Teoremi sui triangoli rettangoli File - TED

Triangoli rettangoli e funzioni goniometriche
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b = a ⋅ sen β
(1)
c = a ⋅ cos β
(2)
OP = 1
b = c ⋅ tg β
(3)
PH = sen β
OH = cos β
Il nostro scopo è dimostrare i teoremi (1) , (2) e (3) che ci permetteranno poi di risolvere i problemi
sui triangoli rettangoli.
In figura sono riportati:
un triangolo rettangolo con ipotenusa a, cateti b e c, angoli acuti β e γ (notare che β + γ = 90° ).
il corrispondente triangolo con gli stessi angoli all’interno della circonferenza goniometrica.
Si basa tutto sul fatto che i due triangoli rettangoli hanno gli stessi angoli e quindi sono triangoli
simili. Essendo triangoli simili hanno i lati in proporzione. Possiamo quindi scrivere le seguenti due
proporzioni che coinvolgono i loro lati e risolverle ottenendo:
a ⋅ sen β
= a ⋅ sen β (1)
1
a ⋅ cos β
c : OH = a : OP ossia

→ c : cos β = a : 1 quindi
→ c =
= a ⋅ cos β (2 )
1
In questo modo i primi due teoremi sono dimostrati.
b : PH = a : OP
ossia

→ b : sen β = a : 1 quindi
→ b =
Il terzo si può dimostrare in modo algebrico utilizzando i primi 2:
c
cos β
(2)
c = a ⋅ cos β
ricaviamo
 → a =
(1)
b = a ⋅ sen β =
sen β
c
⋅ sen β = c ⋅
= c ⋅ tg β
cos β
cos β
(3)
e anche il terzo teorema è dimostrato.
Nella pagina seguente discutiamo brevemente il significato dei tre teoremi e poi li applicheremo a
problemi di risoluzione dei triangoli rettangoli.
Triangoli rettangoli e funzioni goniometriche
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b = a ⋅ sen β
(1)
c = a ⋅ cos β
(2)
b = c ⋅ tg β
(3)
I primi due teoremi coinvolgono cateto e ipotenusa e le funzioni seno o coseno:
1. CATETO = IPOTENUSA PER SENO DELL’ANGOLO OPPOSTO AL CATETO
2. CATETO = IPOTENUSA PER COSENO DELL’ANGOLO ADIACENTE AL CATETO
Il terzo teorema coinvolge i due cateti e la funzione tangente.
3. CATETO1 = CATETO2 PER TANGENTE DELL’ANGOLO OPPOSTO AL CATETO1
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Applicando le formule (1), (2), (3) e le relative formule inverse è possibile risolvere i problemi che
coinvolgono angoli e lati dei triangoli rettangoli. Vediamo alcuni esempi di problemi risolti.
1) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
γ =?
a =?
b = 3 − 1 β = 30°


c=?
a = ?

γ = ?
b = 3 −1
β = 30°
c =?
Conoscendo un cateto e il lato opposto possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare l’ipotenusa:
2
b
3 −1
3 −1
b = a ⋅ sen β ricavo
→ a =
=
=
= 3 −1 ⋅ = 2 3 −1
1
1
sen β sen 30°
2
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare l’altro cateto:
3
c = a ⋅ cos β = 2 3 − 1 ⋅ cos 30° = 2 ⋅ 3 − 1 ⋅
= 3 −1 ⋅ 3 = 3− 3
2
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 30° = 60°
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
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Triangoli rettangoli e funzioni goniometriche
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2) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 2 3 c = 6


β =?
a = ?

γ = ?
a =?
γ =?
b=2 3
β =?
c=6
Conoscendo i due cateti possiamo utilizzare il teorema (3) per calcolare l’angolo β :
3
b 2 3
=
=
ricavo
→ β = 30°
6
3
c
Posso poi utilizzare il teorema (1) per calcolare l’ipotenusa:
2
b
2 3
2 3
b = a ⋅ sen β ricavo
→ a =
=
=
=2 3⋅ =4 3
1
sen β sen 30°
1
2
ricavo
→ tg β =
b = c ⋅ tg β
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 30° = 60°
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
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3) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 7 a = 25

β = ? c = ?

γ = ?
a = 25
γ =?
b=7
β =?
c =?
Conoscendo un cateto e l’ipotenusa possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare l’angolo β :
b 7
b = a ⋅ sen β ricavo
→ sen β = =
a 25
Con l’aiuto della calcolatrice scientifica si può calcolare, approssimato, l’angolo β . Bisogna calcolare 7/25 e
poi applicare (usando il tasto di seconda funzione) la funzione inversa del seno al valore così calcolato.
 7
 ≅ 16,26°
 25 
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β ≅ 90° − 16,26° ≅ 73,74°
Si ottiene così: β = sen −1 
Per calcolare in modo esatto l’altro cateto c bisogna però prima calcolare in modo esatto il coseno di β :
2
49
576 24
 7 
cos β = + 1 − sen β = + 1 −   = 1 −
=
=
625
625 25
 25 
2
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare l’altro cateto:
24
c = a ⋅ cos β = 25 ⋅
= 24
e il problema è risolto.
25
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Triangoli rettangoli e funzioni goniometriche
4) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
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a =?
b = 10 β = 40°

a = ? c = ?
γ = ?

γ =?
b = 10
β = 40°
c =?
Conoscendo un cateto e il lato opposto possiamo utilizzare il teorema (1) per calcolare l’ipotenusa:
b
10
10
b = a ⋅ sen β ricavo
→ a =
=
≅
≅ 15,56
sen β sen 40° 0,6428
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare l’altro cateto:
c = a ⋅ cos β ≅ 15,56 ⋅ cos 40° ≅ 15,56 ⋅ 0,766 ≅ 11,92
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β = 90° − 40° = 50°
Non essendoci angoli particolari i valori di a e c sono stati approssimati con l’uso della calcolatrice.
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5) Risolvere il triangolo rettangolo coi seguenti dati:
b = 8 c = 6

a = ? β = ?
γ = ?

a =?
γ =?
b=8
β =?
c=6
Conoscendo i due cateti possiamo utilizzare il teorema (3) per calcolare l’angolo β :
b 8 4
4
→ tg β = = =
ricavo
→ β = tg −1   ≅ 53,13°
b = c ⋅ tg β ricavo
c 6 3
 3
Per calcolare in modo esatto l’ipotenusa bisogna però prima calcolare in modo esatto il coseno di β :
cos β = +
1
1 + tg 2 β
=+
1
4
1+  
 3
2
=
1
1+
16
9
=
1
25
9
=
3
5
Posso poi utilizzare il teorema (2) per calcolare l’ipotenusa:
c
6
5
= 6 ⋅ = 10
c = a ⋅ cos β ricavo
→ a =
=
cos β  3 
3
 
5
L’altro angolo acuto γ si ricava invece come complementare dell’angolo β :
γ = 90° − β ≅ 90° − 53,13° ≅ 36,87°
E in questo modo il triangolo rettangolo è risolto.
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