Il moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme: periodo e frequenza
Un corpo che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità scalare costante ripassa per la
posizione iniziale a intervalli fissi di tempo. Definiamo il periodo del moto come il tempo
necessario a completare un giro (indicato solitamente con il simbolo T).
Il numero di giri completi fatti nell’unità di tempo è la frequenza del moto circolare e si indica con
1
il simbolo f; essa è data dall’inverso del periodo: f = (se per esempio il periodo del moto è 3 s in
T
1
1 s il mobile farà
di giro). L’unità di misura della frequenza nel SI è l’inverso del secondo (s-1),
3
chiamata anche Hertz (Hz), in onore del fisico tedesco Heinrich Hertz.
La misura degli angoli
I gradi non sono l’unica possibile unità di misura degli angoli. Nel SI l’unità di misura degli angoli
è il radiante, definito nella seguente maniera: un radiante (rad) è quell’angolo che su una
circonferenza sottende un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza stessa. Ciò
significa che per ottenere la misura in radianti di un certo angolo bisogna fare il rapporto tra
la lunghezza dell’arco che l’angolo sottende su una qualsiasi circonferenza e il raggio della
circonferenza.
Con riferimento alla figura la misura in radianti dell’angolo al centro della circonferenza è data da:
s
s
α = 1 = 2 . Poiché l’arco sotteso dall’angolo giro è tutta la circonferenza, la sua
r1 r2
2πr
= 2π . Analogamente l’angolo di 180˚ (che è metà angolo
misura in radianti è
r
misura in gradi a quella
α gradi : α radianti = 360 o : 2π .
in
π
e così via. In generale si passa dalla
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radianti e viceversa mediante la proporzione:
giro) corrisponde a π, 90˚ corrispondono a
Esempio 1 – Trasformazione della misura di un angolo da gradi sessagesimali a radianti e calcolo delle
sue funzioni trigonometriche
Calcolare la misura in radianti dell’angolo di 30˚ e verificare mediante la calcolatrice scientifica che le sue
funzioni trigonometriche sono quelle dell’angolo di 30˚.
Analisi e soluzione
o
Poiché 30 =
360 o
π
la corrispondente misura in radianti sarà la dodicesima parte di 2π, cioè
. Per
12
6
calcolare le funzioni trigonometriche dobbiamo prima predisporre la calcolatrice a lavorare in radianti.
Cambiamo quindi la modalità, sul display dovrà apparire la scritta rad anziché deg. La costante π si ottiene
mediante un opportuno tasto, calcoliamo dunque
π
6
e poi applichiamo le funzioni seno e coseno. Troviamo i
valori 0,5 e 0,866… che – come abbiamo visto in precedenza – sono quelli dell’angolo di 30˚.
La velocità e la velocità angolare
La velocità scalare costante di un moto circolare uniforme si calcola a partire dal raggio della
traiettoria e dal periodo, tenendo conto che in un periodo il mobile percorre un giro completo:
2πr
v=
. Consideriamo i cavallini di una giostra; in un periodo il cavallino più interno percorre una
T
circonferenza di raggio minore rispetto a quello esterno e quindi uno spazio più breve: la sua
velocità è dunque minore di quella del cavallino esterno. Se però consideriamo gli angoli sottesi dai
due mobili nello stesso intervallo di tempo essi risultano uguali. Queste considerazioni ci spingono
ad introdurre una nuova grandezza fisica chiamata velocità angolare, definita come il rapporto tra
l’angolo descritto dal mobile in un certo intervallo di tempo e l’intervallo stesso. Essa si indica con
radianti
il simbolo ω (omega), si misura in
e poiché durante un periodo il mobile percorre un
secondo
2π
. Combinando tra loro in vario modo le
angolo giro (2π rad) si calcola mediante la formula ω =
T
definizioni di frequenza, velocità scalare, velocità angolare possiamo trovare alcune utili relazioni
che coinvolgono queste grandezze nonché il periodo e il raggio:
2π
1
v = ω ⋅ r ; ω = 2πf ; T =
;T=
ω
f
e naturalmente quelle che si possono ottenere da queste invertendole in vari modi.
L’accelerazione nel moto circolare uniforme
Durante un moto circolare uniforme il vettore velocità mantiene invariato il suo modulo, ma,
essendo tangente alla traiettoria, cambia continuamente direzione, dando origine così a una
accelerazione. Per determinare la formula che permette di calcolare tale accelerazione consideriamo
r
r
due punti P1 e P2 sulla circonferenza e le relative velocità istantanee: v1 e v 2 ; per determinare la
r
r
differenza tra le due velocità portiamo la coda di v 2 a coincidere con quella di v1 . Secondo la
regola del parallelogramma la differenza ∆v = v 2 − v1 è il vettore che ha la coda nella punta di v1 e
la freccia nella punta di v 2 . Il triangolo individuato da P1, P2 e il centro O della circonferenza e
quello formato dalle due velocità e dalla loro differenza sono isosceli, con lo stesso angolo nel
vertice formato dai due lati uguali. I due triangoli sono pertanto simili. Detti allora v il modulo
r
r
comune di v1 e v 2 , ∆s la lunghezza della corda P1P2 e r il raggio della circonferenza, vale la
v
proporzione: ∆v : v = ∆s : r , da cui ∆v = ⋅ ∆s . Dividiamo entrambi i membri dell’uguaglianza per
r
∆v v ∆s
= ⋅
l’intervallo di tempo ∆t durante il quale il mobile percorre l’arco P1P2:
. Assumiamo
∆t r ∆t
per ∆t un valore sufficientemente piccolo da poter considerare le quantità istantanee e la corda
∆v
∆s
coincidente con l’arco; riconosciamo allora in
il modulo dell’accelerazione istantanea e in
∆t
∆t
il modulo della velocità. Otteniamo così la formula del l’accelerazione nel moto circolare uniforme:
v2
a=
. Questa accelerazione viene detta accelerazione centripeta; l’aggettivo ‘centripeta’
r
significa “diretta verso il centro”.
Ricapitolando: in un moto circolare uniforme con velocità v è presente una accelerazione
costante, detta centripeta, che è diretta radialmente verso il centro e il cui modulo è dato dal
quadrato della velocità diviso per il raggio.
Applicando la formula v = ω ⋅ r che mette in relazione la velocità con la velocità angolare possiamo
ricavare due altre utili espressioni per l’accelerazione centripeta:
2
v 2 (ωr )
a=
=
= ω 2 r ; oppure: a = ω 2 r = ω ⋅ ωr = ωv .
r
r
Verifiche di comprensione
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Che cos’è il periodo del moto circolare uniforme?
Come è definita la frequenza nel moto circolare uniforme?
Qual è l’unità di misura della frequenza nel SI?
Come si ottiene la misura in radianti di un angolo?
Come si calcola la misura in radianti di un angolo conoscendo il suo valore in gradi?
Come si calcola la velocità scalare in un moto circolare uniforme di cui si conosce raggio e periodo?
Come è definita la velocità angolare?
Qual è l’ unità di misura della velocità angolare?
Che relazione intercorre tra velocità scalare, raggio della traiettoria e velocità angolare?
Che relazione intercorre tra velocità angolare e frequenza?
Perché in un moto circolare è sempre presente una accelerazione anche se la velocità scalare rimane
costante?
12. Che cosa significa l’aggettivo centripeto?
13. Quanto vale il modulo dell’accelerazione centripeta espresso in termini della velocità e del raggio della
traiettoria?
14. Quanto vale il modulo dell’accelerazione centripeta espresso in termini della velocità angolare e del
raggio della traiettoria?
15. Quanto vale il modulo dell’accelerazione centripeta espresso in termini della velocità e della velocità
angolare?
16. Quali sono la direzione e il verso dell’accelerazione centripeta?
Verifiche di conoscenza
1. Il periodo di un motore elettrico che in un secondo fa 25 giri vale:
a. 25 Hz
b. 25 s
c. 0,04 s-1
d. 0,04 s
2. La frequenza di un motore elettrico che in un secondo fa 25 giri vale:
a. 25 Hz
b. 25 s
c. 0,04 s-1
d. 0,04 s
2
3. Un angolo di π rad equivale a:
3
a. 120˚
b. 90˚
c. 60˚
d. 240˚
4. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a. In un moto circolare uniforme, fissato il periodo la velocità aumenta all’aumentare del
raggio
b. In un moto circolare uniforme, fissato il periodo la velocità diminuisce all’aumentare del
raggio
c. In un moto circolare uniforme, fissato il raggio la velocità diminuisce all’aumentare del
periodo
d. In un moto circolare uniforme, fissata la velocità il raggio aumenta all’aumentare del
periodo
5. Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo adeguato scelto tra quelli indicati:
La velocità angolare è data dal … tra un certo … percorso dal mobile e il … impiegato a
percorrerlo; pertanto la si può calcolare … … per il … . (l’angolo giro, rapporto, tempo,
periodo, dividendo, angolo)
6. A parità di velocità tangenziale, la velocità angolare:
a. è inversamente proporzionale alla frequenza
b. è inversamente proporzionale al raggio
c. aumenta all’aumentare del periodo
d. diminuisce all’aumentare della velocità
7. Quali tra le seguenti affermazioni sono vere?
a. in un moto con accelerazione zero la velocità scalare è costante
b. se la velocità scalare è costante l’accelerazione è zero
c. se la velocità vettoriale è costante l’accelerazione è zero
d. se la velocità scalare è costante l’accelerazione è costante in modulo
8. L’accelerazione centripeta:
a. è l’accelerazione media su un giro nel moto circolare uniforme
b. è l’accelerazione istantanea nel moto circolare uniforme
c. è diretta lungo la corda che unisce due punti vicini
d. è istantanea e diretta lungo la tangente alla traiettoria
9. Due cavallini di una giostra in movimento sono a distanza uno doppia dell’altro dal centro;
l’accelerazione centripeta del più distante:
a. è doppia di quella del più vicino
b. è quattro volte quella del più vicino
c. è la metà di quella del più vicino
d. è uguale a quella del più vicino
e. è un quarto di quella del più vicino
10. Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo adeguato scelto tra quelli indicati:
In un … anche se … non cambia è comunque presente una … dovuta alla variazione di … del
…; essa è sempre diretta … e verso …ed è … al … della velocità e … al …. (inversamente
proporzionale, moto circolare, accelerazione istantanea, direzione, quadrato, il centro, la
velocità scalare, direttamente proporzionale, raggio, vettore velocità, radialmente)
Problema svolto – Calcolo del periodo, della frequenza, della velocità angolare e
dell’accelerazione centripeta del moto della Terra intorno al Sole
Relativamente al moto della Terra attorno al Sole calcola: il periodo, la frequenza, la velocità angolare, la
velocità e l’accelerazione centripeta.
Scriviamo i dati del problema
La Terra compie un giro completo intorno al Sole in un anno
Raggio della traiettoria (che troviamo sulle tavole dei dati astronomici): r = 1,496·1011 m
Incognite del problema
Periodo, frequenza, velocità angolare, velocità scalare, accelerazione centripeta.
Analisi e soluzione
secondi
minuti
ore
giorni
× 60
× 24
× 365
= 3,1536 ⋅ 10 7 s ,
minuto
ora
giorno
anno
1
1
= 3,1710 ⋅ 10 −8 Hz . Possiamo adesso
da cui ricaviamo la frequenza che vale: f = =
T 3,1536 ⋅ 10 7
−8
− 7 rad
calcolare la velocità angolare mediante la relazione: ω = 2πf = 2π ⋅ 3,1710 ⋅ 10 = 1,9923 ⋅ 10
, da
s
m
− 7 rad
× 1,496 ⋅ 1011 m = 2,980 ⋅ 10 4 . Infine, per
cui otteniamo la velocità: v = ω ⋅ r = 1,9923 ⋅ 10
s
s
Esprimiamo il periodo in secondi: T = 60
calcolare
l’accelerazione
centripeta
applichiamo
la
formula:
2
rad
11
-3 m
a = ω 2 ⋅ r = 1,9923 ⋅ 10 −7
⋅ 1,496 ⋅ 10 m = 5,938 ⋅ 10
s
s2
Problemi
1. Calcola la frequenza del moto della lancetta dei secondi, di quella dei minuti e di quella delle ore in un
orologio.
2. Un disco gira a 33,3 giri al minuto. Quanto vale la sua velocità angolare? Che angolo (in radianti)
descrive in 0,8 s?
3. Trasforma i radianti i seguenti angoli: 36˚, 45˚, 30˚, 75˚, 18˚, 60˚.
4. Una ruota di bicicletta ha il raggio di 34 cm. Quanto vale la velocità angolare della ruota se fa 2,4 giri al
secondo? Quanto vale l’accelerazione centripeta di un punto posto sul copertone?
5. Un bambino che si trova su una giostra seduto a 2 m dal centro si sta muovendo a 15
km
. Quanto vale
h
la frequenza di rotazione?
6. Tra le prove a cui vengono sottoposti gli astronauti durante il loro addestramento c’è una specie di
giostra di 15 m di raggio a bordo della quale si possono sperimentare accelerazioni fino a 5 volte quella
di gravità. Quanto valgono la velocità scalare, angolare e la frequenza durante tale moto?
7. Un’automobile percorre un semicerchio lungo 1570 m alla velocità di 90
km
. Quanto vale la sua
h
accelerazione centripeta?
8. Una bicicletta si muove con una velocità costante di 8
m
inizialmente verso ovest. Dopo 6 s, seguendo
s
la traiettoria di un arco di circonferenza la bicicletta è orientata a nord. Quanto valgono il raggio della
traiettoria e l’accelerazione centripeta?
