotassero intorno ad essa.
Aristotele sostenne che la forma dei corpi celesti cosi come quella delle loro traiettorie dovesse essere la più
perfetta, ovvero quella circolare.
I pianeti rispetto alle stelle descrivono sulla volta celeste orbite complesse con velocità e direzione variabili, per
questo motivo il loro moto è detto retrogrado.
La teoria di tipo geocentrico fu descritta da Tolomeo nel suo libro Almagesto; esso poneva la Terra al centro
dell’universo. Secondo Tolomeo il moto dei pianeti si svolge su una circonferenza detta epiciclo, il cui centro
ruota intorno alla terra seguendo una circonferenza di raggio maggiore detta deferente. Quando il pianeta si
muove sull’epiciclo nello stesso verso del centro sul deferente, la sua velocità è massima. Se è il contrario la
velocità è minima. Inoltre se la velocità angolare del pianeta sull’epiciclo è maggiore di quella del suo centro sul
deferente il moto del pianeta si inverte. La traiettoria descritta dal pianeta si chiama epicicloide.
In contrapposizione Copernico propose la teoria eliocentrica che poneva al centro dell’universo il Sole. La teoria
eliocentrica spiega i moti retrogradi con il fatto che i pianeti vengono osservati dalla Terra. La teoria di Copernico
provocò una crisi profonda nella concezione dell’universo sembrando inconciliabile con la religiosa visione
dell’uomo al centro dell’universo tanto che dopo gli interventi di Galileo la Chiesa ritenne i sostenitori di questa
teoria eretici.
Un compromesso tra le due teorie fu proposto da Brahe che propose un sistema ticonico dove i pianeti ruotano
intorno al Sole e intorno alla Terra. La vera importanza della sua teoria sta nel fatto che egli raccolse un
imponente numero di dati sperimentali che furono poi usati da Keplero per i suoi studi.
2) Keplero nel 1609 elaborò tre leggi per migliorare la teoria eliocentrica:
1. I pianeti descrivono intorno al sole orbite ellittiche e il Sole è uno dei due fuochi dell’ellisse
2. Il raggio vettore tracciato dal Sole a uno qualsiasi dei pianeti descrive aree uguali in intervalli di tempi
uguali
3. I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro
orbite ellittiche. T²/a³(che può essere raggio se l’orbita è circolare o semiasse maggiore se l’orbita è
ellittica) = k
Nell’orbita di un pianeta il punto più lontano e più vicino dal sole sono detti afelio e perielio. Le orbite dei pianeti
hanno una eccentricità basse per questo sono molto vicine alle circonferenze(tranne che per Mercurio e Plutone).
Da questo segue che la velocità lineare con cui il pianeta percorre l’orbita ellittica e minima nell’afelio e massima
nel perielio. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo dei semiassi maggiori è una costante
che ha lo stesso valore per tutti i pianeti del sistema solare. Ne segue che il periodo di rivoluzione aumenta con la
distanza dei pianeti dal sole.
3) Newton riuscì a determinare la legge di gravitazione universale. Nel caso semplificato delle orbite circolari, le
leggi di Keplero sono:
- prima legge: i pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari aventi tutte al centro il Sole
- seconda legge: il moto dei pianeti è uniforme;
- terza legge: i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei raggi delle loro orbite.
Considerando un pianeta di massa m e velocità v su un orbita di raggio r possiamo dire che la sua forza centripeta
è Fsp(forza esercitata dal Sole sul pianeta)= mv²/r, tenendo conto che v = 2πr/T possiamo scrivere:
Fsp = 4π²mr/T², per la terza legge di Keplero T²=kr³ perciò Fsp = 4π²m/kr². Prendendo la costante C = 4π²/k viene
Fsp = Cm/r². Newton ispirandosi al principio di simmetria disse che la forza esercitata dal pianeta sul sole
prendendo come massa M quella del sole (Fps) è uguale alla forza esercitata dal Sole sul pianeta Fsp. Perciò se
Fsp = Fps, Cm = C’M, e quindi C/M o C’/m = a G che è la costante universale gravitazionale (6,67 ∙ 10alla
meno¹¹ Nm²/kg²). La forza di attrazione reciproca diventa quindi F = GMm/r². Newton applicò la legge a tutte le
particelle e disse che due particelle di massa m1 e m2 e di dimensioni trascurabili rispetto alla loro distanza r si
attraggono con una forza agente lungo la retta congiungente le sue masse direttamente proporzionale al prodotto
delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanze secondo la formula F = Gm1m2/r².
Un corpo sferico di massa M e raggio R attrae un particella di massa m posta al suo esterno a una distanza r (r>R)
come se tutta la masse M fosse concentrata al centro F = GMm/R².
© Federico Ferranti S.T.A.
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Se la legge di Newton vale per qualsiasi coppia di masse se si fa un esperimento tra due masse note possiamo
sapere il valore di G. La difficoltà sta nella piccolezza della forza gravitazionale che si esercita tra corpi di
comuni dimensioni.
4) Cavendish scoprì il valore di G in laboratorio. Nel suo esperimento Cavendish fisso due piccole sfere di
piombo ad un asta lunga 2 m e sospesa nel suo punto medio con un filo di quarzo. Mise vicino alle piccole sfere
due sfere più grandi. La forza esercitata dalle sfere grosse su quelle piccole fa ruotare il dispositivo mobile di un
angolo proporzionale alla forza. Dalla misura dell’angolo si ricava il valore della forza gravitazionale. Noto il
valore di G possiamo determinare indirettamente la masse della Terra. Prendendo la formula F = GMm/R². e
sapendo che g = F/m (9,81) possiamo ricavare M della Terra M =gR²/G (Massa della Terra = g per raggio della
Terra fratto G). Dividendo la masse per il volume si ricava la densità M = 6,0 ∙ 10 alla 24, d = 5,5 ∙ 10³.
5) Prima di Newton si pensava che le forze si originavano grazie ai contatti, invece dopo Newton si cercò di
giustificare i fenomeni di interazione introducendo il principio di azione a distanza secondo il quale un corpo
poteva esercitare istantaneamente una forza su un altro corpo lontano.
Dopo il 1800 incominciò a farsi strada con Faraday il concetto di campo, che si affermò definitivamente con
Maxwell. Secondo la teoria dei campi, ogni effetto fisico si propaga nello spazio con velocità finita in modo che il
mezzo in cui si diffonde l'azione non è più un supporto passivo.
Un campo di forza è una perturbazione dello spazio, descritta da grandezze fisiche misurabili. Un corpo posto in
un punto dello spazio risente del campo presente in quel punto in quell'istante.
Il campo gravitazionale generato in un punto da un sistema di masse è il vettore g = F/m dove F è la forza
gravitazionale agente sulla massa di prova m posta in quel punto e m la sua massa.
Il campo gravitazionale ha le dimensioni di un'accelerazione e quindi nel SI si esprime in m/s². Se a un certo
istante muta la posizione di qualcuna delle masse che generano il campo, la forza F agente sulla massa di prova
varia con un certo ritardo, dovuto al tempo necessario perché la perturbazione si propaghi dai punti occupati dalle
prime masse fino alla posizione della massa di prova. La velocità di propagazione della perturbazione coincide
con la velocità della luce.
Una massa puntiforme M genera a distanza r un campo gravitazionale di intensità diretto radicalmente verso M
g = GM/r²
Questa formula vale anche per un corpo sferico di massa M a distanza r dal suo centro. Il campo gravitazionale
può essere rappresentato graficamente da linee di campo o di forza che sono linee che hanno in ogni punto la retta
tangente diretta come vettore g. L’ultima formula può essere usata per descrivere il campo gravitazionale terrestre
indicando con M la masse della terra e r la distanza di un punto dal centro. Sappiamo che sulla superficie terrestre
g = 9,81 ma possiamo dire che ad ogni altezza h la g varia poiché aumenta la distanza dal punto al centro della
terra ovvero r.
6) Il lavoro della forza peso su un corpo di massa m lontano dalla Terra (es nave spaziale) dovremmo calcolare la
forza gravitazionale a intervalli di tempo minimi in modo tale che risulti costante. ∆L = GM(terra)m(del corpo)/r²
Da questo possiamo arrivare alla formula del lavoro della forza peso su un corpo che cade verso al terra da una
posizione A che ha distanza r1 a una posizione B che ha come distanza r2:
∆L =GMm(1/r2 – 1/r1).
La forza gravitazionale è conservativa perché il lavoro non varia al variare della traiettora ma dipende soltanto
dalla posizione iniziale e finale.
Sapendo che l’energia potenziale è L = Ui – Uf, possiamo ricavarla per un corpo nel campo gravitazionale
terrestre: U = -GMm/r. Il valore negativo è uan conseguenza dell’aver scelto l’infinito come livello 0.
Da questo capiamo che l’energia potenziale gravitazionale aumenta con la distanza dal centro della Terra e quindi
solo quando un corpo si avvicina alla Terra c’è lavoro positivo.
Questa legge può essere applica a qualunque sistema isolato composto da corpi di massa m1, m2. U = -Gm1m2/r
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
di un corpo con velocità v si mantiene costante nel moto. ½mv² - G Mm/r = costante
Se l’energia totale è negativa il corpo non potrà mai allontanarsi indefinitamente dalla Terra. Se il corpo è un
satellite in orbita circolare di raggio r intorno alla terra avrà come energia cinetica GMm/2r pertanto l’energia
totale del sistema è E = -GMm/2r. Il satellite ha un energia negativa in quanto rimane sempre a distanza fissa
dalla Terra. L’energia totale è negativa per ogni orbita chiusa che sia ellittica o circolare. Un corpo dotato di
energia positiva o zero si allontana dalla Terra.
7) Se vogliamo calcolare la velocità di un pianeta in orbita v di un pianeta di massa m intorno al sole di massa M
sarà: GMm/r² = mv²/r da cui v = (radice di)GM/r. Ne deriva che la velocità dipende dalla massa del Sole e dal
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raggio e non dalla massa del corpo. L’equazione del moto può anche essere scritta GM/r² = 4π²r/T²(T = periodo
di rivoluzione del pianeta) Da ciò possiamo ricavare anche la costante k della terza legge di Keplero. 4π²/GM = k
Se si parla di orbite ellittiche il raggio r andrà sostituito con il semiasse maggiore a dell’ellisse.
Newton dimostrò che qualsiasi corpo purchè sia lanciato con una velocità opportuna diventa un satellite artificiale
della Terra per effetto della forza di gravità con cui viene attratto dalla Terra. Per mette in orbita un satellite
artificiale terrestre è necessario portare il satellite alla distanza prescelta dal centro della terra (r) e poi imprimere
ad esso in direzione tangenziale all’orbita voluta una velocità opportuna che ne garantisca la permanenza
sull’orbita. La velocità deve essere v = (radice di)GM/r, dove M è la massa della Terra. La velocità dipende solo
dal raggio dell’orbita. Maggiore è il raggio minore è la velocità e viceversa.
Quando un navicella spaziale è in orbita a 1000km dalla Terra è comunque sottoposta alla forza di gravità, anche
se comunemente si dice che in orbita non c’è gravità. Questo perché la navicella è soggetta a forza di gravità e
forza centrifuga e sotto l’azione delle quali il sistema è in equilibrio. Lo stesso vale per l’astronauta fuori dalla
navicella spaziale. Invece un astronauta dentro la navicella spaziale è senza peso in quanto la forza di gravità è
equilibrata dalla forza apparente.
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